[Resolvida] - Lista de exercícios - Circuitos elétricos I

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Renato da Silva Viana
Lista
1. Considere um circuito LC em que L = 500 mH e C = 0,100µF.
a) Qual é a frequência de ressonância?
b) Se uma resistência de 1,0 kΩ é introduzida neste circuito, qual é a frequência das
oscilações amortecidas criticamente?
2. Um capacitor de 2,0 nF com uma carga inicial de 5,10µC é descarregado através de um
resistor de 1,3 kΩ. Calcule a carga que sobra no capacitor após 8,0µs.
3. Em um circuito RLC com R = 7,60 Ω, L = 2,20 mH e C = 1,8µF. Calcule a frequência
(em Hz e rad/s) da oscilação amortecida deste circuito.
4. Quando a chave da figura abaixo é fechada, a corrente leva 3,0 ms para atingir 98% de
seu valor final. Se R = 10,0 Ω, ache o valor da indutância.
5. Na figura temos a chave S aberta em um circuito com um capacitor (5,0µF) que ini-
cialmente está descarregado e está conectado em série com um resistor de 0,8 MΩ e uma
bateria de 12,0 V. Quando a chave em a for fechada, calcule:
a) a constante de tempo do circuito;
b) a carga máxima do capacitor; e
c) a corrente no tempo de t = 2,0 s.
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6. Um capacitor de 2,00 nF com uma carga inicial de 5,10µC é descarregado através de um
resistor de 1,3 kΩ. Calcule a corrente no resistor 9,00µs após ser conectado ao capacitor.
7. Considere o circuito da figura e tomando a bateria igual a 6,0 V, L = 8,0 mH e R = 4,0 Ω.
a) Qual é a constante de tempo indutiva do circuito?
b) Calcule a corrente no circuito depois de 250µs que a chave for fechada.
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Resoluções
Resolução 1. a)
Por definição, a frequência de ressonância é dada por:
ω0 =
1√
LC
Logo, para L = 500.10−3 H e C = 0,1.10−6 F:
ω0 =
1√
500.10−3 × 0,1.10−6
≈ 4472,14 rad/s X
Resolução 1. b)
Colocado o resistor de resistência R = 1,0 kΩ em série com os indutor e capacitor, a resposta
obtida é um amortecimento sub-cŕıtico, visto que:
R < 2
√
L
C
Com isso, a frequência natural de ressonância é definida como:
ωd =
√(
1√
LC
)2
−
(
R
2L
)2
Portanto:
ωd =
√√√√( 1√
500.10−3 × 0,1.10−6
)2
−
(
1.103
2× 500.10−3
)2
≈ 4358,90 rad/s
Por fim, a frequência de oscilações é:
f =
ωd
2π
≈ 4358,90
2π
≈ 693,74 Hz X
Resolução 2.
Para esse circuito, a carga do capacitor no domı́nio do tempo pode ser encontrada por meio da
equação:
Q(t) = Q0e
− t
RC
Logo, para t = 8.10−6 s, Q0 = 5,1.10
−6 C, R = 1,3.103 Ω e C = 2.10−9 F:
Q(8.10−6) = 5,1.10−6e
− 8.10
−6
1,3.103×2.10−9 ≈ 0,24µC X
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Resolução 3.
Observado que R < 2
√
L
C
, a frequência natural de ressonância do circuito RLC série em questão,
para L = 2,2.10−3 H, C = 1,8.10−6 F e R = 7,6 Ω, é:
ωd =
√(
1√
LC
)2
−
(
R
2L
)2
=
√√√√( 1√
2,2.10−3 × 1,8.10−6
)2
−
(
7,6
2× 2,2.10−3
)2
≈ 15796,89 rad/s X
E a frequência de oscilações é:
f =
ωd
2π
≈ 15796,89
2π
≈ 2514,15 Hz
Resolução 4.
A corrente do circuito RL com fonte de tensão em série comporta-se segundo a equação que
segue:
I(t) =
ε
R
(
1− e−
R
L
t
)
O valor final If da corrente no circuito pode ser visualizada através do limite quando o tempo
de carregamento decorrido é muito longo:
If = lim
t→∞
I(t) = lim
t→∞
[ ε
R
(
1− e−
R
L
t
)]
=
ε
R
Segundo o enunciado, para t0 = 3.10
−3 s:
I(t0) = 98%If = 98%
ε
R
Destarte:
ε
R
(
1− e−
R
L
t0
)
= 98%
ε
R
⇒ 1− e−
R
L
t0 = 0,98⇒ e−
R
L
t0 = 0,02
Para R = 10 Ω, segue-se:
L = − Rt0
ln(0,02)
= −10× 3.10
−3
ln(0,02)
≈ 7,67 mH X
Resolução 5. a)
Para R = 0,8.106 Ω e C = 5.10−6 F, a constante de tempo do circuito é o seguinte produto:
τ = RC = 0,8.106 × 5.10−6 = 4 s X
Resolução 5. b)
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A carga máxima do capacitor pode ser encontrada através do produto, em que ε = 12 V:
Q = Cε = 5.10−6 × 12 = 60µC X
Resolução 5. c)
A corrente do circuito RC com fonte de tensão em série obedece a equação:
I(t) =
ε
R
e−
t
RC
No tempo de 2 s e para R = 0,8.106 Ω:
I(2) =
12
0,8.106
e
− 2
0,8.106×5.10−6 ≈ 9,10µA X
Resolução 6.
A corrente do circuito RC livre de fontes e com carga inicial Q é tal que:
I(t) =
Q
RC
e−
t
RC
Assim, no tempo de 9µs, com Q = 5,1.10−6 C, R = 1,3.103 Ω e C = 2.10−9 F:
I(9.10−6) =
5,1.10−6
1,3.103 × 2.10−9
e
− 9.10
−6
1,3.103×2.10−9 ≈ 61,56 mA X
Resolução 7. a)
A constante de tempo do circuito RL é a qual segue, onde L = 8.10−3 H e R = 4 Ω:
τ =
L
R
Logo:
τ =
8.10−3
4
= 2 ms X
Resolução 7. b)
A corrente no circuito RL com fonte de tensão em série tem a expressão:
I(t) =
ε
R
(
1− e−
R
L
t
)
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Com ε = 6 V, R = 4 Ω e L = 8.10−3 H, no tempo de t = 250.10−6 s tem-se:
I(250.10−6) =
6
4
(
1− e−
4
8.10−3
250.10−6
)
≈ 0,18 A X
Bons estudos!
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