Atividade 3 Calculo Numerico Computacional

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ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	03/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
.
	O resultado apresenta 3 raizes na planilha: (-5,-4), (1,2), (4,5), sendo 1 conjunto negativo e outros 2 positivos, onde configura que o eixo X é tocado nestes 3 pontos do gráfico
	x
	g(x)
	h(x)
	-10
	-1200
	-230
	-9
	-891
	-210
	-8
	-640
	-190
	-7
	-441
	-170
	-6
	-288
	-150
	-5
	-175
	-130
	-4
	-96
	-110
	-3
	-45
	-90
	-2
	-16
	-70
	-1
	-3
	-50
	0
	0
	-30
	1
	-1
	-10
	2
	0
	10
	3
	9
	30
	4
	32
	50
	5
	75
	70
	6
	144
	90
	7
	245
	110
	8
	384
	130
	9
	567
	150
	10
	800
	170
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
	
	
	
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	3,15625
	-0,0380859375
	-0,198242
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
	
	
	
	3,16227766033262
	0,00000000103875
	0,0000000058902
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
	Calculadora: = 3,1622776602
E = 3,1622776602 - 3,16227766033262 = -0,00000000013262
A diferença é pequeníssima, mas existe. -0,0000000042%
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	
	-2,34375
	0,02835
	
	
	-2,354248046875
	-0,000014309650
	
	
	-2,35424275882542
	-0,00000000163058
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	
E = -2,35424275882542 - (-2,3542427582235 )= -0,00000000060192 (0,000000025568%)
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ?
	
 
Convergente
Divergente
A equação não é contínua no intervalo
 = = 1,44
 = impossível
Cosseno varia entre -1 e 1, portanto não existe arco (2,98)
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	0,866753875087241
	0,00385523966289814
	0,005068762
	
	0,865474058648975
	0,0000000768602201883795
	0,00000010094556590623
	
	0,865474032107809
	-0,0000000029899004383438
	0,00000000133053834616703
	
	0,865474033101614
	0,0000000000000000000000
	0,000000000000000999200722162641
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	
E = 0,865474033101614- 0,8654740331058 = -0,000000000004186 (-0,000000000483638%)
	VI. Avaliação do experimento
	
Encontrar a solução de uma equação pode ser um processo complicado, principalmente quando tentamos resolver de forma analítica. Este é um dos motivos que incentivaram os matemáticos a criarem métodos diferenciados para a resolução de forma numérica. Existem vários métodos numéricos para a resolução de equações, os quais procuraram encontrar uma solução aproximada para o problema. O experimento demonstra que os métodos possuem eficácia na análise, porém também possuem erros e devem ser verificados atentamente na definição do processo.
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987