Lógica e Raciocinio

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FACULDADE DESCOMPLICA 
PÓS-GRADUAÇÃO EM PERÍCIAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL 
DISCIPLINA: LÓGICA E RACIOCINIO 
PROPOSICÕES MATEMATICAS 
Chamamos de proposição toda oração declarativa que pode ser classificada 
como verdadeira ou falsa. Sendo assim, uma proposição: 
 Possui sujeito e predicado; 
 Não é uma oração interrogativa ou exclamativa. 
Além disto, toda proposição satisfaz os seguintes princípios: 
 Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
 Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira 
ou é falsa, não há uma terceira possibilidade. 
São exemplos de proposições: 
 Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. 
 Onze é maior do que sete. (11 > 7) 
 Buenos Aires é a capital do Brasil. 
E não são proposições: 
 X elevado ao quadrado mais um. (x² + 1) 
 O número Pi é um número irracional? 
 O dobro de um número somado com dois é igual a doze (2x + 
2 = 12) 
Na primeira temos que a sentença não possui um predicado, a segunda é 
uma oração interrogativa, e na terceira não temos como classificar a sentença 
como verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x. 
 
A partir de uma proposição p podemos construir uma nova proposição, 
chamada de negação de p, denotada por ~p, cujo valor lógico é sempre o oposto 
da proposição original p. 
 
Exemplos de negação: 
p: Buenos Aires é a capital do Brasil. (Falso) 
~p: Buenos Aires não é a capital do Brasil. (Verdadeiro) 
p: Cinco vezes sete é igual a trinta e cinco (7 x 5 = 35) (Verdadeiro) 
~p: Cinco vezes sete é diferente de trinca e cinco (7 x 5 ≠ 35) (Falso) 
p: Sete é um número inteiro (7 ∈ Z). (Verdadeiro) 
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~p: Sete não é um número inteiro (7 ∉ Z) (Falso) 
 
 
Conectivos são símbolos lógicos utilizados para gerar novas proposições a 
partir de uma proposição inicial. 
 
Conectivo de conjunção: ∧ (lê-se “e”) 
Exemplo: 
p: O número 7 é primo. 
q: O número 2 é par. 
p ∧ q: O número 7 é primo e o número 2 é par. 
 
p: 5 > 7 
q: 5 ≠ 2 
p ∧ q: 5 > 7 e 5 ≠ 2. 
 
Uma conjunção p ∧ q é verdadeira somente se p e q são ambas verdadeiras. 
Se pelo menos uma destas sentenças possuem o valor lógico como falso, então a 
conjunção é falsa. Com isto, a conjunção do primeiro exemplo é verdadeira, 
enquanto a do segundo exemplo, é falsa. 
 
Conectivo de disjunção: ∨ (lê-se “ou”) 
Exemplo: 
p: 2 é um número primo. 
q: 2 é um número composto. 
p ∨ q: 2 é um número primo ou um número composto. 
 
p: 10 é um número ímpar. 
q: 4 é um número primo. 
p ∨ q: 10 é um número ímpar ou 4 é um número primo. 
 
Uma disjunção p ∨ q só será falsa se ambas as proposições p e q forem 
falsas. Se pelo menos uma delas for verdadeira, então o valor lógico da disjunção 
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é verdadeiro. No exemplo anterior, temos que a primeira disjunção é verdadeira, 
enquanto a segunda disjunção é falsa. 
 
Existe outro modo de gerar novas proposições a partir de duas proposições 
iniciais, utilizando os símbolos lógicos condicionais. 
 
Condicional → (lê-se: “se p, então q”) 
Exemplo: 
p: Cinco é divisor de vinte (5|20) 
q: Vinte é divisor de 100 (20|100) 
p → q: Se cinco é divisor de vinte, então vinte é divisor de 100 (5|20 → 
20|100) 
 
p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida. 
q: Todo quadrilátero é um paralelogramo. 
p → q: Se um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, então 
todo quadrilátero é um paralelogramo. 
 
