ad1-estatisiticaii-2019-2-cederj

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
 
Avaliação Presencial – AD 1 
Período – 2019/2 
Disciplina: ESTATÍSTICA II 
Coordenador da Disciplina: FLÁVIO FERREIRA 
Aluno: Sergio Ferreira Bastos 
Polo: Belford Roxo 
Matrícula: 18117160131 
Curso: Engenharia de Produção 
 
1) Uma dada empresa adquiriu um grande carregamento de discos de aços com especificação de dureza 
de 250 HB. Uma amostra de 21 discos foi analisada e obteve-se a média X =258 HB e desvio padrão S= 
5 HB. Determine o intervalo de confiança para média da população com 97,5% de confiança. 
 
Comentários: 
Como a variância da População é desconhecida, deve-se utilizar a variância amostral (S2) Como estimador 
da qualidade da variância da População (σ2). Além disso, a amostra tem tamanho menor que 30, sendo, 
nesses casos, utilizada a distribuição de probabilidade t de Student para determinar o intervalo de 
confiança para a média da População. 
Dados: 
 μ = 250HB; 
 X̅ = 258HB; 
 S = 5HB; 
 α = 1 − 97,5% = 0,025; 
 v = 21 − 1 = 20; 
 n = 21. 
 
Solução: 
Equação do Intervalo de Confiança para a média, 
P (�̅� − 𝑡𝛼
2;𝑣
∗
𝑆
√𝑛
< 𝜇 < �̅� + 𝑡𝛼
2;𝑣
∗
𝑆
√𝑛
) = 1 − α 
 
O valor de 𝑡𝛼
2
;𝑣
 é tabelado e vale: 𝑡0,025
2
;20
= 2,4231. 
 
Assim, substituindo os valores numérico, temos: 
P (258 − 2,4231 ∗
5
√21
< 𝜇 < 258 + 2,4231 ∗
5
√21
) = 1 − 0,025 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
P(258 − 2,6438 < 𝜇 < 258 + 2,6438) = 0,975 
 
P(255,3562 < 𝜇 < 260,6438) = 0,975 
 
Conclusão: 
O Resultado obtido mostra que a dureza média do carregamento de discos de aço está no intervalo de 
255,36 BH à 260,64 BH, com 97,5% de confiança. 
Como a Média da Dureza especificada no carregamento é de 250HB, podemos concluir que, para 97,5% 
de confiança, o carregamento não atende as especificações contratadas, pois 250HB está fora do Intervalo 
obtido. 
 
 
 
2) Um importador comprou 2000 caixas de laranjas de um fornecedor brasileiro. A qualidade garantida 
pelo fornecedor é de no máximo 5% de laranjas não-conformes. Para verificar a qualidade, o 
importador analisou as laranjas de 3 caixas com 150 unidades cada, das quais encontrou-se um total 
de 13 laranjas não-conformes. Teste a hipótese de o carregamento satisfazer a especificação de 
qualidade (com 95% de confiança). 
 
Comentários: 
Trata-se de um problema envolvendo Proporção populacional, cuja distribuição de probabilidade á dada 
pela distribuição binomial. Nestes casos (para grandes amostras: >= 30), a distribuição binomial é 
aproximada pela distribuição normal para a construção de intervalos de confiança. Como não foi dado o 
parâmetro populacional (p) que identifica a quantidade de laranjas não-conformes, o mesmo terá que 
ser estimado pela fração (f) de laranjas não-conformes apresentadas na amostra. 
 
Dados: 
 N = 2.000 ∗ 150 = 300.000; 
 𝑝 = 5% = máximo de 0,05; 
 f =
13
450
= 2,89% = 0,0289; 
 α = 1 − 95% = 0,05; 
 n = 450. 
 
Solução: 
Equação do Intervalo de Confiança para proporção, 
P (𝑓 − 𝑧𝛼
2
∗ √
𝑓(1−𝑓)
𝑛
< 𝑝 < 𝑓 + 𝑧𝛼
2
∗ √
𝑓(1−𝑓)
𝑛
) = 1 − α. 
 
O valor de 𝑧𝛼
2
 é tabelado e vale: 𝑧0,05
2
= 1,96. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Assim, substituindo os valores numérico, temos: 
P (0,0289 − 1,96 ∗ √
0,0289(1−0,0289)
450
< 𝑝 < 0,0289 + 1,96 ∗ √
0,0289(1−0,0289)
450
) = 1 − 0,05. 
 
