[Resolvida] Lista de exercícios - Pontos críticos de f(x,y)

Prévia do material em texto

Renato da Silva Viana
QUESTIONÁRIO
Questão 1. Determine os pontos críticos das funções.
a. f(x, y) = 5x2 + 3y2 − 3y + 1
b. f(x, y) = 2x3 − x2 + y2 − 4y + 5
c. f(x, y) = x2 + 3xy − 3y2 + x
d. f(x, y) = x3 − y2 + xy + 5
Questão 2. Determine se os pontos críticos das funções encontrados na Questão 1 são de
máximo ou de mínimo local.
Questão 3. Determine o ponto do plano x−y+z = 4 que está mais próximo do ponto (1, 2, 3).
Questão 4. Determine a menor distância entre o ponto (1, 2, 3) e o plano x− y + z = 4.
Questão 5. Determine três números positivos, não nulos, cuja soma é 100 e cujo produto é
máximo. Sugestão: Chame esses números de x, y e z, daí seu objetivo será determinar quais
números x, y e z que maximizam a função
f(x, y, z) = xyz.
Então, considerando que x + y + z = 100, obtém-se z = 100 − x − y e substituindo essa
expressão em f(x, y, z), o seu objetivo será determinar os números x, y positivos (não nulos)
que produzem o valor máximo em
f(x, y) = xy(100− x− y).
Determinando o x e y que produz o máximo em f(x, y), deve-se depois achar o z pela fórmula
z = 100− x− y.
1
Renato da Silva Viana
RESOLUÇÕES
Resolução 1 a.
Sendo f polinomial e, portanto, contínua, todos os seus pontos críticos têm derivadas parciais
nulas. Assim, igualando-se a zero as derivadas parciais:{
fx(x, y) = 10x = 0⇒ x = 0
fy(x, y) = 6y − 3 = 0⇒ y = 1/2
Tem-se um sistema que determina o ponto crítico (0, 1/2).
Resolução 1 b.
Sendo f polinomial e, portanto, contínua, todos os seus pontos críticos têm derivadas parciais
nulas. Assim, igualando-se a zero as derivadas parciais:{
fx(x, y) = 6x
2 − 2x = 0⇒ x = 0 ou x = 1/3
fy(x, y) = 2y − 4 = 0⇒ y = 2
Tem-se um sistema que determina os pontos críticos (0, 2) e (1/3, 2).
Resolução 1 c.
Sendo f polinomial e, portanto, contínua, todos os seus pontos críticos têm derivadas parciais
nulas. Assim, igualando-se a zero as derivadas parciais:{
fx(x, y) = 2x+ 3y + 1 = 0
fy(x, y) = 3x− 6y = 0⇒ x = 2y
Substituindo a segunda equação na primeira:
2(2y) + 3y + 1 = 0⇒ y = −1/7
Aplicando o resultado na segunda equação:
x = 2(−1/7) = −2/7
Logo, (−2/7,−1/7) é o único ponto crítico da função f .
Resolução 1 d.
Sendo f polinomial e, portanto, contínua, todos os seus pontos críticos têm derivadas parciais
nulas. Assim, igualando-se a zero as derivadas parciais:{
fx(x, y) = 3x
2 + y = 0
fy(x, y) = −2y + x = 0⇒ x = 2y
2
Renato da Silva Viana
Substituindo a segunda equação na primeira:
3(2y)2 + y = 0⇒ y = −1/12 ou y = 0
Aplicando os resultados na segunda equação:
x = 2(−1/12) = −1/6 x = 2(0) = 0
logo, (−1/6,−1/12) e (0, 0) são os únicos pontos críticos da função f .
Resolução 2 a.
Segundas derivadas parciais da função:
fxx(x, y) = 10 > 0 fxy(x, y) = 0 fyy(x, y) = 6
Teste da segunda derivada para o ponto (0, 1/2):∣∣∣∣fxx(0, 1/2) fxy(0, 1/2)fxy(0, 1/2) fyy(0, 1/2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣10 00 6
∣∣∣∣ = 60 > 0
Por conseguinte, f(0, 1/2) = 1/4 é um mínimo local.
Resolução 2 b.
Segundas derivadas parciais da função:
fxx(x, y) = 12x− 2 fxy(x, y) = 0 fyy(x, y) = 2
Teste da segunda derivada para o ponto (0, 2):∣∣∣∣fxx(0, 2) fxy(0, 2)fxy(0, 2) fyy(0, 2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 2
∣∣∣∣ = −4 < 0
Por conseguinte, (0, 2) é um ponto de sela.
Teste da segunda derivada para o ponto (1/3, 2):∣∣∣∣fxx(1/3, 2) fxy(1/3, 2)fxy(1/3, 2) fyy(1/3, 2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 2
∣∣∣∣ = 4 > 0
E como fxx(1/3, 2) > 0, f(1/3, 2) = 26/27 é um mínimo local.
Resolução 2 c.
