[Resolvida] Lista de exercícios - Cônicas

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Trabalho 
 
Observação: Em nenhuma das questões será admitido respostas sem 
justificativas! Exiba os cálculos! 
1) Esboce o gráfico e determine as equações reduzida e geral da circunferência 
de centro em 𝐶 = (3,0) e raio 4. 
 
2) Determine a equação das elipses e esboce seus gráficos, sabendo-se que: 
a) Os focos são 𝐹 = (0, −4) e 𝐹 = (0,4) e a medida do eixo maior é 10. 
b) Os focos estão no eixo x, a distância focal é 6 e a medida do eixo menor é 
8. 
c) São dados 𝐴 = (−5,0) e 𝐴 = (5,0) e a excentricidade 𝑒 = √ . 
 
3) Nas hipérboles abaixo, determine os seus focos e esboce o seu gráfico. 
a) − 𝑦 = 1 b) − = 1 c) − = 2 d) 4𝑦 − 25𝑥 = 100 
 
4) Sendo fornecido o foco e a reta diretriz, determine a equação da parábola e 
esboce o seu gráfico. 
a) 𝐹 = (3,0) e 𝑑: 𝑥 = −3 b) 𝐹 = (0,4) e d: 𝑦 = −4 c) 𝐹 = (0, −1) e 𝑑: 𝑦 = 1 
d) 𝐹 = (−5,0) e 𝑑: 𝑥 = 5 
 
5) Determine o foco e a reta diretriz das parábolas. 
a) 𝑦 = 10𝑥 b) 𝑥 = −2𝑦 c) 𝑥 = 20𝑦 d) 𝑦 = −16𝑥 
 
6) Caso a equação represente um cilindro, informe que curva compõe sua 
diretriz e esboce o gráfico do cilindro, caso seja uma esfera, informe o centro e 
o raio e esboce seu gráfico, caso seja uma quádrica que não se encaixa nos 
casos anteriores, isto é, que não seja cilindro, nem esfera, identifique os cortes 
notáveis da quádrica, que são três, o 𝑥 = 0, o 𝑦 = 0 e o 𝑧 = 0, e esboce o 
gráfico dessa quádrica. 
a) + + = 1 b) + − = 1 c) − − = 1 d) 𝑧 = 3𝑥 + 𝑦 
 