P(0,0289 − 0,01548 < 𝑝 < 0,0289 + 0,01548) = 0,95 
 
P(0,01342 < 𝑝 < 0,04438) = 0,95 
 
Conclusão: 
O Resultado obtido mostra, com uma confiança de 95%, que o fornecedor cumpriu com o prometido de 
entregar a carga de laranjas com, no máximo, 5% de Laranjas não-conformes. 
Pode se observar que a estimativa de laranjas não-conformes entregues pelo fornecedor está entre 1,3% 
e 4,4%, o que faz com que o carregamento de caixas de laranjas seja aprovado. 
 
 
3) Um engenheiro suspeita que os resultados de 2 máquinas de sua empresa estão com resultados 
diferentes. Para verificar esta suspeita, ele mede os resultados de cada máquina e obtém: 
 
 
Máquina Dados das Máquinas 
 n �̅� S 
Máquina A 12 15,25 0,010 
Máquina B 11 15,90 0,015 
 
 
Determine o intervalo de confiança para diferença entre as médias, com 97,5% de confiança. 
 
Comentários: 
O intervalo de confiança para a diferença entre as médias permite comparar, com determinada 
porcentagem de confiança, o resultado da média apresentada pelas duas máquinas. No caso apresentado 
é conhecido apenas os valores amostrais das variâncias das máquinas (S2). 
É de se esperar que a variância (desconhecida) das duas máquinas seja a mesma, ou seja, variâncias 
iguais (𝜎𝐴
2 = 𝜎𝐵
2 = 𝜎2) e desconhecidas. 
Como 𝑆𝐴
2 e 𝑆𝐵
2 são dois estimadores não enviesados de 𝜎2, podemos combiná-los para obter um estimador 
comum ou ponderado (pelos graus de liberdade associados), 𝑆𝑝
2 identificado como variância conjunta 
(pooled). Vejamos: 
𝑆𝑝
2 =
(𝑛𝐴 − 1)𝑆𝐴
2 + (𝑛𝐵 − 1)𝑆𝐵
2
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
 
Assim a estatística do teste é dada por: 
T =
(�̅�𝐴 − �̅�𝐵) − (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵)
𝑆𝑝√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
 ~ 𝑡𝑛𝐴+𝑛𝐵−2 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Com isso, podemos determinar o intervalo de confiança para a diferença entre as médias populacionais: 
P (−𝑡𝛼
2
,𝑣 < 𝑡𝑣 < 𝑡𝛼
2
,𝑣) = 1 − α ⟹ P (−𝑡𝛼
2
,𝑣 <
(�̅�𝐴−�̅�𝐵)−(𝜇𝐴−𝜇𝐵)
𝑆𝑝√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
< 𝑡𝛼
2
,𝑣) = 1 − α ⟹ 
 
P ((�̅�𝐴 − �̅�𝐵) − 𝑡𝛼
2,𝑣
∗ √𝑆𝑝
2 (
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
) ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵) ≤ (�̅�𝐴 − �̅�𝐵) + 𝑡𝛼
2,𝑣
∗ √𝑆𝑝
2 (
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
)) = 1 − α 
 
Para verificarmos a hipótese que apresenta a igualdade entre as duas médias (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0), utilizaremos 
a estatística do teste, substituindo 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 por 0: 
t0 =
(�̅�𝐴 − �̅�𝐵) − 0
𝑆𝑝√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
 ~ 𝑡𝑛𝐴+𝑛𝐵−2 
Com isso o teste é dado por: 
−𝑡𝛼
2,𝑣
< t0 < 𝑡𝛼
2,𝑣 
 
 
No caso da utilização do p-Valor para o teste de hipótese bilateral, temos: 
𝑝-𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑡 > |t0|) + 𝑃(𝑡 < − |t0|) 
 
Dados: 
 𝑛𝐴 = 12; 
 𝑛𝐵 = 11; 
 �̅�𝐴 = 15,25; 
 �̅�𝐵 = 15,90 
 𝑆𝐴
2 = (0,010)2; 
 𝑆𝐵
2 = (0,015)2; 
 α = 1 − 97,5% = 0,025; 
 v = 12 + 11 − 2 = 21. 
 
Solução: 
Aplicando a equação mostrada nos comentários, temos: 
 
P ((�̅�𝐴 − �̅�𝐵) − 𝑡𝛼
2,𝑣
∗ √𝑆𝑝
2 (
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
) ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵) ≤ (�̅�𝐴 − �̅�𝐵) + 𝑡𝛼
2,𝑣
∗ √𝑆𝑝
2 (
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
)) = 1 − α 
 
𝑆𝑝
2 =
(𝑛𝐴 − 1)𝑆𝐴
2 + (𝑛𝐵 − 1)𝑆𝐵
2
𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
O valor de 𝑡𝛼
2
;𝑣
 é tabelado e vale: 𝑡0,025
2
;21
= 2,08. 
 
