RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS SEÇÃO 7.4 LIVRO DO GUIDORIZZI

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Derivadas Logarítimicas e Exponenciais 1
UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1
HAMILTOM L. GUIDORIZZI
Exercícios Resolvidos
bit.ly/cicerohitzschky
Introdução
Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 7.4 do livro Um curso de cálculo
Vol.1. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando aqui com as resoluções
das seções deste livro de Hamiltom Luiz Guidorizzi. Espero que gostem, compartilhem e curtam!
Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para um contato mais direto tirar alguma
dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram.
Nesta seção, o autor calcula, por definição, a derivada das funções f(x) = ex e g(x) = ln x.
(ex)′ = ex e (ln x)′ = 1
x
, x > 0
Exercícios 7.4
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex no ponto de abscissa 0.
Solução:
A equação da reta tangente no ponto p é dada por
y = f ′(p)(x− p) + f(p)
Como (ex)′ = ex, temos
y = e0(x− 0) + e0 = 1 · x+ 1 = x+ 1
Logo, a reta tange ao gráfico no ponto de abscissa 0 é y = x+ 1.
2. Determine a equação da reta tangente ai gráfico de f(x) = ln x no ponto de abscissa 1.
Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Solução:
Como ln′ 1 = 1, nossa reta é
y = 1(x− 1) + ln 1 = x− 1 ∴ y = x− 1
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Derivadas Logarítimicas e Exponenciais 2
3. Seja f(x) = ax, em que a > 0 e a ̸= 1 é um real dado. Mostre que f ′(x) = ax ln a.
Demonstração. Usando a definição de derivada temos
(ax)′ = lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax · ah − ax
h
= lim
h→0
ax · (a
h − 1)
h
Como a variável do limite depende de h o termo ax é constante. Assim, usando a
questão 2_Limites Exponenciais e Logarítmicos temos
lim
h→0
ax · a
h − 1
h
= ax · lim
h→0
ah − 1
h
= ax ln a
Concluindo a nossa demonstração.
4. Calcule f ′(x).
Para todos os itens usaremos a questão anterior e obtemos a resposta imediatamente.
(a) f(x) = 2x
Solução: (2x)′ = 2x ln 2
(b) f(x) = 5x
Solução: (5x)′ = 5x ln 5
(c) f(x) = πx
Solução: (πx)′ = πx ln π
(d) f(x) = ex
Solução: (ex)′ = ex ln e = ex · 1 = ex
5. Seja f(x) = loga x, em que a > 0 e a ̸= 1 é um real dado. Mostre que g′(x) =
1
x ln a
.
Demonstração. Pela definição de derivada, temos
lim
h→0
loga(x+ h)− loga x
h
Usando a propriedade de logaritmo
lim
h→0
loga
x+ h
x
h
= lim
h→0
loga
(
1 +
h
x
)
h
= lim
h→0
1
h
· loga
(
1 +
h
x
)
Fazendo a mudança de variável u = h
x
vemos que u → 0 quando h → 0. Assim
lim
h→0
1
h
· loga
(
1 +
h
x
)
= lim
h→0
1
xu
· loga (1 + u) = lim
h→0
1
x
· 1
u
· loga(1 + u)
=
1
x
· lim
h→0
1
u
· loga(1 + u) =
1
x
· lim
h→0
loga(1 + u)
1
u
Usando a mudança de base do logaritmo, conseguimos
1
x
· lim
h→0
loga(1 + u)
1
u =
1
x
· lim
h→0
ln
[
(1 + u)
1
u
]
ln a
(L2)
=
1
x
· ln e
ln a
=
1
x
· 1
ln a
=
1
x ln a
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Derivadas Logarítimicas e Exponenciais 3
6. Calcule g′(x).
Usando a questão anterior obtemos, imediatamente,
(a) g(x) = log3 x
Solução: (log3 x)′ =
1
x ln 3
(b) g(x) = log5 x
Solução: (log5 x)′ =
1
x ln 5
(c) g(x) = logπ x
Solução: (logπ x)′ =
1
x ln π
(d) g(x) = ln x
Solução: (ln x)′ = 1
x ln e
= 1
x
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