Trigonometria e Vetores na Mecânica dos Sólidos

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Prof. Me. Eduardo Pachla
eduardo.pachla@uniritter.edu.br
Mecânica dos Sólidos
Aula 2
Classificação dos Triângulos
Razões Trigonométricas
Objetivos de Aprendizagem:
• Interpretar situações que envolvam o uso
das relações trigonométricas;
• Calcular medidas desconhecidas
utilizando as relações trigonométricas;
• Identificar e usar corretamente as
relações: seno, cosseno e tangente;
• Utilizar estratégias de cálculos para
resolver situações problemas envolvendo
as relações trigonométricas
Aula 2: Revisão Geral Sobre Trigonometria
2
Referências Utilizadas:
• HIBBELER, R. C. Estática:
mecânica para engenharia.
12. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2011. xiv, 512 p.
ISBN 978-85-7605-815-1.
Aula 2: Revisão Geral Sobre Trigonometria
3
Sistema Internacional de Unidades
4
Sistema Internacional de Unidades
5
Exercício Resolvido em Sala de Aula
Tempo para resolução: 20 minutos
6
Cuidados ao Resolver Exercícios
7
Pontos Importantes
Vamos utilizar pelo 
menos DUAS (2) casas 
depois da virgula em 
todos exercícios e nas 
Provas
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Exercícios
1. Represente cada uma das seguintes combinações de unidades na
forma do SI correta usando o prefixo apropriado: (a) uMN; (b) N/um,
(c) MN/ks², (d) kN/ms;
2. Represente cada uma das seguintes quantidades na forma SI correta
usando um prefixo apropriado: (a) 0,000431 kg, (b) 35,3 (10³) N e (c)
0,00532 km.
3. Um foguete possui uma massa de 3,65 (10^6) kg na Terra.
Especifique seu peso em unidades do SI. Se o foguete estiver na
Lua, onde a aceleração devido à gravidade é gm = 1,62 m/s²
determine com três algarismos significativos seu peso e sua massa
em unidades do SI.
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Exercícios
4. Se um carro está viajando a 88 km/h, determine sua velocidade em
metros por segundo.
5. Qual é o peso em newtons de um objeto que tenha massa de: (a) 10
kg, (b) 0,5 g, (c) 4,50 Mg? Expresse o resultado com três algarismos
significativos. Use o prefixo apropriado.
6. Determine a massa de um objeto que tem um peso de (a) 20 mN,
(b) 150 kN e (c) 60 MN. Expresse o resultado com três algarismos
significativos.
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Resultados
1. (a) N; (b) MN/m; (c) N/s²; (d) MN/s; 
2. (a) 0,431 g; (b) 35,3 kN; (c) 5,32 m;
3. Pe = 35,8 MN, Wm = 5,91 MN e mL = mT = 3,65 Gg;
4. 24,45 m/s;
5. (a) P = 98,1 N; (b) P = 4,90 mN; (c) P = 44,1 kN.
6. (a) m = 2,04 g; (b) m = 15,30 Mg e (c) m = 6,12 Gg.
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Definições Importantes
Escalar:
Um escalar é qualquer
quantidade física positiva ou
negativa que pode ser
completamente especificada por
sua intensidade.
Exemplos de quantidades
escalares incluem comprimento,
massa e tempo;
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Definições Importantes
Vetor:
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma
intensidade, um sentido e uma direção para sua completa descrição.
Exemplos de vetores encontrados na estática são força, posição e
momento. Um vetor é representado graficamente por uma seta. O
comprimento da seta representa a intensidade do vetor, e o ângulo θ
entre o vetor e um eixo fixo determina a direção de sua linha de
ação. A ponta da seta indica o sentido da direção do vetor.
Direção Sentido Intensidade
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Operações Vetoriais
Multiplicação de vetores por escalares:
Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua
intensidade é aumentada por essa quantidade. Quando multiplicado
por um escalar negativo, ele também mudará o sentido direcional do
vetor.
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Operações Vetoriais
Adição de Vetores – Lei do Paralelogramo
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do
paralelogramo da adição. Para ilustrar, os dois vetores
“componentes” A e B na figura são somados para formar um vetor
resultante: R = A + B usando o seguinte procedimento:
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Operações Vetoriais
Adição de Vetores – Lei do Paralelogramo
- Primeiro, una as origens dos vetores componentes em um
ponto de modo que se tornem concorrentes;
- A partir da extremidade de B, desenhe uma linha paralela a A.
