ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E PARALELO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
CENTRO DE DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL DO SEMIÁRIDO 
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
DISCIPLINA: FÍSICA EXPERIMENTAL 
PROFESSOR: JOSÉ VANDERLAN LEITE DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
EQUIPE – TURMA 2 
ANDRESSA SOARES DA SILVA 
JOÁS GALDINO DE OLIVEIRA 
JÚNIOR ALVES DE ARAÚJO 
MAÍTALA ANDRÉIA ANDRADE ALVES DE SOUZA 
MARIANE EMANUELLE PESSOA SANTOS 
 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E PARALELO 
 
 
 
 
 
SUMÉ 
2019 
2 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO................................................................................................. 3 
2 OBJETIVOS...................................................................................................... 3 
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..................................................................... 3 
4 MATERIAIS UTILIZADOS............................................................................. 5 
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL............................................................. 6 
6 RESULTADOS.................................................................................................. 6 
7 QUESTIONÁRIO E DISCUSSÕES.................................................................. 7 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................. 13 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................... 13 
 
 
 
3 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O experimento realizado consiste em analisar as associações em série e em 
paralelo de um sistema massa-mola, no qual aplicou-se uma força �⃗� que resultou na 
elongação ∆𝐿 do conjunto de molas. A partir da relação estabelecida entre essas grandezas 
calculou-se as constantes elásticas referentes as duas associações, por meio de relações 
matemáticas e interpretações gráficas dos dados obtidos durante o experimento. 
 
2 OBJETIVOS 
 
» Estudar o comportamento da elongação de uma mola suspensa por um peso 
pendurado em sua extremidade em associação em série e em paralelo; 
» Determinar a sua constante elástica das associações em série e em paralelo; 
» Verificar a lei de associações de molas em série e paralelo. 
 
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
A Lei de Hooke descreve a força restauradora que existe em diversos sistemas 
quando comprimidos ou distendidos. Qualquer material, sobre o qual atua uma força, 
sofrerá uma deformação. Quando essa deformação for considerada pequena, diz-se que o 
material está no regime elástico, ou seja, retorna à sua forma original quando a força que 
a gerou cessa. Logo, a força restauradora surge sempre no sentido de recuperar o formato 
original do material, assim, por exemplo, uma mola esticada ou comprimida irá retornar 
ao seu comprimento original devido à ação dessa força restauradora (FREITAS, 2010). 
Ainda para o autor, a Figura 1(a) mostra uma mola com comprimento inicial 𝑥0. 
Se esta for comprimida até um comprimento 𝑥 < 𝑥0 , a força �⃗� surge no sentido de 
recuperar o comprimento original, como mostrado na Figura 1(b). Caso a mola seja 
esticada até um comprimento 𝑥 > 𝑥0 a força restauradora �⃗� terá o sentido mostrado na 
Figura 1(c). Em todas as situações descritas a força �⃗� é proporcional à deformação ∆𝑥, 
que é definida como ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0. Portanto, como apresenta a Equação 1, no regime 
elástico há uma dependência linear entre a força �⃗� e a deformação ∆x. 
�⃗� = −𝑘. ∆𝑥 (1) 
4 
 
Onde, k é a constante de proporcionalidade denominada de constante elástica da 
mola. Essa equação formaliza a Lei de Hooke e o sinal negativo indica o fato de que a 
força �⃗� tem sentido contrário a deformação ∆𝑥. 
 
Figura 1 – Mola: (a) natural, (b) comprimida e (c) esticada 
 
Fonte: Freitas, (2010). 
 