Segundas derivadas parciais da função:
fxx(x, y) = 2 fxy(x, y) = 3 fyy(x, y) = −6
3
Renato da Silva Viana
Teste da segunda derivada para o ponto (−2/7,−1/7):∣∣∣∣fxx(−2/7,−1/7) fxy(−2/7,−1/7)fxy(−2/7,−1/7) fyy(−2/7,−1/7)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 33 −6
∣∣∣∣ = −21 < 0
Por conseguinte, (−2/7,−1/7) é um ponto de sela.
Resolução 2 d.
Segundas derivadas parciais da função:
fxx(x, y) = 6x fxy(x, y) = 1 fyy(x, y) = −2
Teste da segunda derivada para o ponto (−1/6,−1/12):∣∣∣∣fxx(−1/6,−1/12) fxy(−1/6,−1/12)fxy(−1/6,−1/12) fyy(−1/6,−1/12)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1 11 −2
∣∣∣∣ = 1 > 0
E como fxx(−1/6,−1/12) < 0, f(−1/6,−1/12) = 2161/432 é um máximo local.
Teste da segunda derivada para o ponto (0, 0):∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fxy(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 11 −2
∣∣∣∣ = −1 < 0
Por conseguinte, (0, 0) é um ponto de sela.
Resolução 3.
Equação da distância d entre pontos do espaço:
d =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2
Com base nisso, a distância entre um ponto (x, y, z) do plano em questão e o ponto (x0, y0, z0) =
(1, 2, 3) é dada por:
d =
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2
Como o plano é determinado pela equação x− y + z = 4, equivalente a z = −x+ y + 4, então
a seguinte substituição é permitida:
d(x, y) =
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 + ((−x+ y + 4)− 3)2
Assim, a distância é tal que:
[d(x, y)]2 = (x− 1)2 + (y − 2)2 + (−x+ y + 1)2 = 2x2 + 2y2 − 2xy − 4x− 2y + 6
Igualando a 0 as derivadas parciais da função [d(x, y)]2 em relação a x e y, respectivamente, de
modo a buscar o ponto crítico:{
4x− 2y − 4 = 0⇒ y = 2x− 2
4y − 2x− 2 = 0
4
Renato da Silva Viana
Substituindo a primeira equação na segunda:
4(2x− 2)− 2x− 2 = 0⇒ x = 5/3
Utilizando o resultado na segunda equação:
y = 2(5/3)− 2 = 4/3
A função [d(x, y)]2 possui um único ponto crítico: (5/3, 4/3). Se [d(x, y)]2 possui um valor
mínimo, a função distância d(x, y) também possui. Assim sendo, o ponto crítico encontrado
está relacionado com o mínimo absoluto da função d. Em vista disso, f(5/3, 4/3) = 11/3 é
o mínimo absoluto de f , indicando que (5/3, 4/3, 11/3) é o ponto do plano x − y + z = 4 de
menor distância ao ponto (1, 2, 3).
Resolução 4.
Conforme visto na Resolução 3, o ponto (5/3, 4/3, 11/3) do plano tem a menor distância ao
ponto (1, 2, 3). A distância entre esses pontos é:
d =
√
(5/3− 1)2 + (4/3− 2)2 + (11/3− 3)2 = 2
√
3/3
Resolução 5.
A soma dos três números, x, y e z, é 100:
x+ y + z = 100⇒ f(x, y) = z = −x− y + 100 (1)
E o produto dos três é P :
P = xyz (2)
Substituindo (1) em (2):
P (x, y) = xy(−x− y + 100) = −x2y − xy2 + 100xy
Igualando a 0 as derivadas parciais de P :{
Px(x, y) = −2xy − y2 + 100y = 0⇒ y(2x+ y − 100) = 0
Py(x, y) = −x2 − 2xy + 100x = 0⇒ x(x+ 2y − 100) = 0
A primeira equação conduz para:
y = 0 ou 2x+ y − 100 = 0⇒ y = 100− 2x
Aplicando y = 0 na segunda equação:
x(x+ 2(0)− 100) = 0⇒ x = 0 ou x = 100
Logo, (0, 0) e (100, 0) são pontos críticos da função P (x, y).
5
Renato da Silva Viana
Aplicando y = 100− 2x na segunda equação:
x(x+ 2(100− 2x)− 100) = 0⇒ x = 0 ou x = 100/3
Assim, para x = 0, tem-se y = 100−2(0) = 100. E para x = 100/3, tem-se y = 100−2(100/3) =
100/3.
Logo, (0, 100) e (100/3, 100/3) também são pontos críticos da função P (x, y).
Pela condição de x, y, z > 0, o ponto crítico que leva ao produto máximo é (100/3, 100/3), cuja
imagem segundo a função f é z = f(100/3) = −(100/3)− (100/3)+100 = 100/3. Portanto, os
três números que em conjunto satisfazem às condições são x = 100/3, y = 100/3 e z = 100/3.
BONS ESTUDOS!
6