Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1 HAMILTOM L. GUIDORIZZI Exercícios Resolvidos bit.ly/cicerohitzschky Introdução Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 6.3 do livro Um curso de cálculo Vol.1. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando aqui com as resoluções das seções deste livro de Hamiltom Luiz Guidorizzi. Espero que gostem, compartilhem e curtam! Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para um contato mais direto tirar alguma dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram. Nesta seção, o protagonista é o limite lim x→∞ ( 1 + 1 x )x . O limite é apresentado na forma mais simples utilizando sequências e depois estendido a função real. Além disso, a seção apre- senta outros limites que valem destaque: L1 : lim x→±∞ ( 1 + 1 x )x = e L2 : lim x→0 (1 + x) 1 x = e L3 : lim x→0 ex − 1 x = 1 Exercícios 3.1 1. Calcule. (a) lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x Solução: Nosso objetivo é usar L1. Assim, façamos x = 2u como mudança de variável. Quando x → ∞; u → ∞. Assim lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x = lim u→+∞ ( 1 + 2 2u )2u = lim u→+∞ ( 1 + 1 u )2u = lim u→+∞ [( 1 + 1 u )u]2 Por continuidade, sabemos que lim f(x)2 = [lim f(x)]2. Com isso, usando L1, temos lim u→+∞ [( 1 + 1 u )u]2 = [ lim u→+∞ ( 1 + 1 u )u]2 = e2. 1 bit.ly/cicerohitzschky Limites Logarítimicos e Exponenciais 2 (b) lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x+2 Solução: Usando o produto de limites, temos: lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x+2 = lim x→+∞ [( 1 + 1 x )x · ( 1 + 1 x )2] = lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x · lim x→+∞ ( 1 + 1 x )2 Como lim x→+∞ ( 1 + 1 x )2 = [ lim x→+∞ ( 1 + 1 x )]2 = [ lim x→+∞ 1 + lim x→+∞ 1 x ]2 = (1 + 0)2 = 12 = 1 Temos lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x · lim x→+∞ ( 1 + 1 x )2 = e · 1 = e Portanto, lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x+2 = e. (c) lim x→+∞ ( 1 + 1 2x )x Solução: Façamos a mudança de variável 2x = u. Analogamente ao itens anteriores, temos: lim x→+∞ ( 1 + 1 2x )x = lim u→+∞ ( 1 + 1 u )u 2 = [ lim u→+∞ ( 1 + 1 u )u]1 2 = e 1 2 = √ e (d) lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x+1 Solução: Usando o item a, temos lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x+1 = lim x→+∞ ( 1 + 2 x )x · lim x→+∞ ( 1 + 2 x ) = e2 · 1 = e. (e) lim x→+∞ ( x+ 2 x+ 1 )x Solução: Note que para x ̸= −1 temos x+ 2 x+ 1 = x+ (1 + 1) x+ 1 = (x+ 1) + 1 x+ 1 = x+ 1 x+ 1 + 1 x+ 1 = 1 + 1 x+ 1 Prof. Cícero Hitzschky Limites Logarítimicos e Exponenciais 3 Assim, lim x→+∞ ( x+ 2 x+ 1 )x = lim x→+∞ ( 1 + 1 x+ 1 )x Desta forma, fazendo a mudança de variável x+ 1 = u, temos lim x→+∞ ( 1 + 1 x+ 1 )x = lim u→+∞ ( 1 + 1 u )u−1 = lim u→+∞ ( 1 + 1 u )u lim u→+∞ ( 1 + 1 u ) = e 1 = e. (f) lim x→0 (1 + 2x)x Solução: Façamos 2x = u. Logo, lim x→0 (1 + 2x)x = lim u→0 (1 + u) u 2 = (1 + 0) 0 2 = 10 = 1. (g) lim x→0 (1 + 2x) 1 x Solução: A ideia aqui é usar L2. Assim, façamos 2x = u. Logo, lim x→0 (1 + 2x) 1 x = lim u→0 (1 + u) 2 u = [ lim u→0 (1 + u) 1 u ]2 = e2. (h) lim x→+∞ ( 1 + 1 x )2x Solução: Usando o item a, vemos, imediatamente, lim x→0 ( 1 + 1 x )2x = e2 2. Seja a > 0, a ̸= 1. Mostre que lim h→0 ah − 1 h = ln a Demonstração. Façamos ah − 1 = u. Assim, se h → 0, então u → 0. Além disso, ah = u+ 1 ⇔ h = loga(u+ 1). Dessa forma, ah − 1 h = u loga(u+ 1) = u 1 u · loga(u+ 1) = 1 loga [ (u+ 1) 1 u ] Logo, usando o limite L2 lim h→0 ah − 1 h = lim u→0 1 loga [ (u+ 1) 1 u ] = 1 loga e Para concluirmos nossa demonstração, mudaremos a base do logarítmo para a base na- tural. Com isso, 1 loga e = 1 ln e ln a = 1 1 ln a = ln a Prof. Cícero Hitzschky https://www.infoescola.com/matematica/mudanca-de-base-de-logaritmos/#site. Limites Logarítimicos e Exponenciais 4 Portanto, lim h→0 ah − 1 h = ln a 3. Calcule. (a) lim x→0 e2x − 1 x Solução: Façamos 2x = u e usemos L3. lim x→0 e2x − 1 x = lim u→0 eu − 1 u 2 = lim u→0 2 · (e u − 1) u = 2 · lim u→0 (eu − 1) u = 2 · 1 = 1 (b) lim x→0 ex 2 − 1 x Solução: Lembre-se que o número 1 é o elemento neutro da multiplicação. pensando nisso, multiplicaremos a expressão por 1 inteligentemente. Note que para x ̸= 0 temos: ex 2 − 1 x = ex 2 − 1 x · 1 = e x2 − 1 x · x x = ex 2 − 1 x2 · x Disso, fazendo x2 = u e usando L3 vemos que lim x→0 ex 2 − 1 x = lim u→0 eu − 1 u · lim x→0 x = 1 · 0 = 0. (c) lim x→0 5x − 1 x Solução: Usando a questão 2 obtemos, imediatamente, lim x→0 5x − 1 x = ln 5 (d) lim x→0 3x − 1 x2 Solução: Usando a questão 2 lim x→0 3x − 1 x2 = lim x→0 ( 3x − 1 x · 1 x ) = lim x→0 3x − 1 x · lim x→0 1 x = ln 3 · (+∞) = +∞. Aprofundamento Tendo em mente o aprendizado desses exercícios resolvidos, encontre o valor do lim h→±∞ ( h+ r h )h onde r é um racional qualquer. Prof. Cícero Hitzschky
Compartilhar