A condicional p → q terá o valor lógico como sendo falso somente quando p 
é uma proposição verdadeira e q é uma proposição falsa. Do contrário, a 
condicional será verdadeira. No exemplo anterior, a primeira condicional é 
verdadeira, e a segunda, falsa. 
 
Condicional ↔ (lê-se: “p, se e somente se, q”) 
p: Cinco é divisor de vinte (5|20) 
q: Vinte é divisor de 100 (20|100) 
p ↔ q: Cinco é divisor de vinte, se e somente se, vinte é divisor de 100. 
(5|20 ↔ 20|100) 
 
p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida. 
q: Todo quadrilátero é um paralelogramo. 
p ↔ q: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, se e 
somente se, todo quadrilátero é um paralelogramo. 
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A condicional p ↔ q será verdadeira se p e q tiverem o mesmo valor lógico, 
isto é, ou p e q são ambas verdadeiras, ou ambas falsas. Se p e q tiverem valores 
lógicos distintos, então a condicional será falsa. No exemplo anterior, a primeira 
condicional é verdadeira, enquanto a segunda é falsa. 
 
Podemos resumir as relações de valores lógicos na seguinte tabela: 
 
 
TAULOGIA E RELAÇÕES LÕGICAS 
Uma tautologia é uma proposição composta logicamente verdadeira, 
isto é, quando seu valor lógico é sempre verdadeiro. 
 
Exemplo: p∨ ~ (p ∧ q) 
 
 
Exemplo: p∨~(p ∧ q) 
 
 
Uma contradição é uma proposição composta logicamente falsa, isto é, 
é aquela que seu valor lógico é sempre falso. 
 
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Exemplo: q∧ ~ q 
 
 
Exemplo: (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) 
 
 
Exemplo: (p ∨ ~ q) ↔ (~p ∧ q) 
 
 
Uma proposição p implica em uma proposição q se q é verdadeira todas as 
vezes que p é verdadeira, isto é, quando a condicional p → q é verdadeira. Neste 
caso, indicamos p ⇒ q. 
 
Toda proposição implica em uma tautologia e somente uma contradição 
implica em uma contradição. 
Exemplo: (p → q) ∧ p ⇒ q 
 
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Dizemos que p é equivalente a q quando p e q tem os mesmos valores 
lógicos, isto é, quando a condicional p ↔ q é verdadeira. Neste caso, indicamos p 
⇔ q. 
Se p e q são ambas tautologias ou ambas contradições, então p e q são 
equivalentes. 
Exemplo: p ⇔ ~ (~p) 
 
 
Exemplo: p → (p ∧ q) ⇔ p → q 
 
 
 
SENTENÇAS ABERTAS E QUANTIFICADORES 
Uma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de uma 
variável x (ou mais de uma). Por exemplo: 
 p(x): x + 1 = 7 
Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa. 
 p(y): é um número natural e y > 2 
Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa. 
 p(Q): é um polígono que possui um ângulo interno de 90º. 
Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas se 
Q for um triângulo equilátero, então a sentença é falsa. 
 p(x,y): x, y ∈ R e x > y 
Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa. 
 
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O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de todos 
os elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição verdadeira. Nos 
exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade são, respectivamente, Vₚ = 
{6}, Vₚ = {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...}, Vₚ = polígonos que possuem um ângulo 
interno reto , Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > y} 
Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da variável x da 
sentença aberta p(x), temos três possibilidades: 
Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da 
existência, é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe apenas 
um”. 
 (∃! y ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.” 
Valor-lógico: Verdadeiro 
 ∃! y ∈ R; y² + 1 < 0 
“Existe um único número real y tal que y² + 1 < 0.” 
Valor-lógico: Falso 
 ∃! y ∈ Z; 2z < z 
“Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z." 
Valor-lógico: Falso 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna uma 
proposição (∃x! ∈ A) (p(x)). 
 Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira; 
 Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa. 
 p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vₚ= A e p(x) é 
uma propriedade universal no conjunto A. 
 p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vₚ é 
um subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no 
conjunto A. 
 p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ = Ø e p(x) é uma 
propriedade impossível no conjunto A. 
 