e) 𝑥 + 𝑧 = 4 f) 𝑦 = 3𝑥 g) (𝑥 − 2) + (𝑦 + 3) + (𝑧 − 2) = 16 
 
h) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 4𝑦 = 0 
 
Renato da Silva Viana
Resoluções
1)
Equação reduzida da circunferência para xC = 3, yC = 0 e r = 4:
(x− xC)2 + (y − yC)2 = r2
(x− 3)2 + y2 = 16 Equação reduzida
Desenvolvendo-se a equação reduzida chega-se na equação geral:
x2 − 6x + 9 + y2 = 16⇒ x2 − 6x + y2 − 7 = 0 Equação geral
2) a)
Coordenadas do centro:
xC =
xF1 + xF2
2
=
0 + 0
2
= 0
yC =
yF1 + yF2
2
=
−4 + 4
2
= 0
Semidistância focal:
c =
F1F2
2
=
√
(xF1 − xF2)2 + (yF1 − yF2)2
2
=
√
(0− 0)2 + (−4− 4)2
2
= 4
Semieixo menor:
b =
√
a2 − c2 =
√(
10
2
)2
− 42 = 3
Equação da elipse:
(y − yC)2
a2
+
(x− xC)2
b2
= 1
(y − 0)2
52
+
(x− 0)2
32
= 1
y2
25
+
x2
9
= 1 Equação da elipse
2) b)
Elipse indeterminada.
2) c)
1
Renato da Silva Viana
Coordenadas do centro:
xC =
xA1 + xA2
2
=
−5 + 5
2
= 0
yC =
yA1 + yA2
2
=
0 + 0
2
= 0
Semieixo maior:
a =
A1A2
2
=
√
(xA1 − xA2)2 + (yA1 − yA2)2
2
=
√
(−5− 5)2 + (0− 0)2
2
= 5
Semidistância focal:
e =
c
a
⇒ c = ae = 5
√
5
5
=
√
5
Semieixo menor:
b =
√
a2 − c2 =
√
52 −
√
5
2
=
√
20
Equação da elipse:
(x− xC)2
a2
+
(y − yC)2
b2
= 1
(x− 0)2
52
+
(y − 0)2
√
20
2 = 1
x2
25
+
y2
20
= 1 Equação da elipse
3) a)
Comparando com a equação genérica de uma hipérbole:
(x− xC)2
a2
− (y − yC)
2
b2
= 1
x2
4
− y2 = 1
Encontra-se:
xC = 0
yC = 0
a2 = 4
b2 = 1
2
Renato da Silva Viana
Semidistância focal:
c =
√
a2 + b2 =
√
4 + 1 =
√
5
Coordenadas dos focos:
xF1 = xC − c = 0−
√
5 = −
√
5
yF1 = yC = 0
xF2 = xC + c = 0 +
√
5 =
√
5
yF2 = yC = 0
Focos:
F1(xF1 , yF1) = F1(−
√
5, 0) Foco 1
F2(xF2 , yF2) = F2(
√
5, 0) Foco 2
3) b)
Comparando com a equação genérica de uma hipérbole:
(y − yC)2
a2
− (x− xC)
2
b2
= 1
y2
25
− x
2
9
= 1
Encontra-se:
xC = 0
yC = 0
a2 = 25
b2 = 9
Semidistância focal:
c =
√
a2 + b2 =
√
25 + 9 =
√
34
3
Renato da Silva Viana
Coordenadas dos focos:
xF1 = xC = 0
yF1 = yC − c = 0−
√
34 = −
√
34
xF2 = xC = 0
yF2 = yC + c = 0 +
√
34 =
√
34
Focos:
F1(xF1 , yF1) = F1(0,−
√
34) Foco 1
F2(xF2 , yF2) = F2(0,
√
34) Foco 2
3) c)
Dividindo-se ambos os membros por 2 obtém-se a equação reduzida da hipérbole:
y2
16
− x
2
4
= 1
Comparando com a equação genérica de uma hipérbole:
(y − yC)2
a2
− (x− xC)
2
b2
= 1
y2
16
− x
2
4
= 1
Encontra-se:
xC = 0
yC = 0
a2 = 16
b2 = 4
Semidistância focal:
c =
√
a2 + b2 =
√
16 + 4 =
√
20
4
Renato da Silva Viana
Coordenadas dos focos:
xF1 = xC = 0
yF1 = yC − c = 0−
√
20 = −
√
20
xF2 = xC = 0
yF2 = yC + c = 0 +
√
20 =
√
20
Focos:
F1(xF1 , yF1) = F1(0,−
√
20) Foco 1
F2(xF2 , yF2) = F2(0,
√
20) Foco 2
3) d)
Dividindo-se ambos os membros por 100 obtém-se a equação reduzida da hipérbole:
y2
25
− x
2
4
= 1
Comparando com a equação genérica de uma hipérbole:
(y − yC)2
a2
− (x− xC)
2
b2
= 1
y2
25
− x
2
4
= 1
Encontra-se:
xC = 0
yC = 0
a2 = 25
b2 = 4
Semidistância focal:
c =
√
a2 + b2 =
√
25 + 4 =
√
29
5
Renato da Silva Viana
Coordenadas dos focos:
xF1 = xC = 0
yF1 = yC − c = 0−
√
29 = −
√
29
xF2 = xC = 0
yF2 = yC + c = 0 +
√
29 =
√
29
Focos:
F1(xF1 , yF1) = F1(0,−
√
29) Foco 1
F2(xF2 , yF2) = F2(0,
√
29) Foco 2
4) a)
Parâmetro:
p =
|xF − xD|
2
=
|3− (−3)|
2
= 3
Coordenadas do centro:
xC =
xF + xD
2
=
3 + (−3)
2
= 0
yC = yF = 0
Equação da parábola:
(y − yC)2 = 4p(x− xC)
(y − 0)2 = 4(3)(x− 0)
y2 = 12x Equação da parábola
4) b)
Parâmetro:
p =
|yF − yD|
2
=
|4− (−4)|
2
= 4
Coordenadas do centro:
xC = xF = 0
yC =
yF + yD
2
=
4 + (−4)
2
= 0