Conforme Calçada e Sampaio (1998), considerando duas molas ideais, como 
mostra a Figura 2(a), de constantes 𝐾1 e 𝐾2, associadas em série, e aplicando a 
extremidade do conjunto uma força �⃗�, que atua igualmente em cada uma das molas 
fazendo-as sofrer uma deformação, dada por: 
∆𝑥𝑠 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 
𝐹
𝑘𝑠
 
Obtendo-se: 
𝐹
𝑘1
+ 
𝐹
𝑘2
= 
𝐹
𝑘𝑠
 
Que também pode ser expressa conforme a Equação 2: 
1
𝑘𝑠
= 
1
𝑘1
+ 
1
𝑘2
 (2) 
Similarmente, para uma associação de n molas em série, tem-se: 
1
𝑘𝑠é𝑟𝑖𝑒
= 
1
𝑘1
+ 
1
𝑘2
+ ⋯ + 
1
𝑘𝑛
 
5 
 
Ainda conforme os autores, quando a associação é em paralelo, só tem interesse 
prático o caso de molas idênticas, isto é, molas que têm o mesmo comprimento natural e 
a mesma constante elástica. Considerando duas molas idênticas, como mostra a Figura 
2(b), de constante elástica 𝐾1, associadas em paralelo e presas a um mesmo suporte e a 
uma barra de massa desprezível, no centro da qual é aplicada uma força �⃗� que é dividida 
entre as duas molas, fazendo-as sofrer uma mesma deformação∆𝑥, tal que: 
𝐹
2
= 𝑘1. ∆𝑥 𝑜𝑢 𝐹 = 2𝑘1. ∆𝑥 
Associando a Lei de Hooke, obtém-se: 
 𝑘. ∆𝑥 = 2𝑘1. ∆𝑥 𝑜𝑢 𝑘 = 2𝑘1 
De modo geral, a Equação 3 pode ser ampliada se tiverem n molas idênticas 
associadas em paralelo, sendo 𝐾1 a constante elástica de cada uma: 
𝑘 = 𝑛𝑘1 (3) 
 
Figura 2 - (a) sistema com molas em série (b) sistema com molas em paralelo 
 
Fonte: Freitas, (2010). 
 
4 MATERIAIS UTILIZADOS 
 
» Tripé de haste horizontal e vertical; 
» Molas em séries e molas em paralelo; 
» Massas de (10, 20, 50) gramas; 
» Régua; 
» Acoplador de massas. 
6 
 
5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Medir o comprimento inicial da associação das molas (L0) para cada caso e anotar 
o valor obtido na tabela. Para estudar a elongação das molas em série e paralelo, prenda 
uma massa na extremidade e medir o novo comprimento e anotar na tabela. Acrescentar 
novas massas e repetir as sequências, completando a tabela 1. Repetir o procedimento 
anterior para a associação em paralelo, completando a tabela 2. Repetir o experimento 
utilizando 3 molas. 
 
6. RESULTADOS 
 
Na primeira etapa do experimento realizou-se cinco medições distintas da 
elongação sofrida por um sistema de molas associadas em série. Para efetuar cada 
medição utilizou-se discos de diferentes massas. Inicialmente efetuou-se o cálculo da 
força, partindo do valor da massa e da gravidade local. Na sequência verificou-se o 
comprimento inicial e o comprimento final apresentado pela mola após a aplicação da 
força. Com esses dados calculou-se a deformação sofrida pela mola, sua constante de 
elasticidade e a média desse valor, como apresentado na Tabela 1. 
Tabela 1 – Medidas de elongação da mola associada em série 
Medida 
Massa 
(g) 
Força 
(10-3 N) 
L0 
(10-2 m) 
Lf 
(10-2 m) 
∆L 
(10-2 m) 
F/∆L 
(10-1 N/m) 
Média 
(10-1 N/m) 
01 10 98 26,0 28,5 2,5 39,2 39,1 
02 20 196 26,0 31,0 5,0 39,2 39,1 
03 30 294 26,0 33,6 7,6 38,7 39,1 
04 40 392 26,0 36,0 10,0 39,2 39,1 
05 50 490 26,0 38,5 12,5 39,2 39,1 
 
Na segunda parte do experimento realizou-se exatamente as etapas equivalentes 
as descritas na primeira parte do experimento, no entanto, utilizando-se um sistema de 
molas associadas em paralelo. Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2 – Medidas de elongação da mola associada em paralelo 
Medida 
Massa 
(g) 
Força 
(10-3 N) 
L0 
(10-2 m) 
Lf 
(10-2 m) 
∆L 
(10-2 m) 
F/∆L 
(10-1 N/m) 
Média 
(10-1 N/m) 
01 50 490 12,0 14,1 2,1 233,3 233,3 
02 100 980 12,0 16,2 4,2 233,3 233,3 
03 150 1470 12,0 18,3 6,3 233,3 233,3 
04 200 1960 12,0 20,4 8,4 233,3 233,3 
05 250 2450 12,0 22,5 10,5 233,3 233,3 
7 
 