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Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os 
quantificadores. O quantificador universal é indicado pelo símbolo e lê-se: 
“para todo”, ou “qualquer que seja”. Por exemplo: 
 (∀x ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” 
Valor-lógico: Falso. 
 ∀x ∈ R, y² + 1 > 0 
“Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
2z > z, 
“O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador a torna uma 
proposição (∀x ∈ A) (p(x)). 
 Se Vₚ = A, a proposição é verdadeira; 
 Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa. 
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: “existe”, ou 
“existe pelo menos um”. 
 (∃ x ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
 ∃ x ∈ N; y² + 1 < 0 
“Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.” 
Valor-lógico: Falso 
 ∃ z ∈ Z; 2z < 2 
“Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z” 
Valor-lógico: Falso 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma 
proposição (∃ x ∈ A) (p(x)). 
 Se Vₚ = Ø, a proposição é verdadeira; 
 Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é falsa. 
 
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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS 
Sendo p, q proposições, a negação de uma conjugação é a dada por: 
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 
 
Exemplos: 
p: 2 é um número par. 
q: 2 é um número primo. 
(p ∧ q): 2 é um número par e 2 é um número primo. 
~(p ∧ q): 2 não é um número par ou 2 não é um número primo. 
 
p: Usar roupa preta. 
q: Ir ao cinema. 
(p ∧ q): Usar roupa preta e ir ao cinema. 
~(p ∧ q): Não usar roupa preta ou não ir ao cinema. 
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma disjunção é dada por: 
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q 
 
Exemplos: 
p: 2 é um número par. 
q: 2 é um número primo. 
(p ∧ q): 2 é um número par ou 2 é um número primo. 
~(p ∧ q): 2 não é um número par e 2 não é um número primo. 
 
p: Usar roupa preta. 
q: Ir ao cinema. 
(p ∨ q): Usar roupa preta ou ir ao cinema. 
~(p ∨ q): Não usar roupa preta e não ir ao cinema. 
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma condicional simples é dada 
por: 
~(p q) ⇔ p ∧ ~q 
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Exemplos: 
p: 7 é um número racional. (7∈ Q) 
q: 7 é um número real. (7∈ R) 
(p → q): Se 7 é um número racional então 7 é um número real. (7∈ Q →7∈ 
R) 
~(p → q): 7 é um número racional e 7 não é um número real. (7∈ Q e 7∉ R) 
p: Usar roupa preta. 
q: Ir ao cinema. 
(p → q): Se usar roupa preta então irá ao cinema. 
~(p → q): Usar roupa preta e não ir ao cinema. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador universal é dada 
por: 
~(∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)(~p(x)) 
 
Exemplos: 
p(x): fala alemão. 
(∀x)(p(x)): Toda pessoa fala alemão. 
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos uma pessoa fala que alemão. 
 
p(x): x+7=1. 
(∀x∈ R)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7=1 
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos um x∈ R tal que x+7≠1. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial é dada 
por: 
~(∃x)(p(x)) ⇔ (∀x)(~p(x)) 
 
Exemplos: 
p(x): x foi a Marte. 
(∃x)(p(x)): Existe uma pessoa que foi a Marte. 
~(∃x)(p(x)): Todas as pessoas não foram a Marte. 
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p(x): x+7=1. 
(∃x∈ R)(p(x)): Existe um x ∈ R tal que x+7=1. 
~(∃x)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7≠1. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial com 
unicidade é dada por: 
~(∃!L)(p(L)) ⇔ (∀L)(~p(L)) ∨ (∃L ₁,L₂)(p(L ₁) ∧ p(L₂)) 
 
Exemplos: 
p(L): O losango L é um quadrado. 
(∃!L∈ R)(p(L)): Existe um único losango L que é um quadrado. 
~(∃!L)(p(L)): Para todo losango L temos que L não é um quadrado, ou existem 
pelo menos dois losangos L ₁ e L₂ que não são quadrados. 
 
