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Exercícios resolvidos | Geometria Analítica | Lista 04

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Exercícios resolvidos | Geometria Analítica | Lista 04
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1 — Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência, em cada
caso.
(x – a)² + (y – b)² = r²
a) (x – 5)² + (y – 3)² = 49
(x – 5)² + (y – 3)² = 7²
C(5, 3)
r = 7
b) (x + 1)² + (y – 2)² = 8
(x – (– 1))² + (y – 2)² = ( 8 )²
C(-1, 2)
r = 8 = 2 2
c) x² + (y + 1)² = 25
(x – 0)² + (y – (– 1))² = 5²
C(0, -1)
r = 5
2— Escreva a equação reduzida da circunferência, cujos centro e raio são
(x – a)² + (y – b)² = r²
a) C(1, 4) e r = 6
(x – 1)² + (y – 4)² = 36
b) C(-2, -1) e r = 2
(x – (-2))² + (y – (-1))² = 4
(x + 2)² + (y + 1)² = 4
c) C(5, 0) e r = 3
(x – 5)² + (y – 0)² = ( 3)²
(x – 5)² + y² = 3
3 — Verifique a posição relativa entre a circunferência de equação (x – 4)² + (y – 2)² = 9 e
cada um dos seguintes pontos:
K(4, 2) e r = 3
A(5, 3)
d(K, A) = 5 − 4 2 + (3 − 2)²
d(K, A) = 12 + 1²
d(K, A) = 2
Como d < r, o ponto A é interior à circunferência.
3 — Verifique a posição relativa entre a circunferência de equação (x – 4)² + (y – 2)² = 9 e
cada um dos seguintes pontos:
K(4, 2) e r = 3
B(-1, 5)
d(K, B) = −1 − 4 2 + (5 − 2)²
d(K, B) = (−5)² + 3²
d(K, B) = 25 + 9
d(K, B) = 34 ≅ 5,8
Como d > r, o ponto B é exterior à circunferência.
3 — Verifique a posição relativa entre a circunferência de equação (x – 4)² + (y – 2)² = 9 e
cada um dos seguintes pontos:
K(4, 2) e r = 3
C(0, 5)
d(K, C) = 0 − 4 2 + (5 − 2)²
d(K, C) = (−4)² + 3²
d(K, C) = 16 + 9
d(K, C) = 25 = 5
Como d > r, o ponto C é exterior à circunferência.
4 — (ENEM, 2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os
alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos
pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de
uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas.
Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2
pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido
vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0; 4), B(4 ; 4),
C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2). Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?
a) x = 0
b) y = 0
c) x² + y² = 16
d) x² + (y – 2)² = 4
e) (x – 2)² + (y – 2)² = 8
d(D, A) = 2 − 0 2 + (2 − 4)²
d(D, A) = 2² + (−2)²
d(D, A) = 4 + 4
d(D, A) = 8
5— Determine a posição relativa de cada uma das retas listadas a seguir em relação à circunferência de equação
(x – 3)² + (y + 2)² = 25.
C(3, -2) e r = 5
a) r: 12x – 5y + 19 = 0
a = 12, b = -5, c = 19
dC,r =
a ∙ xC + b ∙ yC + c
a2 + b2
dC,r =
12 ∙ 3 + (−5) ∙ (−2) + 19
122 + (−5)2
dC,r =
65
169
=
65
13
= 5
Como d = 5, a reta r é tangente à
circunferência.
b) t: 4x – 3y – 10 = 0
a = 4, b = -3, c = -10
dC,t =
a ∙ xC + b ∙ yC + c
a2 + b2
dC,t =
4 ∙ 3 + −3 ∙ −2 − 10
42 + (−3)2
dC,t =
8
25
=
8
5
= 1,6
Como d < 5, a reta t é secante à
circunferência.
c) s: 7x + 4y + 15 = 0
a = 7, b = 4, c = 15
dC,s =
a ∙ xC + b ∙ yC + c
a2 + b2
dC,s =
7 ∙ 3 + 4 ∙ −2 + 15
72 + 42
dC,s =
28
65
∙
65
65
=
28 65
65
≅ 3,5
Como d < 5, a reta s é secante à
circunferência.