AVA2-Cal3-Veiga-2020

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Cálculo III 
Avaliação II 
1) Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com 
centro na origem e raio 𝑎. Se a densidade do arame for dada pela função 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑘. 𝑥. 𝑦, 
encontre a massa e o centro de massa do arame. 
2) Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 ; 𝑦𝑒 𝑥) em uma partícula 
que se move sobre a parábola 𝑥 = 𝑦 2 + 1 de (1,0) até (2,1). 
3) Foi solicitado encontrar o caminho ao longo do qual um campo de força 𝐹⃗ irá realizar o 
menor trabalho para mover uma partícula entre dois locais. Um cálculo rápido da sua parte 
mostra que 𝐹⃗ é conservativo. Como você deve responder? Justifique. 
4) Uma partícula inicialmente no ponto (−2, 0) se move ao longo do eixo 𝑥 para (2, 0), e então 
ao longo da semicircunferência 𝑦 = √4 − 𝑥 2 até o ponto inicial. Calcule o trabalho realizado 
nessa partícula pelo campo de força 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 ). 
 
Solução: 
Questão 01: 
Utilizando a integração de linha para realizar o cálculo da massa: 
𝑚 = ∫ 𝑘𝑥𝑦
𝑃
 𝑑𝑠 
Usando a parametrização para C, temos: 
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
𝑑𝑠 = √(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑡
)
2
= √(−𝑎 sin 𝑡)2 + (𝑎 cos 𝑡)2 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑑𝑡 
Logo, formamos a seguinte integral: 
𝑚 = ∫ 𝑘𝑎(𝑎 cos 𝑡)(𝑎 sin 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘𝑎3
𝜋
2
0
[
sin2 𝑡
2
]
𝜋
2
=
𝑘𝑎
2
3
(1 − 0) =
𝑘𝑎3
2
 
Calcular as coordenadas do centro de massa: 
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑚
∫ 𝑥 𝑘𝑥𝑦 𝑑𝑠 =
2
𝑘𝑎3𝑃
∫ 𝑘𝑎(𝑎 cos 𝑡)2(𝑎 sin 𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑎 [−
cos3 𝑡
3
]
0
𝜋
2
=
2𝑎
3
(0 + 1) =
2𝑎
3
𝜋
2
0
 
𝑥𝐶𝑀 =
1
𝑚
∫ 𝑥 𝑘𝑥𝑦 𝑑𝑠 =
2
𝑘𝑎3𝑃
∫ 𝑘𝑎(𝑎 cos 𝑡)(𝑎 sin 𝑡)2𝑑𝑡 = 2𝑎 [
sin3 𝑡
3
]
0
𝜋
2
=
2𝑎
3
(0 − 1) =
2𝑎
3
𝜋
2
0
 
Resolvendo, temos a seguinte resolução: 
𝑚
𝑘𝑎3
2
 
(
2𝑎
3
,
2𝑎
3
) 
Questão 02: 
Sabemos que a definição matemática para calcular o trabalho: 
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ (𝑟 (𝑡))
𝑏
𝑎
× 𝑟 (𝑡)𝑑𝑡 
Logo, precisamos aplicar para parametrização na curva: 
A curva é uma parábola 𝑥 = 𝑦2 + 1; 𝑦 = 𝑡, assim temos 𝑥 = 𝑡2 + 1, logo 𝑟 (𝑡) = (𝑡2 + 1, 𝑡) com 
0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 
Realizando a derivada de 𝑟 em relação a 𝑡,logo: 
𝑟 (𝑡) = (2𝑡, 1) 
Assim, podemos formar a integral: 
∫ ((𝑡2 + 1)2, 𝑡𝑒𝑡
2+1) × (2𝑡, 1)𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡(𝑡2 + 1)2 + 𝑡𝑒𝑡
2+1)𝑑𝑡
1
0
1
0
 
Resolvendo por partes: 
∫ 2𝑡(𝑡4 + 2𝑡2 + 1)𝑑𝑡 = ∫ (2𝑡5 + 4𝑡3 + 2𝑡)𝑑𝑡 = [
2
6
𝑡6 + 𝑡4 + 𝑡2]
0
11
0
=
7
3
1
0
 
Na segunda parte realizando por substituição: 
𝑡2 + 1 = 𝑢 → 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
2
 
𝑡 = 0 → 𝑢 = 1 
𝑡 = 1 → 𝑢 = 2 
∫ 𝑡𝑒𝑡
2+1
1
0
𝑑𝑡 = ∫
𝑒𝑢
2
𝑑𝑢 = [
𝑒𝑢
2
]
1
2
=
2
1
𝑒2
2
−
𝑒
2
 
Logo, temos como resultado: 
7
3
+
𝑒2
2
−
𝑒
2
 
Questão 03: 
O campo é conservativo, temos pelo teorema da independência do caminho, que o trabalho 
realizado, ou seja, a integral de linha para qualquer campo conservativo não depende do 
trajeto, apenas dos pontos iniciais e finais. Dessa forma, não importa qual caminho tomar, o 
trabalho sempre será o mesmo dado um ponto final e inicial. 
Questão 04: 
Na questão informa que se trata de uma curva fechada e está orientada positivamente, como 
ilustrada abaixo: 
 
Logo a parametrização para a curva: 
𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
A função dada que é o trabalho: 
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ × 𝑑𝑟
𝐶
= ∫ 𝐹⃗(𝑟(𝑡)) × 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡
𝜋
0
 
Portanto, 
𝐹⃗(𝑟(𝑡)) = (2 cos 𝑡 , 8 cos3 𝑡 + cos 𝑡 sin2 𝑡) 
𝑟′(𝑡) = (−2sin 𝑡 , 2 cos 𝑡) 
Assim, 
𝑊 = ∫ (−4sin 𝑡 cos 𝑡 + 16 cos4 𝑡 + 48 cos2 𝑡 sin2 𝑡)𝑑𝑡
𝜋
0
 
= −4∫ sin 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 + 16
𝜋
0
∫ cos4 𝑡 𝑑𝑡 + 48∫ cos2 𝑡 sin2 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
𝜋
0
 
= −4∫ 𝑢 𝑑𝑢
0
0
+ 16(
3
8
𝑡 +
1
4
sin2𝑡 +
1
32
sin 4𝑡)
0
𝜋
+ 48(
1
4
sin3 𝑡 cos 𝑡 +
1
8
𝑡 −
1
16
sin2𝑡)
0
𝜋
 
= 0 + 16 ×
3
8
𝜋
𝜋
8
= 6𝜋 + 6𝜋 = 12𝜋 
12𝜋