POSTULADOS, TEOREMAS E CONJECTURAS 
Uma definição é um nome que damos para uma classe de objetos com 
características em comum, ou para abreviar a escrita de um objeto. Por exemplo: 
 Chamamos de número primo os números naturais que são 
divisíveis por exatamente dois números: pelo 1 e por ele mesmo. 
 Um número é composto quando ele não é um número primo. 
 Um triângulo é uma figura plana formada por três segmentos 
de reta que se intersectam dois a dois em suas extremidades 
Observe que um mesmo objeto pode ser definido segundo duas regras 
diferentes, mas que são equivalentes para descrever o mesmo tipo de objeto: 
 Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois 
de seus lados possuem a mesma medida. 
 Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois 
de seus ângulos internos possuem a mesma medida. 
Em uma definição não estamos interessados em garantir que a família de 
objetos definida exista ou seja útil, apenas que a definição é clara e sem 
ambiguidades. Por exemplo, se B é o conjunto dos números primos e pares 
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maiores do que 10, como o único número primo e par é o número 2, o conjunto B 
não possui nenhum elemento, é um conjunto vazio. 
 
Postulados e axiomas são as regras iniciais de uma teoria, que não são 
provadas ou demonstradas. São consideradas “verdades absolutas”, e deles que 
derivam os primeiros teoremas e resultados demonstráveis. 
 Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um 
axioma não pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e 
postulados. 
 Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, 
um postulado pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e 
postulados. 
 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados demonstráveis 
a partir de postulados, axiomas e resultados previamente demonstrados. Existe a 
seguinte hierarquia entre estes conceitos: 
 Proposições: São resultados de relevância “padrão”, úteis, 
porém não possuem destaque. 
 Teoremas: São resultados de maior relevância na teoria 
estudada. 
 Lemas: São resultados prévios, normalmente técnicos, para a 
demonstração de uma proposição ou teorema. 
 Corolário: Resultado cuja demonstração utiliza um resultado 
provado logo antes. 
 Escólio: Resultado imediato de um resultado anterior, de 
demonstração imediata. 
 
Conjecturas são candidatas a proposições/teoremas que ainda não foram 
provadas como verdadeiras ou falsas. São suposições não verificadas. Também 
podem ser chamadas de hipóteses. 
Proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, a Conjectura de 
Goldbach é um dos problemas mais antigos não resolvidos na matemática, com 
origem em 1742. 
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Conjectura de Goldbach (1742): Todo número par maior do que 2 pode ser 
representado pela soma de dois números primos. 
 
4=2+2 
 6=3+3 
12=5+7 
 
TIPOS DE PROVAS MATEMÁTICAS I 
Uma prova (demonstração) matemática é uma cadeia de argumentos 
lógicos que tem, como premissa, os axiomas, postulados e resultados previamente 
provados. Toda demonstração segue uma lógica dedutiva: 
 
Hipótese ⇒ Tese 
 
Observe que testar apenas para alguns casos não significa que a tese é 
válida para o todo. A Intuição não substitui a dedução. Por exemplo, temos a 
Conjectura de Euler: 
 
Conjectura de Euler - Caso particular (1769): Não existem números 
naturais que satisfaçam: 
x⁴+y⁴+z⁴=w⁴Testando diversos números, a conjectura de Euler parece ser válida, porém 
após dois séculos, em 1986, Noam Elkies encontrou um contraexemplo que 
provava que a conjectura de Euler era falsa: 
 
2.862.440 ⁴ +15.365.639⁴+18.796.760⁴=20.615.673⁴ 
 
Este é um exemplo que mostra a necessidade de que, uma prova 
matemática, deve ser um encadeamento de argumentos lógico-matemáticos que 
cobrem todos os casos possíveis, e não somente uma (grande) quantidade de casos 
particulares. 
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Uma prova (demonstração) direta é uma prova que se baseia na relação 
lógica “se p então q” (p⇒q). Por exemplo: Se x e y são números reais não-negativos, 
então: 
 
Obtendo assim o resultado desejado. 
 