7 QUESTIONÁRIO E DISCUSSÕES 
 
Para demonstrar o procedimento dos cálculos obtidos no experimento utilizou-se 
como referência a medida 1 realizada com a mola de associação em série. Os demais 
valores foram obtidosrepetindo o mesmo procedimento. 
 
Questão 1 
 
A partir das medições realizadas, como estruturado nas Tabelas 1 e 2, foram 
calculadas as deformações sofridas pelas molas utilizadas no experimento. 
Inicialmente foi medido o comprimento inicial da mola, ou seja, o comprimento 
sem nenhuma interferência de deformação. Em seguida adicionou-se ao suporte acoplado 
na extremidade da mola um disco com massa equivalente a 10g. Logo após, mediu-se o 
comprimento final apresentado pela mola deformada. O cálculo da deformação sofrida 
pela mola associada em série é obtido subtraindo-se a medida do comprimento final do 
inicial, conforme apresenta a Equação 4: 
∆𝐿 = 𝐿𝐹 − 𝐿𝑂 (4) 
∆𝐿 = 28,5 − 26,0 
∆𝐿 = 2,5 𝑐𝑚 
 
Questão 2 
 
A constante elástica da mola foi calculada utilizando a relação entre a força 
aplicada na mola e a variação do seu comprimento. Essa relação é estabelecida conforme 
a Equação 5. 
𝐾 = 
𝐹
∆𝐿
 (5) 
𝐾 =
98𝑥10−3
2,5𝑥10−2
= 39,2𝑥10−1 𝑁/𝑚 
Em seguida, para calcular o valor médio das constantes elásticas da mola 
associada em série, utilizou-se a Equação 6. 
�̅� = ∑
𝑦𝑖
𝑁
𝑁
𝑖=1 (6) 
�̅� = 39,1𝑥10−1 𝑁/𝑚 
 
8 
 
Questão 3 
 
Os dados referentes aos cálculos dos erros: absoluto, relativo e percentual para a 
constante das associações das molas em série e em paralelo estão dispostos conforme 
apresenta a Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Erros absolutos, relativos e percentuais das molas 
Medida 
Erro associação em série Erro associação em paralelo 
Absoluto 
(N/m) 
Relativo Percentual 
Absoluto 
(N/m) 
Relativo Percentual 
1 0,01 0,00 0% 0,00 0,00 0% 
2 0,01 0,00 0% 0,00 0,00 0% 
3 0,04 0,01 1,0% 0,00 0,00 0% 
4 0,01 0,00 0% 0,00 0,00 0% 
5 0,01 0,00 0% 0,00 0,00 0% 
 
Para encontrar os erros relacionados à constante de elasticidade das molas 
utilizou-se as seguintes equações: 
O erro absoluto 
𝐸𝐴 = |𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙| (7) 
𝐸𝐴 = |3,92 − 3,91| = 0,01 N/m 
O erro relativo 
𝐸𝑅 = |
𝐸𝐴
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙
| (8) 
𝐸𝑅 = |
0,01
3,91
| = 0,0025 
𝐸𝑅 ≅ 0,00 
O erro percentual 
𝐸𝑃 = 𝐸𝑅 𝑥 100% (9) 
𝐸𝑃 = 0,00 𝑥 100% = 0% 
 
Questão 4 
 
O Gráfico 1 apresenta a relação entre a força aplicada na associação das molas em 
série e a elongação sofrida por elas. Enquanto o Gráfico 2 mostra a relação referente a 
associação das molas em paralelo. 
 