Desenhe outra linha a partir da extremidade de A que seja paralela a
B. Essas duas linhas se interceptam no ponto P para formar os
lados adjacentes de um paralelogramo.
- A diagonal desse paralelogramo que se estende até P forma R,
que então representa o vetor resultante R = A + B.
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Operações Vetoriais
Adição de Vetores – Lei do Paralelogramo
Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do
paralelogramo da adição. Para ilustrar, os dois vetores
“componentes” A e B na figura são somados para formar um vetor
resultante: R = A + B usando o seguinte procedimento:
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Operações Vetoriais
Adição de Vetores – Regra do Triângulo
Também podemos somar B e A usando a regra do triângulo, que
é um caso especial da lei do paralelogramo, em que o vetor B é
somado ao vetor A da forma “extremidade para origem”, ou seja,
conectando a extremidade de A com a origem de B. O R resultante
se estende da origem de A à extremidade de B. De modo
semelhante, R também pode ser obtido somando A à B. Por
comparação, vemos que a adição de vetores é comutativa; em
outras palavras, os vetores podem ser somados em qualquer ordem,
ou seja, R = A + B = B + A.
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Operações Vetoriais
Adição de Vetores – Regra do Triângulo
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Operações Vetoriais
Subtração de Vetores
A resultante da diferença entre dois vetores A e B do mesmo tipo
pode ser expressa como:
R’ = A – B = A + (- B)
Essa soma de vetores é mostrada na figura abaixo. A subtração
é definida, portanto, como um caso especial da adição, de modo que
as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração de
vetores.
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Operações Vetoriais
Adição Vetorial de Forças
FORÇA É UMA QUANTIDADE VETORIAL. Possui intensidade,
direção e sentido especificados, e sua soma é feita de acordo com a
lei do paralelogramo. Dois problemas comuns em estática envolvem
determinar a força resultante, conhecendo-se suas componentes ou
decompor uma força conhecida em duas componentes.
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Operações Vetoriais
Determinando uma força resultante
As duas forças componentes F1 e F2, agindo sobre o pino
podem ser somadas para formar a força resultante FR = F1 + F2. A
partir dessa construção usando a regra do triângulo, podemos
aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo a fim
de obter a intensidade da força resultante e sua direção.
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Decomposição de Forças
Decompondo uma força
Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas
componentes para estudar seu efeito de “empurrão” ou “puxão” em
duas direções específicas. Por exemplo, figura abaixo, F deve ser
decomposta em duas componentes ao longo dos dois membros,
definidos pelos eixos u e v. Para determinar a intensidade de cada
componente, um paralelogramo é construído primeiro, desenhando
linhas iniciando na extremidade de F, uma linha paralela a u e a
outra linha paralela a v. Essas linhas então se interceptam com os
eixos v e u, formando um paralelogramo.
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Decomposição de Forças
Decompondo uma força
As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas
simplesmente unindo a origem de F com os pontos de interseção
nos eixos u e v. Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um
triângulo, que representa a regra do triângulo. A partir disso, a lei
dos senos pode ser aplicada para determinar as intensidades
desconhecidas das componentes.
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Decomposição de Forças
LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS
25
Procedimento para Análise
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Pontos Importantes
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Exercício Resolvido em Sala de Aula
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Exemplo 2.1
Exercício para Resolver em Sala de Aula
Metodologia ativa: resolvido em 
grupos;
Resposta: Fv = 600 N; Fu = 1039 N 
29
Exercícios para Resolver em Casa
FR = 666 N 
FR = 6,80 kN;
θ = 103°;
Ø = 58,49°;
FR = 721 N;
α = 73,90°;
Ø = 43,90°;
PROBLEMAS FUNDAMENTAIS
Hibbeler
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Exercícios para Resolver em Casa
PROBLEMAS FUNDAMENTAIS
Hibbeler
Fu = 219,6 N;
Fv = 155,3 N;
FAC = 1272,8 N;
FAB = 1738,7 N;
F = 3,11 kN;
Fv = 4,39 kN;
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Exercícios para Resolver em Casa
PROBLEMAS
Hibbeler
Ø = 38,30°;
FR = 10,40 kN;
θ = 54,90°;
T = 6,57 kN;θ = 30,6°;
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Vídeos para Próxima Aula
Grandezas Escalares e Vetoriais
https://www.youtube.com/watch?v=1IsB4wiDERk
Geometria Plana – Relações Básicas e Trigonométricas do
Triângulo Retângulo
https://www.youtube.com/watch?v=--mUGgRu95c
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https://www.youtube.com/watch?v=1IsB4wiDERk
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