Gabarito Prova Modelagem e Simulação 2020

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GABARITO 
DISCIPLINA 
EEM501 - Modelagem e Simulação 
APLICAÇÃO 
07/05/2020 
CÓDIGO 
DA PROVA P004/P005 
 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1.1 
A resposta correta é: A taxa de utilização 𝜌 = 𝜆/𝜇. 
 
Justificativa 
Todas as outras alternativas correspondem a medidas de desempenho clássicas encontradas na 
literatura, exceto, talvez, a alternativa “A probabilidade 𝜋𝑛 de encontrar exatamente 𝑛 clientes na fila” 
que, no entanto, não deve confundir o aluno. 
𝜌 = 𝜆/𝜇 representa a intensidade de tráfego e não uma medida de desempenho 
 
Questão 1.2 
A resposta correta é: 3 passos. 
 
Justificativa 
Para que qualquer estado seja acessível a partir de qualquer outro estado em 𝑛 passos, basta que 
todos os elementos da matriz 𝑃𝑛 sejam diferentes de zero. Para nossa cadeia de Markov 
𝑃 = (0 1 0 0 1/2 1/2 1/3 0 2/3 ), 
de onde se pode ver facilmente que todos os 𝑝𝑖𝑗
3 ≠ 0. O mesmo fato pode ser verificado por inspeção 
direta do grafo (provavelmente, essa será a primeira opção dos alunos). 
 
𝑝𝑖𝑗
2 = 
 
𝑝𝑖𝑗
3 = 
 
O aluno deve ser capaz de montar a matriz 𝑃 a partir do grafo e saber interpretar o significado de 
conectividade entre etados de uma cadeia de Markov em termos das potências da matriz 𝑃. 
 
Questão 1.3 
A resposta correta é: 30% 
 
Justificativa 
Esse valor pode ser obtido como a probabilidade de que a fila não esteja vazia, 1 − 𝜋0. Como se trata de 
uma fila 𝑀/𝑀/1, 𝜋0 = 1 − 𝜌 = 1 − 𝜆/𝜇, de onde obtemos que a probabilidade procurada vale 𝜆/𝜇 =
(1/10 )/(1/3) = 30%. Nessa resposta, os valores de 𝜆 e 𝜇 estão dados em 𝑚𝑖𝑛−1; o mesmo resultado 
seria obtido com os valores dados em ℎ−1 (a saber, 𝜆 = 6/ℎ e 𝜇 = 20/ℎ). 
Questão envolvendo conceitos básicos de probabilidade e de teoria de filas. O aluno terá de encontrar 
o valor correto de 𝜆 e 𝜇 a partir dos dados do problema (o que é fácil) para poder resolvê-lo. 
 
Questão 1.4 
A resposta correta é: R$ 45.300. 
 
Justificativa 
Identificando a partir do enunciado a demanda 𝐷 = 10.000 × 0,3 × 2 𝑚2 = 6.000 𝑚2, o custo unitário do 
produto em estoque ℎ = 𝑅$ 0,25/𝑚2, o custo de aquisição do lote 𝐾 = 𝑅$ 30 e o preço unitário de 
aquisição 𝑝 = 𝑅$ 7,50/𝑚2, podemos calcular o tamanho ideal do pedido pela fórmula 
𝑞∗ = √
2𝐾𝐷
ℎ
= 1.200 𝑚2, 
o que significa que o custo anual total otimizado dos pedidos vale 
𝑇𝐶(𝑞∗) =
ℎ𝑞∗
2
+
𝐾𝐷
𝑞∗
+ 𝑝𝐷 = 𝑅$ 45.300 
 
Nesta questão quantitativa, o aluno deve calcular o lote ótimo e depois inserir esse valor na expressão 
para o custo total do pedido. 
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 2 
Dadas três possíveis classes sociais, 𝐴, 𝐵 e 𝐶, uma pesquisa mostrou que em determinado país a 
mobilidade social de uma geração (pais) para outra (filhos) pode ser modelada como uma cadeia de 
Markov com probabilidades de transição 𝑃(𝐴 → 𝐴) = 0,4, 𝑃(𝐴 → 𝐵) = 0,4, 𝑃(𝐵 → 𝐵) = 0,5, 𝑃(𝐵 → 𝐶) =
0,3, 𝑃(𝐶 → 𝐶) = 0,7 e 𝑃(𝐶 → 𝐴) = 0,1. Qual é a probabilidade de filhos serem da classe 𝐶 dado que seus 
pais eram da classe 𝐵? 
 
Temos de encontrar a probabilidade de partir da classe 𝐵 e em duas gerações atingir a classe 𝐶. Essa 
probabilidade pode ser calculada ou a partir do quadrado da matriz de transições 𝑃2 = (𝑝𝑖𝑗
2 ), com 𝑝𝑖𝑗 =
𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑗 | 𝑋𝑡 = 𝑖), dada por 
 
𝑃 = (0,4 0,4 0,2 0,2 0,5 0,3 0,1 0,2 0,7 ), 
ou (o que da no mesmo) diretamente a partir da composição de probabilidades (a equação de 
Chapman-Kolmogorov que, neste caso, pode ser mais intuitiva), 
 
𝑝𝐵𝐶
2 = ∑
𝐾=𝐴,𝐵,𝐶
𝑝𝐵𝐾 ∙ 𝑝𝐾𝐶 = 𝑝𝐵𝐴 ∙ 𝑝𝐴𝐶 + 𝑝𝐵𝐵 ∙ 𝑝𝐵𝐶 + 𝑝𝐵𝐶 ∙ 𝑝𝐶𝐶 = 0,2 ∙ 0,2 + 0,5 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 40% 
 
Rubricas | critérios de correção 
Trata-se de uma questão básica sobre cadeias de Markov. O aluno deve ser capaz de interpretar a 
pergunta em termos das probabilidades 𝑝𝑖𝑗 e de obter os valores de 𝑝𝑖𝑗 que não são fornecidos a partir 
da normalização das probabilidades. Qualquer uma das duas possíveis soluções oferecidas acima é 
aceitável. 
 
Questão 3 
Uma fila com 3 servidores em paralelo recebe em média 24 clientes por hora. Encontre a probabilidade 
de encontrar a fila vazia dado que cada servidor é capaz de atender em média 10 clientes por hora. 
 
Estamos falando de uma fila 𝑀/𝑀/𝑠 com 𝑠 = 3 servidores. A intensidade de tráfego é de 𝜌 = 𝜆/𝑠𝜇 =
24/3 ∙ 10 = 0,8. Substituindo esses valores na fórmula para obter 𝜋0 de uma fila 𝑀/𝑀/𝑠, obtemos 
𝜋0 =
𝑠! (1 − 𝜌)
(
𝜆
𝜇
)
𝑠
+ 𝑠! (1 − 𝜌) (∑𝑠−1𝑘=0
(𝜆/𝜇)𝑘
𝑘!
)
≃ 0,0561 
Isto é, com uma intensidade de tráfego de 0,8, a fila poderá ser encontrada completamente vazia com 
uma probabilidade de aproximadamente 0,6%. 
 
Rubricas | critérios de correção 
Questão padrão em teoria elementar de filas. O estudante deve ser capaz de identificar a fila em 
questão (𝑀/𝑀/𝑠), o valor de 𝜋0 como a probabilidade de encontrar a fila vazia e resolver o problema 
com auxílio de um formulário e de uma calculadora.