triângulos

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Triângulos 
 Condições de existência; lei angular; classificação, áreas, cevianas e pontos notáveis. 
 
Condições de Existência 
→ Qualquer lado deve ser menor que a soma dos 
outros dois e maior que a sua diferença. 
 
| b - c | < a < b + c 
| a - c | < b < a + c 
| b - a | < c < b + a 
 
Exemplo: Triângulo com lados 1, 5 e 7. 
 
 | 1 - 5 | < 7 < 1 + 5  (não satisfaz uma das condições). 
 
Exemplo 2: Triângulo com lados 5, 7 e 9. 
 | 5 – 7 | < 9 < 5 + 9  (satisfaz ambas condições). 
OPA! Triangulo é um polígono de três lados no plano, 
limitado por segmentos de retas (lados) e com 3 ângulos. 
 
Lei Angular 
 
→ A soma dos ângulos internos de um triângulo 
qualquer vale 180°. 
Nese caso, α + 𝜷 + 𝜸 = 180° 
OPA!! O maior lado é oposto ao maior ângulo, assim 
como o menor ângulo é oposto ao menor lado. 
Teorema do Ângulo Externo 
 
→ O ângulo externo não é replementar e sim 
suplementar ao prolongamento do seu segmento. 
 
Observe que θ e α, são suplementares, ou seja, 
θ + α = 180° ⇒ θ = 180° - α. 
 
→ O teorema diz que um ângulo externo tem a 
mesma medida que a soma de dois ângulos internos 
não adjacentes. 
 (não próximo, lado distante) 
Assim: 
θ=β=γ 
λ=α+β 
ϵ=γ+α 
 
Classificações 
 
I – Quanto aos lados 
 Escaleno: 3 lados congruentes. 
 Isósceles: 2 lados congruentes (e ângulos de base iguais). 
 Equilátero: 3 lados diferentes entre si.. 
 
II – Quanto aos ângulos 
 Acutângulo: 3 ângulos < 90° 
 Retângulo: 1 ângulo = 90° 
 Obtusângulo: 1 ângulo > 90° 
 OPA!!! Todo triangulo equilátero é acutângulo 
Note: A classificação é feita pelos lados e pelos ângulos 
. 
OPA!!!! Sempre que um triângulo isóscele for dividido 
por linhas iguais, conte as linhas e dívida por 180° 
Áreas 
 
 
→ A altura é perpendicular a base independente 
da posição do triângulo 
Sendo a fórmula da área: A=
.
 
 
→ Outra maneira de calcular a área é através de 
seu ângulo: 
 
 . . 𝑎𝑏
 
 
→ Existe também uma fórmula exclusiva para o 
calcula da área de triângulos equiláteros: 
 
√
 
OPA!!!!! Não confunda a área do equilátero com sua 
altura, já que suas formulas são parecidas ℎ =
𝑙√3
2
 
 
OPA!!!!! O triângulo retângulo não precisa traçar a 
altura interna, basta identificar um dos catetos que o outro 
automaticamente é a altura.: 𝐴 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1 𝑥 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2
2
 
 
 Cevianas 
 
→ Ceviana é qualquer semirreta que parte de um 
vértice de um triângulo e chega ao seu lado oposto 
ou ao seu prolongamento. 
 Ex: Mediana, Altura, e Bissetriz. 
 
Mediana – Semirreta que saí de um vértice e chega 
. no ponto médio do lado oposto a ele 
 (divide um lado em partes iguais) 
 
↪ Baricentro (G): Encontro das 3 medianas cujo 
o ponto de massa é o centro da gravidade de um 
triângulo (ponto de equilíbrio). 
 ↪ O baricentro divide cada mediana na 
proporção de 2 para 1 ou ; a partir do seu 
vértice. 
𝐵𝐺 = 2𝐷𝐺 
𝐵𝐺 = 𝐵𝐷 
𝐷𝐺 = 𝐵𝐷 
 
Altura – Parte do vértice e é perpendicular ao seu 
lado oposto ou ao seu prolongamento, formando 
sempre o ângulo de 90° graus. (perpendicularidade). 
↪ Ortocentro (O): É o ponto de encontro das três 
alturas do triângulo, podendo pertencer ao interior, 
exterior ou coincidir com um de seus vértices. 
 
 
Bissetriz – Parte do vértice e chega ao lado 
oposto a ele, dividindo o ângulo em duas partes 
congruentes, ou seja, iguais. 
 ↪ O ponto de encontro é sempre interno. 
 
↪ Incentro ( I ): Encontro das 3 bissetrizes. É o 
centro da circunferência inscrita nesse triângulo, ou 
seja, é uma circunferência dentro do triângulo, 
tangenciando a suas três faces. 
OPA!!!!!! Por ser equidistante, tem a mesma distância 
para os 3 lados, que é o raio da circunferência. 
 
 
 Pontos Notáveis 
 
Mediatriz (única que não é ceviana) – é um 
. segmento perpendicular a um lado 
. passando pelo seu ponto médio e não 
. necessariamente pelo seu vértice. 
 (perpendicular e divide o lado em duas partes iguais) 
 
↪ Circuncentro ( C ): Encontro das 3 mediatrizes. 
É a circunferência circunscrita, ou seja é a menor 
circunferência que tangência os 3 lados do triângulo. 
externamente. 
 
 
 
 
 MACETE ! 
 M – B (Mediana – Baricentro) 
 B – I (Bissetriz – Incentro) 
 M – C (Mediatriz Circuncentro) 
 A – O (Altura – Ortocentro) 
. (Meu Bem, Meu Amor de BICO calado) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Casos Especiais 
 
I – Para triângulos retângulos 
 A mediana relativa à hipotenusa mede a metade 
da hipotenusa., criando dois triângulos isósceles. 
 
 
II – Para triângulos isósceles 
 A mediana relativa à base é também bissetriz, 
altura e mediatriz. 
 (lado ≠ dos outros 2 que são =) 
 
IIII – No triangulo equilátero. 
 Toda altura é também mediana, bissetriz e 
mediatriz. 
 
OPA!!!!!!! Chamamos a ceviana aqui de altura e ponto de 
encontro como baricentro, pois ambos possuem formulas 
em suas definições ℎ =
𝑙√3
2
 e ; respectivamente. 
 
 
 (altura e baricentro).