C.Q.D. 
A sigla “C.Q.D. significa “como queríamos demonstrar”, e é comum que uma 
demonstração matemática termine com esta sigla, ou com o símbolo 
 , indicando 
que a demonstração está finalizada. 
Uma prova (demonstração) indireta, ou por contradição, é baseada em 
se negar a tese e manter válida a hipótese, a fim de encontrar uma contradição 
lógica. Por exemplo, para provar a inequação anterior através de uma prova 
indireta: 
Prova: Suponha por absurdo que existem x, y ∈ R tais que: 
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O que é um absurdo pois zero não é maior do que zero. Logo a inequação é 
válida. 
Uma prova (demonstração) por indução, ou por recorrência, é baseada 
em duas etapas: 
1. Base da indução: provar que o enunciado é válido para um 
primeiro caso; 
2. Passo Indutivo: Provar que, se o resultado vale para um n = 
k, então também será valido para o n = k +1. 
 
Por exemplo, para todo número n ∈ N vale que: 
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Logo, pelo Princípio da Indução, temos que a igualdade é válida para todo 
n ∈ N. 
 
TIPOS DE PROVAS MATEMÁTICAS II 
 
Uma prova (demonstração) por contraposição se baseia em na relação 
lógica (p→ q) ⇔ ~q → ~p, isto é, nega-se a tese e conclui-se que a hipótese também 
é negada. 
Exemplo: Se x² é um número par, então x é par. 
Prova: Iremos provar que se x não é um número par, então x² não é um 
número par. Se x não é par, então é um número ímpar, logo como o produto de 
dois números ímpares é um número ímpar, então x⋅x = x² é ímpar.∎ 
Observe que as provas por contradição e por contraposição são parecidas, 
pois ambas negam a tese. Entretanto, na demonstração por contradição 
assumimos a hipótese, para chegar em uma contradição, enquanto na pôr 
contraposição procuramos negar a hipótese. 
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Uma prova (demonstração) por construção demonstra a existência de um 
objeto matemático através de um algoritmo para a construção dele. 
Exemplo: Todo segmento de reta 
 
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Observe que o ponto M foi construído, assim como os triângulos que foram 
utilizados na demonstração. Apesar da construção neste exemplo ser geométrica, 
uma prova por construção pode ser realizada em outros contextos. Por exemplo, 
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as demonstrações dos Teoremas de Picard-Lindelöf e do Ponto Fixo de Banach se 
baseiam na construção de uma função através de uma sequência de funções com 
propriedades específicas, e a demonstração do Teorema do Elipsóide de John 
baseia-se na construção de um conjunto que satisfaz as condições impostas pelo 
teorema. Por se tratarem de demonstrações avançadas e complexas, elas não 
serão abordadas neste material. 
 
Uma prova (demonstração) por exaustão ou por casos consiste em 
dividir a demonstração em um número finito de casos, e provar cada um 
separadamente. 
Exemplo: Para todo n ∈ N, vale que n³+2n é divisível por 3. 
Prova: Iremos dividir em três casos: 
n = 3k : Neste caso temos que: 
n³ + 2n = 27k³ + 6k = 3 ⋅ (9k³ + 2k) 
Logo é divisível por 3. 
n = 3k + 1 : Neste caso observe a seguinte equivalência: 
n³ + 2n = n ⋅ (n² + 2) = (3k + 1) ⋅ ((3k + 1)² + 2) 
Logo: 
 (3k + 1)² + 2= 9k² + 3k + 1 + 2 = 3 (3k² + k + 1) 
n = 3k + 2: Neste caso observe a seguinte equivalência: 
n³ + 2n = (3k + 2) ⋅ ((3k + 2)² + 2) 
Logo: 
(3k+2)² + 2 = 9k² + 12k + 6 = 3 (3k² + 4k +2) 
Sendo assim divisível por 3. 
C.Q.D. 
Observe ainda que abrangemos uma quantidade infinita de números, 
porém divididos em um número finito de casos (3 casos). Em uma demonstração 
por exaustão, é comum dividirmos em 2 ou 3 casos, porém é possível haver 
milhares ou milhões de casos. A primeira demonstração do Teorema das Quatro 
Cores foi uma prova dividida em 1.936 casos, e a versão mais refinada, dividida 
em 600 casos. 
 