9 
 
Gráfico 1 - Relação entre a força e a elongação das molas associadas em série 
 
 
Gráfico 2 - Relação entre a força e a elongação das molas associadas em paralelo 
 
 
As deformações sofridas pelas molas são diretamente proporcionais à força a que 
ela está sujeita, conforme apontam os Gráficos 1 e 2. Ao aumentar-se gradativamente a 
intensidade da força aplicada as molas obtêm-se uma variação gradativa no comprimento 
apresentado por elas. 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 2 4 6 8 10 12 14
F
O
R
Ç
A
 (
1
0
-3
 N
)
DEFORMAÇÃO (10-2 m)
FORÇA EM FUNÇÃO DA DEFORMAÇÃO
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2 4 6 8 10 12
F
O
R
Ç
A
 (
1
0
-3
 N
)
DEFORMAÇÃO (10-2 m)
FORÇA EM FUNÇÃO DA DEFORMAÇÃO
10 
 
Questão 5 
 
Para cada gráfico apresentado acima, determinou-se o coeficiente angular da reta 
por meio da Equação 10: 
𝑡𝑔𝛼 = 
∆𝐹
∆𝐿
 (10) 
Para a mola em série utilizou-se os pontos P1 (5,196) e P2 (10, 392). 
𝑡𝑔𝛼 = 
(392 − 196) 𝑥 10−3
(10 − 5) 𝑥 10−2
 = 39,2 𝑥 10−1𝑁/𝑚 
Para determinar o coeficiente da mola em paralelo repetiu-se o mesmo 
procedimento usando os pontos P1 (2,1; 490) e P2 (6,3; 1470), obtendo o valor de 
233,3𝑥 10−1 𝑁/𝑚. 
Os coeficientes angulares obtidos que representam a declividade da reta são 
numericamente iguais às constantes elásticas das molas. 
 
Questão 6 
 
A resultante elástica foi utilizada como base para demonstrar a expressão da 
constante em paralelo (𝐾𝑃) para as três molas. 
𝑅𝑒𝑙 = 𝐹𝑒𝑙1 + 𝐹𝑒𝑙2 + 𝐹𝑒𝑙3 
𝐾𝑒𝑞. 𝑋𝑇 = 𝐾1. 𝑋1 + 𝐾2. 𝑋2 + 𝐾3. 𝑋3 
Como 𝑋𝑇 = 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑋3 
𝐾𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 
Demonstrando agora como obteve-se a expressão da constante em série (𝐾𝑆) para 
as duas molas. Tem-se que o alongamento total do conjunto será dado por: 
𝑋𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2 
Sabe-se também que: 
𝑋𝑇 =
𝑅𝑒𝑙
𝐾𝑒𝑞
 
Assim, utilizando as relações anteriores, temos: 
𝑅𝑒𝑙
𝐾𝑒𝑞
=
𝐹𝑒𝑙1
𝐾1
+ 
𝐹𝑒𝑙2
𝐾2
 
Como, 𝑅𝑒𝑙 = 𝐹𝑒𝑙1 = 𝐹𝑒𝑙2. Então: 
1
𝐾𝑒𝑞
=
1
𝐾1
+ 
1
𝐾2
 
11 
 
 
Questão 7 
 
Para comparar os valores necessitou-se determinar de forma teórica as constantes 
elásticas referente a associação em série e em paralelo do experimento anterior. Logo, 
utilizou-se a Equação 2 para encontrar a constante elástica da mola associada em série: 
1
𝐾𝑆
=
1
𝐾1
+ 
1
𝐾2
 
Com intuito de calcular a constante considera-se que K1 é aproximadamente igual 
a K2, onde o K utilizado foi obtido a partir do experimento anterior e é igual a 7,4 N/m. 
1
𝐾𝑠
=
1
7,4
+ 
1
7,4
 
𝐾𝑆 = 3,7 𝑁/𝑚 
Visando calcular a constante elástica em paralelo, utilizou-se as mesmas 
considerações do cálculo anterior. Para isso usou-se a Equação 11. 
𝐾𝑃 = 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 (11) 
𝐾𝑃 = 7,4 + 7,4 + 7,4 
𝐾𝑃 = 22,2 𝑁/𝑚 
As constantes encontradas neste experimento se aproximam dos valores obtidos 
acima. Portanto, observa-se que não houve discrepância. 
 
