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Exercícios resolvidos | Geometria Analítica | Lista 03 Clique nos ícones a seguir para acessar meu canal no YouTube, minha página no Instagram, Facebook, Pinterest e também para se inscrever no meu canal no Telegram: https://goo.gl/i0yKEf https://instagram.com/auladoguto https://facebook.com/auladoguto http://pinterest.com/auladoguto http://t.me/auladoguto 1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso. a) P(-1, 3) e r: y – 3x + 6 = 0 a = -3, b = 1, c = 6 𝒅𝑷,𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = (−𝟑) ∙ (−𝟏) + 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝟔 (−𝟑)𝟐 + 𝟏𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟑 + 𝟑 + 𝟔 𝟏 + 𝟗 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟐 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 : 𝟐 𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟔 𝟏𝟎 𝟓 1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso. b) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0 a = 2, b = 1, c = 6 𝒅𝑷,𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏 ∙ (−𝟐) + 𝟔 𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟔 − 𝟐 + 𝟔 𝟒 + 𝟏 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟎 𝟓 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟎 𝟓 ∙ 𝟓 𝟓 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟏𝟎 𝟓 𝟓 : 𝟓 𝟓 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟐 𝟓 1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso. c) P(-2, 4) e r: 3x – 4y – 5 = 0 a = 3, b = -4, c = -5 𝒅𝑷,𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟑 ∙ −𝟐 + −𝟒 ∙ 𝟒 − 𝟓 𝟑𝟐 + (−𝟒)𝟐 𝒅𝑷,𝒓 = −𝟔 − 𝟏𝟔 − 𝟓 𝟗 + 𝟏𝟔 𝒅𝑷,𝒓 = −𝟐𝟕 𝟐𝟓 𝒅𝑷,𝒓 = 𝟐𝟕 𝟓 2 – As retas r: x – 2y + 3 = 0 e s: 3x – 6y + 1 = 0 são paralelas entre si. Determine a distância entre elas. r: x – 2y + 3 = 0 x = -1 -1 – 2y + 3 = 0 2 = 2y :(2) 1 = y O ponto (-1, 1) pertence à reta r. Coeficientes da reta s: a = 3, b = -6, c = 1 𝒅𝑷,𝒔 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑷,𝒔 = 𝟑 ∙ −𝟏 + −𝟔 ∙ 𝟏 + 𝟏 𝟑𝟐 + (−𝟔)𝟐 𝒅𝑷,𝒔 = −𝟑 − 𝟔 + 𝟏 𝟗 + 𝟑𝟔 𝒅𝑷,𝒔 = −𝟖 𝟒𝟓 𝒅𝑷,𝒔 = 𝟖 𝟒𝟓 ∙ 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝒅𝑷,𝒔 = 𝟖 𝟒𝟓 𝟒𝟓 𝒅𝑷,𝒔 = 𝟖 ∙ 𝟑 𝟓 𝟑 ∙ 𝟏𝟓 𝒅𝑷,𝒔 = 𝟖 𝟓 𝟏𝟓 3 — (Fuvest-SP) Seja r a reta que passa pelo ponto P(3, 2) e é perpendicular à reta s: y = – x + 1 . Qual é a distância do ponto A(3, 0) à reta r? 𝒔: 𝒚 = −𝟏𝒙 + 𝟏 𝒓: 𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝒏 P(3, 2) ∈ 𝒓 𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝒏 𝟐 = 𝟑 + 𝒏 −𝟏 = 𝒏 𝒓: 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 a = 1, b = c = -1 Retas r e s paralelas: • r e s possuem o mesmo coeficiente angular. 𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒔: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒒 Retas r e s perpendiculares: • Se o coeficiente angular de r é 𝒎, o coeficiente angular de s é − 𝟏 𝒎 . 𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 𝒔: 𝒚 = − 𝟏 𝒎 𝒙 + 𝒒 𝒅𝑨,𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑨 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑨 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑨,𝒓 = 𝟏 ∙ 𝟑 + −𝟏 ∙ 𝟎 + (−𝟏) 𝟏𝟐 + (−𝟏)𝟐 𝒅𝑨,𝒓 = 𝟐 𝟐 ∙ 𝟐 𝟐 𝒅𝑨,𝒓 = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟐 4 — (Cesgranrio-RJ) O ponto A(-1, -2) é um dos vértices de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida da altura desse triângulo. r: x + 2y – 5 = 0 a = 1, b = 2, c = –5 𝒅𝑨,𝒓 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑨 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑨 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑨,𝒓 = 𝟏 ∙ (−𝟏) + 𝟐 ∙ (−𝟐) + (−𝟓) 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 𝒅𝑨,𝒓 = −𝟏𝟎 𝟓 ∙ 𝟓 𝟓 𝒅𝑨,𝒓 = 𝟏𝟎 𝟓 𝟓 = 𝟐 𝟓 A(-1, -2) B C r 5 — (Fuvest-SP) Calcule a distância entre as retas r1: 3y = 4x – 2 e r2: 3y = 4x + 8, sabendo que são paralelas. r1: 3y = 4x – 2 x = 2 3y = 4 (2) – 2 3y = 8 – 2 3y = 6 :(3) y = 2 P (2, 2) ∈ r1 r2: 3y = 4x + 8 4x – 3y + 8 = 0 a = 4, b = -3, c = 8 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟒 ∙ 𝟐 + −𝟑 ∙ 𝟐 + 𝟖 𝟒𝟐 + (−𝟑)𝟐 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟖 − 𝟔 + 𝟖 𝟏𝟔 + 𝟗 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟏𝟎 𝟐𝟓 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟏𝟎 𝟓 𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟐
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