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Exercícios resolvidos | Geometria Analítica | Lista 03

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Exercícios resolvidos | Geometria Analítica | Lista 03
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1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso.
a) P(-1, 3) e r: y – 3x + 6 = 0
a = -3, b = 1, c = 6
𝒅𝑷,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
(−𝟑) ∙ (−𝟏) + 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝟔
(−𝟑)𝟐 + 𝟏𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟑 + 𝟑 + 𝟔
𝟏 + 𝟗
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟐
𝟏𝟎
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟐
𝟏𝟎
∙
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟎
:
𝟐
𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟔 𝟏𝟎
𝟓
1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso.
b) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0
a = 2, b = 1, c = 6
𝒅𝑷,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟏 ∙ (−𝟐) + 𝟔
𝟐𝟐 + 𝟏𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟔 − 𝟐 + 𝟔
𝟒 + 𝟏
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟎
𝟓
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟎
𝟓
∙
𝟓
𝟓
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟏𝟎 𝟓
𝟓
:
𝟓
𝟓
𝒅𝑷,𝒓 = 𝟐 𝟓
1 – Determine a distância do ponto P à reta r, em cada caso.
c) P(-2, 4) e r: 3x – 4y – 5 = 0
a = 3, b = -4, c = -5
𝒅𝑷,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟑 ∙ −𝟐 + −𝟒 ∙ 𝟒 − 𝟓
𝟑𝟐 + (−𝟒)𝟐
𝒅𝑷,𝒓 =
−𝟔 − 𝟏𝟔 − 𝟓
𝟗 + 𝟏𝟔
𝒅𝑷,𝒓 =
−𝟐𝟕
𝟐𝟓
𝒅𝑷,𝒓 =
𝟐𝟕
𝟓
2 – As retas r: x – 2y + 3 = 0 e s: 3x – 6y + 1 = 0 são paralelas entre si.
Determine a distância entre elas.
r: x – 2y + 3 = 0
x = -1
-1 – 2y + 3 = 0
2 = 2y :(2)
1 = y
O ponto (-1, 1)
pertence à reta r.
Coeficientes da reta s:
a = 3, b = -6, c = 1
𝒅𝑷,𝒔 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒔 =
𝟑 ∙ −𝟏 + −𝟔 ∙ 𝟏 + 𝟏
𝟑𝟐 + (−𝟔)𝟐
𝒅𝑷,𝒔 =
−𝟑 − 𝟔 + 𝟏
𝟗 + 𝟑𝟔
𝒅𝑷,𝒔 =
−𝟖
𝟒𝟓
𝒅𝑷,𝒔 =
𝟖
𝟒𝟓
∙
𝟒𝟓
𝟒𝟓
𝒅𝑷,𝒔 =
𝟖 𝟒𝟓
𝟒𝟓
𝒅𝑷,𝒔 =
𝟖 ∙ 𝟑 𝟓
𝟑 ∙ 𝟏𝟓
𝒅𝑷,𝒔 =
𝟖 𝟓
𝟏𝟓
3 — (Fuvest-SP) Seja r a reta que passa pelo ponto P(3, 2) e é perpendicular à reta
s: y = – x + 1 . Qual é a distância do ponto A(3, 0) à reta r?
𝒔: 𝒚 = −𝟏𝒙 + 𝟏
𝒓: 𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝒏
P(3, 2) ∈ 𝒓
𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟑 + 𝒏
𝟐 = 𝟑 + 𝒏
−𝟏 = 𝒏
𝒓: 𝒚 = 𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
a = 1, b = c = -1
Retas r e s paralelas:
• r e s possuem o mesmo
coeficiente angular.
𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
𝒔: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒒
Retas r e s perpendiculares:
• Se o coeficiente angular
de r é 𝒎, o coeficiente
angular de s é −
𝟏
𝒎
.
𝒓: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
𝒔: 𝒚 = −
𝟏
𝒎
𝒙 + 𝒒
𝒅𝑨,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑨 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑨 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑨,𝒓 =
𝟏 ∙ 𝟑 + −𝟏 ∙ 𝟎 + (−𝟏)
𝟏𝟐 + (−𝟏)𝟐
𝒅𝑨,𝒓 =
𝟐
𝟐
∙
𝟐
𝟐
𝒅𝑨,𝒓 =
𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟐
4 — (Cesgranrio-RJ) O ponto A(-1, -2) é um dos vértices de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está
sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida da altura desse triângulo.
r: x + 2y – 5 = 0
a = 1, b = 2, c = –5
𝒅𝑨,𝒓 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑨 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑨 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑨,𝒓 =
𝟏 ∙ (−𝟏) + 𝟐 ∙ (−𝟐) + (−𝟓)
𝟏𝟐 + 𝟐𝟐
𝒅𝑨,𝒓 =
−𝟏𝟎
𝟓
∙
𝟓
𝟓
𝒅𝑨,𝒓 =
𝟏𝟎 𝟓
𝟓
= 𝟐 𝟓
A(-1, -2)
B C
r
5 — (Fuvest-SP) Calcule a distância entre as retas r1: 3y = 4x – 2 e r2: 3y = 4x + 8, sabendo
que são paralelas.
r1: 3y = 4x – 2 
x = 2
3y = 4  (2) – 2 
3y = 8 – 2 
3y = 6 :(3)
y = 2
P (2, 2) ∈ r1
r2: 3y = 4x + 8 
4x – 3y + 8 = 0 
a = 4, b = -3, c = 8
𝒅𝑷,𝒓𝟐 =
𝒂 ∙ 𝒙𝑷 + 𝒃 ∙ 𝒚𝑷 + 𝒄
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒅𝑷,𝒓𝟐 =
𝟒 ∙ 𝟐 + −𝟑 ∙ 𝟐 + 𝟖
𝟒𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅𝑷,𝒓𝟐 =
𝟖 − 𝟔 + 𝟖
𝟏𝟔 + 𝟗
𝒅𝑷,𝒓𝟐 =
𝟏𝟎
𝟐𝟓
𝒅𝑷,𝒓𝟐 =
𝟏𝟎
𝟓
𝒅𝑷,𝒓𝟐 = 𝟐