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Uma prova (demonstração) por força bruta consiste em demonstrar o 
resultado para todos os casos possíveis. 
Exemplo: Existem apenas 5 poliedros regulares convexos. 
 Ideia da prova: Um poliedro regular satisfaz as seguintes relações: 
2A = n ⋅ F e 2A = p ⋅ V 
Logo: 
 
Fazendo algumas manipulações e considerações, chega-se que n<6 e que 
3≤ p <6. 
Testando cada possível combinação por força-bruta, temos que: 
n = 3 e p = 3: tetraedro regular 
n = 3 e p = 4: octaedro regular 
n = 3 e p = 5: icosaedro regular 
n = 4 e p = 3: Cubo (hexaedro regular) 
n = 5 e p = 3: Dodecaedro regular 
 
As demais combinações não geram poliedros, logo, por força bruta, temos 
que existem apenas 5 poliedros regulares. ∎ 
Observe que desta vez foi apresentado apenas a ideia da prova, pois alguns 
detalhes foram subtraídos, pois fogem do escopo deste material. Todavia, a 
demonstração completa pode ser encontrada em qualquer livro de geometria 
espacial. 
É importante salientar que uma prova por força-bruta não consiste em 
tentar um número finito de casos para um resultado com infinitas possibilidades, 
entretanto, o método da força-bruta pode ser utilizado para encontrar 
contraexemplos e demonstrar que uma conjectura é falsa. Um exemplo desta 
estratégia foi adotado para resolver o problema booleano dos trios pitagóricos, em 
2016. 
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PARADOXOS, SOFISMAS E FALÁCIAS 
Um paradoxo é uma sentença aparentemente verdadeira, mas que possui 
uma contradição lógica ou contradiz o senso-comum. Podemos classificar os 
paradoxos em subtipos: 
 
 Paradoxos verídicos: dão resultados contra o senso-comum, 
mas logicamente corretos. 
 Paradoxos falsídicos: dão resultados incorretos, utilizando 
um raciocínio lógico falso. 
 Antinomias: são aqueles que possuem falhas no raciocínio, 
axiomas ou definições. 
 
Paradoxo Verídico - Paradoxo do Aniversário: Dado um grupo de 23 
pessoas aleatórias, a probabilidade de que pelo menos duas delas farão 
aniversário no mesmo dia é maior do que 50%. Acima de 57 pessoas, a 
probabilidade é maior do que 99%. 
 
O paradoxo consiste em contradizer a intuição de que se não temos pelo 
menos 183 pessoas (metade da quantidade de dias em um ano), então a 
probabilidade deveria ser inferior à 50%. Todavia, supondo um ano de 365 dias, a 
probabilidade de que n pessoas façam aniversário em dias distintos: 
Um paradoxo é uma sentença aparentemente verdadeira, mas que possui 
uma contradição lógica ou contradiz o senso-comum. Podemos classificar os 
paradoxos em subtipos: 
 
 Paradoxos verídicos: dão resultados contra o senso-comum, 
mas logicamente corretos. 
 Paradoxos falsídicos: dão resultados incorretos, utilizando 
um raciocínio lógico falso. 
 Antinomias: são aqueles que possuem falhas no raciocínio,axiomas ou definições. 
 
