CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS atividade 2

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30/03/2021 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-29779045.06
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GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS
GR0551211 - 202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 21/02/21 17:19
Enviado 26/02/21 19:02
Status Completada
Resultado da tentativa 10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 121 horas, 43 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas
corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um
ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de
uma placa retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no
ponto na direção do vetor .
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e . Assim, dado o ponto (3,4), temos . O vetor é unitário,
então a derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada: .
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano 
 (suponha medida em graus Celsius, e medidos em). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é
oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de
temperatura é mínima em. (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é
mínima).
1 em 1 pontos
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Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto
é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor
gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as
derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e. Logo, o vetor
gradiente é .
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três
variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de
componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam,
nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte
situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso
pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a
maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P,
isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é e sua norma é, temos que
a direção procurada é .
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das
variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida
por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à
variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 
 
 e 
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Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que
a derivada parcial de com relação a é:. Já a derivada parcial de com relação a 
 é: .
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um
software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro
recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento
da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas de
nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor
gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o
ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a
derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o
vetor gradiente são: , e. Logo, . Como a direção de máximo crescimento se dá no
vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor
procurado é.
Pergunta 8
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
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1 em 1 pontos
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Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1),
assinale a alternativa correta. 
 
 
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e
seu vetor gradiente são: , e. Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção
de é o vetor . Portanto, a derivada direcional é .
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as
direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivadada função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção
seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da
função no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: 
 e , que implicam que o vetor gradiente seja. Calculando o vetor gradiente no ponto
P, temos que. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional procurada é .
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de
formação da função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos
verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto.
O domínio da função é o conjunto .
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições
para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,.
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Terça-feira, 30 de Março de 2021 16h51min18s BRT