6
Renato da Silva Viana
Equação da parábola:
(x− xC)2 = 4p(y − yC)
(x− 0)2 = 4(4)(y − 0)
x2 = 16y Equação da parábola
4) c)
Parâmetro:
p =
|yF − yD|
2
=
|(−1)− 1|
2
= 1
Coordenadas do centro:
xC = xF = 0
yC =
yF + yD
2
=
(−1) + 1
2
= 0
Equação da parábola:
(x− xC)2 = −4p(y − yC)
(x− 0)2 = −4(1)(y − 0)
x2 = −4y Equação da parábola
4) d)
Parâmetro:
p =
|xF − xD|
2
=
|(−5)− 5|
2
= 5
Coordenadas do centro:
xC =
xF + xD
2
=
(−5) + 5
2
= 0
yC = yF = 0
Equação da parábola:
(y − yC)2 = −4p(x− xC)
(y − 0)2 = −4(5)(x− 0)
y2 = −20x Equação da parábola
5) a)
7
Renato da Silva Viana
Comparando com a equação genérica de uma parábola:
(y − yC)2 = 4p(x− xC)
y2 = 10x
Constata-se:
xC = 0
yC = 0
4p = 10⇒ p = 5
2
Coordenadas do foco:
xF = xC + p = 0 +
5
2
=
5
2
yF = yC = 0
Foco:
F (xF , yF ) = F
(
5
2
, 0
)
Foco
Reta diretriz:
x = xC − p = 0−
5
2
= −5
2
⇒ x = −5
2
Reta diretriz
5) b)
Comparando com a equação genérica de uma parábola:
(x− xC)2 = −4p(y − yC)
x2 = −2y
Constata-se:
xC = 0
yC = 0
−4p = −2⇒ p = 1
2
8
Renato da Silva Viana
Coordenadas do foco:
xF = xC = 0
yF = yC − p = 0−
1
2
= −1
2
Foco:
F (xF , yF ) = F
(
0,−1
2
)
Foco
Reta diretriz:
y = yC + p = 0 +
1
2
=
1
2
⇒ y = 1
2
Reta diretriz
5) c)
Comparando com a equação genérica de uma parábola:
(x− xC)2 = 4p(y − yC)
x2 = 20y
Constata-se:
xC = 0
yC = 0
4p = 20⇒ p = 5
Coordenadas do foco:
xF = xC = 0
yF = yC + p = 0 + 5 = 5
Foco:
F (xF , yF ) = F (0, 5) Foco
Reta diretriz:
y = yC − p = 0− 5 = −5⇒ y = −5 Reta diretriz
5) d)
9
Renato da Silva Viana
Comparando com a equação genérica de uma parábola:
(x− xC)2 = −4p(y − yC)
x2 = −16y
Constata-se:
xC = 0
yC = 0
−4p = −16⇒ p = 4
Coordenadas do foco:
xF = xC − p = 0− 4 = −4
yF = yC = 0
Foco:
F (xF , yF ) = F (−4, 0) Foco
Reta diretriz:
x = xC + p = 0 + 4 = 4⇒ x = 4 Reta diretriz
6) a)
Corte notável para x = 0:
y2
25
+
z2
9
= 1
Corte notável para y = 0:
x2
4
+
z2
9
= 1
Corte notável para z = 0:
x2
4
+
y2
25
= 1
6) b)
Corte notável para x = 0:
y2
25
− z
2
9
= 1
10
Renato da Silva Viana
Corte notável para y = 0:
x2
4
− z
2
9
= 1
Corte notável para z = 0:
x2
4
+
y2
25
= 1
6) c)
Corte notável para x = 0:
−y
2
25
− z
2
9
= 1
Equação para a qual não existe par ordenado pertencente ao R2 que satisfaz a igualdade.
Corte notável para y = 0:
x2
4
− z
2
9
= 1
Corte notável para z = 0:
x2
4
− y
2
25
= 1
6) d)
Corte notável para x = 0:
z = y2
Corte notável para y = 0:
z = 3x2 ⇒ 1
3
z = x2
Corte notável para z = 0:
0 = 3x2 + y2
Equação que admite apenas o par ordenado (0, 0).
6)e)
Curva que compõe a diretriz do cilindro:{
x2 + z2 = 4
y = 0
11
Renato da Silva Viana
6) f)
Curva que compõe a diretriz do cilindro: y = 3x2 ⇒
1
3
y = x2
z = 0
6) g)
Comparando com a equação genérica de uma esfera:
(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = r2
(x− 2)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 16
Verifica-se:
xC = 2
yC = −3
zC = 2
r2 = 16⇒ r = 4
Assim, o centro da circunferência é C(xC , yC , zC) = C(2,−3, 2), e o seu raio é r = 4.
6) h)
Completando quadrado:
x2 + (y − 2)2 − 4 + z2 = 0⇒ x2 + (y − 2)2 + z2 = 4
Comparando com a equação genérica de uma esfera:
(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = r2
x2 + (y − 2)2 + z2 = 4
Verifica-se:
xC = 0
yC = 2
zC = 0
r2 = 4⇒ r = 2
12
Renato da Silva Viana
Assim, o centro da circunferência é C(xC , yC , zC) = C(0, 2, 0), e o seu raio é r = 2.
Bons estudos!
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