[Resolvido] Exercício - Óptica

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Renato da Silva Viana
QUESTÃO
Uma maneira de avaliar a qualidade de ĺıquidos e a presença de impurezas consiste em medir
a transparência do mesmo por meio de um sistema onde um laser atravessa o ĺıquido e chega
a um detector. No utilizado para tal finalidade, temos um detector de luz localizado no ponto
A da figura que pode se movimentar horizontalmente e um laser que incide um feixe de luz
no ponto B. Para esse sistema em particular os dois ĺıquidos são imisćıveis e apresentam as
caracteŕısticas listadas na tabela a seguir. Determine a que distância xA em cm, medida a
partir do lado esquerdo, que o detector deverá ser colocado para ser atingido pelo feixe de luz,
dado que h1 = 35,2 cm, h2 = 20,3 cm, xB = 109 cm, θ = 27
◦.
Ĺıquido Densidade (g/cm3) Índice de refração
Amostra M 1,28 1,81
Amostra N 0,85 1,03
1
Renato da Silva Viana
RESOLUÇÃO
De ińıcio, a presença do ĺıquido N acima do ĺıquido M justifica-se pela densidade do primeiro
ser menor que do segundo:
µN = 0,85 g/cm
3 < µM = 1,28 g/cm
3
O enunciado destaca o ângulo θ, complementar do ângulo de incidência do laser no meio N,
aquele entre o raio e a normal. Assim, pela lei de Snell, tem-se:
nar sin(90
◦ − θ) = nN sin θ1 (1)
Uma vez ângulos alternos internos, o ângulo de refração θ1 é igual ao ângulo de incidência no
meio M. Assim, para a transição do raio do meio N para o meio M:
nN sin θ1 = nM sin θ2 (2)
Sendo o membro direito da equação (1) igual ao membro esquerdo da equação (2), evidencia-se
a seguinte igualdade:
nar sin(90
◦ − θ) = nM sin θ2 (3)
Tem em vista que sin(90◦ − θ) = cos θ, da equação (1) segue-se:
sin θ1 =
nar sin(90
◦ − θ)
nN
=
nar cos θ
nN
E da equação (3) vem:
sin θ2 =
nar sin(90
◦ − θ)
nM
=
nar cos θ
nM
2
Renato da Silva Viana
Por trigonometria, sabe-se que:
tanα =
sinα√
1− sin2 α
Para α = θ1:
tan θ1 =
sin θ1√
1− sin2 θ1
=
nar cos θ
nN√
1−
(
nar cos θ
nN
)2 = nar cos θ√n2N − n2ar cos2 θ
Da mesma maneira, para α = θ2:
tan θ2 =
nar cos θ√
n2M − n2ar cos2 θ
Pela figura auxiliar, nota-se:
tan θ1 =
d1
h1
⇒ d1 = h1 tan θ1 = h1
nar cos θ√
n2N − n2ar cos2 θ
tan θ2 =
d2
h2
⇒ d2 = h2 tan θ2 = h2
nar cos θ√
n2M − n2ar cos2 θ
Ainda em consonância com a figura auxiliar:
xB = xA + d1 + d2 ⇒ xA = xB − d1 − d2
xA = xB − h1
nar cos θ√
n2N − n2ar cos2 θ
− h2
nar cos θ√
n2M − n2ar cos2 θ
Admitindo-se o ind́ıce de refração do ar nar = 1, aplicados os dados para o cálculo de xA,
obtém-se:
xA = 36,8233 cm X
Bons estudos!
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