A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
947 pág.
Automatic_Control_Systems__9th_Edition___Solutions_Manual

Pré-visualização | Página 1 de 50

Ninth Edition 
Farid Golnaraghi • Benjamin C. Kuo 
So
lu
tio
ns
 M
an
ua
l
So
lu
tio
ns
 M
an
ua
l
, 9th Edition A
 
Automatic Control Systems  Chapter 2 Solutionns  Golnarr
 
C
2
 
 
 
(
 
  
2
 
 
 
2
M
Chapter 2 
2‐1  (a)  Poles
  Zeros
 
(c)  Poles:  s = 
  Zeros
2-2) a) 
b) 
c) 
2-3) 
MATLAB code
s:  s = 0, 0, −1, −
s:  s = −2, ∞, ∞
   
0, −1 + j, −1 − 
s:  s = −2. 
 
 
 
e: 
−10;   
, ∞.   
 
j;   
 
 
 
  (b)
         
         
(d)  Poles:  s
 
 
2‐1 
 Poles:  s = −2,
Zeros:  s = 0.
The pole and 
= 0, −1, −2, ∞
, −2; 
zero at s = −1 c
. 
aghi, Kuo 
cancel each otther. 
    
 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
clear all; 
s = tf('s') 
 
'Generated transfer function:' 
Ga=10*(s+2)/(s^2*(s+1)*(s+10)) 
'Poles:' 
pole(Ga) 
'Zeros:' 
zero(Ga) 
 
'Generated transfer function:' 
Gb=10*s*(s+1)/((s+2)*(s^2+3*s+2)) 
'Poles:'; 
pole(Gb) 
'Zeros:' 
zero(Gb) 
 
'Generated transfer function:' 
Gc=10*(s+2)/(s*(s^2+2*s+2)) 
'Poles:'; 
pole(Gc) 
'Zeros:' 
zero(Gc) 
 
'Generated transfer function:' 
Gd=pade(exp(-2*s),1)/(10*s*(s+1)*(s+2)) 
'Poles:'; 
pole(Gd) 
'Zeros:' 
zero(Gd) 
2‐2 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
 
Poles and zeros of the above functions:  
(a)  
Poles:     0     0   ‐10    ‐1 
Zeros:    ‐2 
(b)    
Poles:     ‐2.0000   ‐2.0000   ‐1.0000 
Zeros:     0    ‐1 
(c) 
Poles: 
     0           
  ‐1.0000 + 1.0000i 
  ‐1.0000 ‐ 1.0000i 
Zeros:    ‐2 
Generated transfer function: 
(d) using first order Pade approximation for exponential term 
Poles: 
        0           
  ‐2.0000           
  ‐1.0000 + 0.0000i 
  ‐1.0000 ‐ 0.0000i 
 
Zeros: 
     1 
 
2‐3 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
2-4) Mathematical re ation: present
In all cases substitute and simplify. The use MATLAB to verify. 
a)  
31 2
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
10( 2)
( 1)( 10)
10( 2) ( 1)( 10)
( 1)( 10) ( 1)( 10)
10( 2)( 1)( 10)
( 1)( 100)
2 1 10
2 1 10
( )jj j
j
j j
j j j
j j j j
j j j
j j jR
R e e e φφ φ
ω
ω ω ω
ω ω ω +
ω ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
+
− + +
+ − + −
= ×
− + + − + − +
+ − + − +
=
− + +
+ − + − +
=
+ + +
=
2 2 2 2 2
2 2 2
2 21
1
2 2
21
2
2
2 21
3
2 2
1 2 3
10 2 1 10 ;
( 1)( 100)
2tan 2
2
1tan 1
1
10tan 10
10
R ω ω ω
ω ω ω
ω
ωφ
ω
ω
ωφ
ω
ω
ωφ
ω
φ φ φ φ
−
−
−
+ + +
=
− + +
+=
+
−
+=
+
−
+=
+
= + +
 
 
b) 
31 2
2
2 2 2
2 2 2
10
( 1) ( 3)
10 ( 1)( 1)( 3)
( 1)( 1)( 3) ( 1)( 1)( 3)
10( 1)( 1)( 3)
( 1) ( 9)
1 1 3
1 1 9
( )jj j
j j
j j j
j j j j j j
j j j
j j jR
R e e e φφ φ
ω ω
ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
+ +
− + − + − +
= ×
+ + + − + − + − +
− + − + − +
=
+ +
− + − + − +
=
+ + +
=
2 2
2 2 2
21
1
2
21
2
2
21
3
2
1 2 3
10 1 9 ;
( 1) ( 9)
1tan 1
1
1tan 1
1
9tan 3
9
R ω ω
ω ω
ω
ωφ
ω
ω
ωφ
ω
ω
ωφ
ω
φ φ φ φ
−
−
−
+ +
=
+ +
−
+=
+
−
+=
+
−
+=
+
= + +
 
