capítulo 2 (resenha)

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IFMG Sabará
Engenharia de Controle e Automação
Luiz Alberto Sales Vieira
F́ısica II
Movimento Retiĺıneo
Resenha
Sabará
Fevereiro de 2021
Movimento retiĺıneo
Movimento unidimensional: movimento nos casos em que o objeto está se movendo em linha reta.
Cinemática: classificação e comparação dos movimentos.
1. Deslocamento
A uma mudança da posição x1 para a posição x2 é associado um deslocamento ∆x, dado por
∆x = x2 − x1 [eq. 1]
2. Velocidade média
Velocidade média vmed é a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t durante o qual esse
deslocamento ocorreu, e é expressa por:
vmed =
∆x
∆t =
x2−x1
t2−t1 [eq. 2]
A unidade no SI é o metro por segundo (m/s).
Em um gráfico de x em função de t, vmed é a inclinação da reta que liga dois pontos da curva x(t).
A velocidade média vmed tem sempre o mesmo sinal do deslocamento ∆x porque ∆t é sempre positivo.
3. Velocidade escalar média
A velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida independentemente da direção.
Seja D a distância total percirrida, então
Smed =
D
∆t [eq. 3]
A velocidade escalar média é sempre positiva.
4. Velocidade instantânea
A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo ∆t
até torná-lo próximo de zero. Quando ∆t diminui, a velocidade média se aproxima cada vez mais de um valor
limite, que é a velocidade instantânea.
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
[eq. 4]
Observe que v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a
derivada de x em relação a t. Note também que v, em qualquer instante, é a inclinação da curva que representa
a posição em função do tempo no instante considerado.
5. Velocidade escalar instantânea
É o módulo da velocidade.
Obs: Em um gráfico de v(t), a área sob a curva em um intervalo dado é a variação de x para esse mesmo
intervalo.
6. Aceleração média
Quando a velocidade de uma part́ıcula varia, diz-se que a part́ıcula sofreu uma aceleração (ou foi acelerada).
Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média amed em um intervalo de tempo ∆t é dada por
amed =
v2−v1
t2−t1 =
∆v
∆t [eq. 5]
em que v1 é a velocidade da part́ıcula no instante t1, e v2 é a velocidade da part́ıcula no instante t2.
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7. Aceleração instantânea
A aceleração instantânea é dada por
a = dvdt [eq. 6]
A aceleração de uma part́ıcula em um dado instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse
instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) nesse ponto.
Podemos combinar a [eq. 6] com a [eq. 4] e escrever:
a = dvdt =
d
dt(
dx
dt ) =
d2x
dt2
[eq. 7]
Assim, a aceleração de uma part́ıcula em um dado instante é a derivada segunda da posição x(t) em relação
ao tempo nesse instante.
A unidade de aceleração no SI é o metro por segundo ao quadrado, m/s2.
O sinal algébrico representa o sentido em relação a um eixo; uma aceleração com um valor positivo tem o
sentido positivo do eixo, enquanto uma aceleração com um valor negativo tem o sentido negativo do eixo.
A forma apropriada de interpretar o sinal da aceleração é a seguinte:
Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma part́ıcula são iguais, a velocidade escalar da part́ıcula aumenta.
Se os sinais são opostos, a velocidade escalar diminui.
8. Aceleração constante
Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais e podemos escrever
a [eq. 5] com algumas mudanças de notação, na forma
a = amed =
v−v0
t−0 .
Explicitando v, obtemos:
v = v0 + at [eq. 8]
De maneira análoga, podemos escrever e [eq. 2] com algumas mudanças de notação, na forma
vmed =
x−x0
t−0
Explicitando x, obtemos:
x = x0 + vmedt [eq. 9]
Para a função velocidade linear da [eq. 8], a velocidade média em qualquer intervalo de tempo é a média
aritmética da velocidade no ińıcio do intervalo (v0) com a velocidade no final do intervalo (v). Para o intervalo
de t = 0 até um instante posterior t, portanto, a velocidade média é:
vmed =
1
2(v0 + v) [eq. 10]
Substituindo v pelo valor dado pela [eq. 8], obtemos:
vmed = v0 +
1
2at [eq. 11]
Finalmente, explicitando vmed na [eq. 9], e substituindo seu valor na [eq. 11], temos:
x− x0 = v0t + 12at
2 [eq. 12]
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As [eqs. 8 e 12] são as equações básicas do movimento com aceleração constante.
Um problema com aceleração constante pode envolver até cinco grandezas: x− x0, v, t, a e v0.
As [eqs. 8 e 12] contêm, cada uma, quatro dessas grandezas, mas não as mesmas quatro. Na [eq. 8], a grandeza
ausente é o deslocamento x− x0. Na [eq. 12] é a velocidade v.
As duas equações podem ser combinadas de três maneiras diferentes para produzir três novas equações, cada
uma das quais envolvendo quatro grandezas diferentes. Em primeiro lugar, podemos eliminar t para obter
v2 = v20 + 2a(x− x0) [eq. 13]
Em segundo lugar, podemos eliminar a aceleração a para obter
x− x0 = 12(v0 + v)t [eq. 14]
Finalmente, podemos eliminar v0, obtendo
x− x0 = vt− 12at
2 [eq. 15]
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