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PÓS-GRADUAÇÃO EM PERÍCIAS NA CONSTRUÇÃO CIVIL 
DISCIPLINA: LÓGICA E RACIOCINIO 
Paradoxo Verídico - Paradoxo do Aniversário: Dado um grupo de 23 
pessoas aleatórias, a probabilidade de que pelo menos duas delas farão 
aniversário no mesmo dia é maior do que 50%. Acima de 57 pessoas, a 
probabilidade é maior do que 99%. 
O paradoxo consiste em contradizer a intuição de que se não temos pelo 
menos 183 pessoas (metade da quantidade de dias em um ano), então a 
probabilidade deveria ser inferior à 50%. Todavia, supondo um ano de 365 dias, a 
probabilidade de que n pessoas façam aniversário em dias distintos: 
 
Logo a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no 
mesmo dia é: p(n)=1-p'(n), e para n=23, p(23)≈50,7%. 
A tabela a seguir mostra a relação da quantidade de pessoas versus a 
probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia. 
 
 
Paradoxo Verídico – O Hotel de Hilbert: Um dos mais clássicos paradoxos 
da matemática. Um hotel possui infinitos quartos, um quarto para cada número 
natural, com todos ocupados. Um novo hóspede chega. Como acomodá-lo em um 
quarto do hotel? 
O gerente do hotel pede para que o hóspede do quarto 1 vá para o quarto 2; 
o hóspede do quarto 2 vai para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 para o quarto 
4, e assim por diante. O hóspede do quarto n vai para o quarto n + 1, e como são 
infinitos quartos, todos estes hóspedes são acomodados em um novo quarto. 
Agora, o quarto 1 está livre, e o novo hóspede pode se hospedar no hotel. 
 
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E se agora, chegam-se infinitos ônibus (enumeráveis) com infinitos 
passageiros (enumeráveis), como podemos acomodá-los? 
O gerente do hotel pede para que os quartos ímpares sejam esvaziados. Os 
hóspedes destes quartos são acomodados nos quartos com número 3ⁿ (o primeiro 
hóspede no quarto 3¹, o segundo no 3² = 9, e assim por diante). Os passageiros do 
1º ônibus são acomodados nos quartos com número 5ⁿ. Os passageiros do 2º 
ônibus são acomodados nos quartos com número 7ⁿ. Os passageiros do -ésimo 
ônibus são acomodados nos quartos 
p^n_{i+1}pi+1n 
 onde 
p_{i+1}pi+1 
é o (- +1) -ésimo número primo 
O paradoxo do Hotel de Hilbert mostra que quando estamos tratando de 
quantidades infinitas (os números naturais), as propriedades não são tão 
intuitivas. As propriedades de conjuntos infinitos são diferentes dos conjuntos 
finitos. 
Paradoxo Falsídico – O Paradoxo do Mentiroso: Se uma pessoa diz “estou 
mentindo agora”. Ela é mentirosa ou está falando a verdade? 
Se a frase for verdadeira, então ele está mentindo, logo é um mentiroso, e a 
frase é falsa. Mas se a frase for falsa, então a pessoa não está mentindo, porém a 
frase é falsa, então ele está mentindo. 
Uma falácia é um erro lógico, consistente ou não, que forma juízo 
equivocado sobre o assunto em pauta, conduzindo a formulação de conceitos 
ilegítimos. Uma pessoa pode cometer uma falácia sem intenção ou sem 
consciência do erro que está cometendo. 
Um paralogismo ocorre quando o locutor comete a falácia de modo 
involuntário, sem a intenção de enganar o interlocutor. Já um sofisma ocorre 
quando o locutor comete a falácia de modo proposital, com a intenção de enganar 
o interlocutor. 
Sofismas matemáticos, ou falácias matemáticas, são argumentos falsos 
para ludibriar o interlocutor. São muito comuns nas redes sociais, como uma 
espécie de desafio “encontre o erro”. 
 
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Exemplo: Onde está o erro? 
 
O erro está na segunda linha. A raiz quadrada não pode ser quebrada pelo 
produto quando se trata de números negativos. 
Exemplo: Na figura abaixo temos que a área do quadrado é igual à 21² = 441 
u.a. 
 
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