Questão 8 
 
Através do Método do Mínimos Quadrados calculou-se a constante elástica para 
cada mola em série e em paralelo por meio da Equação 12. 
𝑎 = 
𝑁(∑ 𝑥𝑖.𝑦𝑖𝑁𝑖=1 )− (∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1 ).(∑ 𝑦𝑖
𝑁
𝑖=1 )
𝑁(∑ 𝑥𝑖2𝑁𝑖=1 )− (∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1 )
2 (12) 
O valor do coeficiente angular da reta apresentado no Gráfico 1: 
𝑎 = 
5 (12845 𝑥 10−5) − (37,6 𝑥 10−2). (1328 𝑥 10−3)
5 (345,26 𝑥 10−4) − (37,6 𝑥𝑥 10−4)2
= 39,2 𝑥 10−1𝑁/𝑚 
Equação: 
𝑦 = 3,92𝑥 
 
 
12 
 
O valor do coeficiente angular da reta obtida a partir do Gráfico 2: 
𝑎 = 
5 (56595 𝑥 10−5) − (31,5 𝑥 10−2). (7350 𝑥 10−3)
5 (242,55 𝑥 10−4) − (31,5 𝑥 10−2)2
= 233,3 𝑥 10−1𝑁/𝑚 
Equação: 
𝑦 = 23,33𝑥 
Por se tratar de um experimento sobre a verificação da Lei de Hooke os Gráficos 
1 e 2 tendem a passar pela origem, logo o valor de b (coeficiente linear) para ambos estará 
próximo a zero. 
Os valores referentes às constantes elásticas das molas em série e em paralelos se 
mostraram coerente, tendo em vista, que os resultados encontrados estão próximos das 
médias das constantes elásticas obtidas no experimento. 
 
Questão 9 
 
Sim, pois a constante elástica da mola depende da natureza de fabricação do 
material, de suas dimensões e do número de espiras. No experimento de associação de 
molas em série observa-se que a constante elástica encontrada foi menor que a constante 
obtida no experimento executado anteriormente (verificação da Lei de Hooke) utilizando 
apenas uma mola, isso se deu pois a mola associada em série possui um maior número de 
espiras, dessa forma, conclui-se que ao aumentar o número de espiras de uma mola sua 
constante elástica irá diminuir. 
 
Questão 10 
 
Provavelmente ocorreu o erro de observação ao medir o comprimento do fio. Esse 
tipo de erro é chamado de paralaxe. 
 
 
13 
 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Finalizando o experimento prático sobre a associação de molas em série e em 
paralelo, concluiu-se que: 
» Com os dados experimentais foram determinadas as constantes elásticas para as 
molas associadas em série e em paralelo. 
» Nos métodos (mínimos quadrados, tangente e constante elástica equivalente emsérie e em paralelo) utilizados para calcular as constantes das molas, os valores 
encontrados foram próximos, não havendo discrepâncias, o que significa dizer 
que os erros cometidos na execução do experimento foram mínimos. 
» A constante encontrada para as molas associadas em paralelo é maior que a 
constante das molas associadas em série, como observa-se nas Tabelas 1 e 2, isso 
indica que as molas de associação em série se deformaram com uma maior 
facilidade. 
» Observa-se que na associação da mola em série o alongamento de uma das molas 
é independente do alongamento da outra. Enquanto que na associação em paralelo 
os alongamentos das molas são os mesmos. 
» As molas voltaram ao seu comprimento inicial devido à ação da força 
restauradora, obedecendo a Lei de Hooke. 
Dessa maneira, os objetivos propostos pelo experimento foram atingidos. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
CALÇADA, C. S.; SAMPAIO, J. L. Física Clássica – Dinâmica e Estática. 2ª ed. vol. 
2. São Paulo: Atual, 1998. 
 
FREITAS, L. Lei de Hooke. Disponível em: 
http://www.ufjf.br/fisica/files/2010/03/06_Pratica6-Hooke.pdf. Acesso em: 04 nov. 
2019. 
 
Roteiro de atividades da disciplina Laboratório de Física Experimental da UFCG – 
Campus Sumé, 2019.