Completamento de Quadrados e Fatoração (1) - Slides

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Fatoração e Completamento de quadrados
Monitor: Gabriel Valentin
Introdução
Produtos Notáveis;
Fatoração;
Completamento de quadrados: representação algébrica e geométrica. 
 Produtos Notáveis
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
( Quadrado da soma entre dois termos)
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²
(Quadrado da diferença entre dois termos)
 Produtos Notáveis
(a + b)(a - b) = a² - b²
(Produto da soma pela diferença de dois termos)
 Produtos Notáveis
(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b) 
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
( Cubo da soma entre dois termos)
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b)
 = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(Cubo da diferença de dois termos)
 Fatoração
Fatorar um polinômio é transformá-lo em um produto de polinômios, o processo inverso é chamado de desenvolver o produto. 
 Fatoração
 Utilizando produtos notáveis
Ex: 
x² + 8x + 16 = x² + 2.(4x) + 4² = (x + 4)² 
x² - 6x + 9 = x² - 2(3x) + 3² = (x - 3)²
 Fatoração
Evidenciando fatores comuns:
 3x²y + 6xy + 9xy² 
= 3.x.x.y + 2.3.x.y + 3.3.x.y.y 
= 3xy( x + 2 + 3y) 
 Fatoração
Evidenciando fatores comuns:
 
 2x²y + 4xy + 6y²
= 2.x.x.y + 2.2.x.y + 2.3.y.y 
= 2y(x² + 2x + 3y) 
Fatoração
Evidenciando fatores comuns:
 
 2x²y + 4xy + 6y²
= 2.x.x.y + 2.2.x.y + 2.3.y.y 
= 2y(x² + 2x + 3y) 
Completamento de quadrados
Nos ajuda a simplificar alguns cálculos e a facilitar o processo de resolver equações quadráticas, encontrar o vértice de parábolas e definir se uma equação forma ou não uma circunferência. Pode ser utilizado em outros contextos não apresentados nesse curso. 
 
 
 		Para que serve?
Completamento de quadrados
 
 
 
 	É basicamente escrever equações quadráticas no formato dos produtos notáveis: 		
 					(a + b)² e (a - b)²
Completamento de quadrados
x
x
 6
 x
x² +6x + 7 = 0
x
x
3
3
Completamento de quadrados
 
 
3
3
x
x
 x² +6x + 7 = 0
3
3
 x² + 6x + 9 -9 + 7 = 0
 (x² + 6x + 9) - 9 + 7 = 0 
 (x + 3)² -2 = 0
x
Completamento de quadrados
 
 
(x + 3)² = 2
|x + 3| = ± √2
x = - 3 ± √2 
Completamento de quadrados
f(x) = x² + 4x + 7
f(x) = (x² + 4x + 4 - 4) + 7
f(x) = (x² + 4x + 4) - 4 + 7
f(x) = (x + 2)² + 3 
Vértice: (-2 , 3)
Completamento de quadrados
 
 Equação geral da circunferência:
 x² + y² -2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 
Equação reduzida da circunferência:
 (x - x0)² + (y - y0)² = r² 
Completamento de quadrados
Vamos determinar se a seguinte equação forma uma circunferência:
 x² + 2x + y² - 4x + 3 = 0 
Completamento de quadrados
(x² + 2x) + (y² - 4x) + 3 = 0
(x² + 2x +1 - 1) + (y² - 4x + 4 - 4) + 3
(x² + 2x + 1) - 1 + (y² - 4x + 4) - 4 + 3 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² - 2 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² = 2 
 x² + 2x + y² - 4x + 3 = 0 
Completamento de quadrados
 (x + 1)² + (y - 2)² = 2 
Comparando com a equação geral da circunferência podemos afirmar que a equação acima forma uma circunferência. 
Centro = ( -1, 2) Raio = √2
 
Obrigado pela participação!