Assim, substituindo os valores numérico, temos: 
𝑆𝑝
2 =
(12 − 1) ∗ (0,010)2 + (11 − 1) ∗ (0,015)2
12 + 11 − 2
 ⟹ 𝑆𝑝
2 =
0,0011+ 0,0022
12 + 11 − 2
 ⟹ 𝑆𝑝
2 = 0,00016 
 
P ((15,25 − 15,90) − 2,08 ∗ √0,0016 (
1
12
+
1
11
) ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵)
≤ (15,25 − 15,90) + 2,08 ∗ √0,0016 (
1
12
+
1
11
)) = 0,975 
 
P(−0,685 ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵) ≤ −0,615) = 0,975 
 
Assim, o intervalo de confiança para 100(1 − 𝛼)% = 0,975 é dado por: 
−0,685 ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵) ≤ −0,615 
 
Para o teste de hipótese, testando 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 e utilizando o teste t, vem: 
 
t0 =
(�̅�𝐴 − �̅�𝐵) − 0
𝑆𝑝√
1
𝑛𝐴
+
1
𝑛𝐵
 
 
t0 =
(15,25 − 15,90) − 0
0,0125√
1
12
+
1
11
 ⟹ t0 = −124,57 
 
−𝑡𝛼
2
,𝑣 < t0 < 𝑡𝛼
2
,𝑣 ⟹ −2,08 < −124,57 < 2,08 
 
Para o teste de hipótese, testando 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 e utilizando o p-Valor, vem: 
 
𝑝-𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑡 > |t0|) + 𝑃(𝑡 < − |t0|) ⟹ 𝑝-𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑡 > 124,57) + 𝑃(𝑡 < − 124,57) ⟹ 
𝑝-𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 0 
 
Conclusão: 
O intervalo de confiança para diferença entre as médias, com 97,5% de confiança é dado por 
−0,685 ≤ (𝜇𝐴 − 𝜇𝐵) ≤ −0,615. 
O Resultado do intervalo de confiança obtido mostra para 97,5% de confiança, que o mesmo não inclui o 
zero, com isso, concluímos que há diferença entre as médias das duas máquinas, ou seja: Há evidência 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
suficiente de que as máquinas estão com resultados distintos, o que confirma a suspeita do Engenheiro. 
O Resultado do p-Valor (𝑝-𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 0) indica que a um nível de significância de 0,025 não excede 
𝛼 = 0,025, assim a hipótese nula, 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0, deve ser rejeitada, ou seja: temos evidencias para concluir 
que a máquina A resulta em um rendimento médio que difere do rendimento médio da máquina B. 
 
 
4) Um dado engenheiro deseja obter uma amostra para controle de qualidade a fim de estimar a média dos 
resultados de um processo, com 95% de confiança e erro de 3 unidades. Os dados históricos do processo 
indicam um desvio padrão de 10 unidades. Qual deveria ser o tamanho da amostra? 
 
Comentários: 
Neste caso a variância populacional conhecida através dos dados históricos e supondo a distribuição 
normal, podemos utilizar a variável normal padronizada para o cálculo do tamanho da amostra que 
atenda as especificidades apresentadas. 
A vaiável normal padronizada é dada por: 
z𝛼 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
 ⟹ √𝑛(�̅� − 𝜇) = 𝜎z𝛼 ⟹ 𝑛 = (
𝜎z𝛼
(�̅� − 𝜇)
)
2
⟹ 𝑛 =
𝜎2z𝛼
2
𝑒2
 
 
Onde e é o erro máximo admissível. 
 
Dados: 
 �̅� − μ = 3; 
 σ = 10; 
 α = 1 − 95% = 0,05. 
 
Solução: 
Aplicando a equação 𝑛 =
𝜎2z𝛼
2
𝑒2
, temos: 
𝑛 =
102z𝛼
2
32
 
 
 O valor de 𝑧𝛼 é tabelado e vale: 𝑧0,05 = 1,96, assim: 
 
𝑛 =
1021,962
32
 ⟹ 𝑛 = 42,68 ⟹ 𝑛 = 43 
 
Conclusão: 
O tamanho da amostra necessária para o controle de qualidade, a fim de estimar a média dos 
resultados do processo, é de 43. 
O tamanho da amostra 43 é o tamanho mínimo para assegurar que a média do processo, dado 95% de 
confiança terá erro máximo de 3 unidades.