2‐4 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
c)
 
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
10
( 2 2 )
10 (2 2 )
( 2 2 ) (2 2 )
10( 2 (2 ) )
(4 (2 ) )
2 (2 )
4 (2 )
( )j
j j
j j
j j
j
jR
R e φ
ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
+ −
− − −
= ×
+ − − −
− − −
=
+ −
− − −
=
+ −
=
ω
  
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
1
2 2
10 4 (2 ) 10 ;
(4 (2 ) ) 4 (2 )
2
4 (2 )tan 2
4 (2 )
R
ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ωφ ω
ω ω
−
+ −
= =
+ − + −
− −
+ −= −
+ −
2
2
 
d)
 
31 2
2
2
2 2
2 /2
2 2 2
10 ( 1)( 2)
( 1)( 2)
10 ( 1)( 2)
2 1
2 1
( )
j
j
j j
jj j
e
j j j
j j j e
j jR e
R e e e
ω
ω
ω π
φφ φ
ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
−
−
− −
+ +
− − + − +
=
+ +
− + − +
=
+ +
=
2 2 2
2 21
1
2 2
21
2
2
1 2 3
1 ;
10 2 1
2tan 2
2
1tan 1
1
R
ω ω ω
ω
ωφ
ω
ω
ωφ
ω
φ φ φ φ
−
−
=
+ +
−
+=
+
−
+=
+
= + +
 
MATLAB code: 
clear all; 
s = tf('s') 
 
'Generated transfer function:' 
Ga=10*(s+2)/(s^2*(s+1)*(s+10)) 
figure(1) 
2‐5 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
Nyquist(Ga) 
 
'Generated transfer function:' 
Gb=10*s*(s+1)/((s+2)*(s^2+3*s+2)) 
figure(2) 
Nyquist(Gb) 
 
'Generated transfer function:' 
Gc=10*(s+2)/(s*(s^2+2*s+2)) 
figure(3) 
Nyquist(Gc) 
 
 
'Generated transfer function:' 
Gd=pade(exp(-2*s),1)/(10*s*(s+1)*(s+2)) 
figure(4) 
Nyquist(Gd) 
 
Nyquist plots (polar plots):  
Part(a) 
2‐6 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0
-15
-10
-5
0
5
10
15
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
 
 
Part(b) 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
 
Part(c) 
2‐7 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
 
 
Part(d) 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
2‐8 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
2-5) In all cases find the real and imaginary axis intersections. 
a) 
{ }
{ }
2 2 2
2
2
2
1
2
2
10 10( 2) 10 2( )
( 2) ( 4) ( 4) ( 4)
2Re ( ) cos ,
( 4)
Im ( ) sin ,
( 4)
2
( 4)tan
( 4)
10 
( 4)
j jG j
j
G j
G j
R
;ω ωω
ω ω ω ω
ω φ
ω
ωω φ
ω
ωφ ω
ω
ω
−
− + −
= = =
− + + +
= =
+
−
= =
+
+= −
+
=
+
 
 
 
1
0
1
1lim ( ) 5; tan 900
0lim ( ) 0; tan 1801
Real axis intersection @ 0
Imaginary axis er
b&c) = 1 o 
int sec tion does not exist.
G j
G j
j
ω
ω
ω φ
ω φ
ω
−
→
−
→∞
= = = −−
= = = −−
=
o
o
 
 0
 ∞ = 0 -180
o 
 
Therefore: 
Re{ G(jω) } = 
Im {G(jω)} = 
 
2‐9 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
If Re{G(jω )} = 0 
 
 
 If Im{ G(jω )} = 0 
0
0
 
 
∞
 If ω = ωn 
 
 90
 
 If ω = ωn and ξ = 1 
 If ω = ωn and ξ 0 
If ω = ωn and ξ ∞ 0 
 
 d) ω) =G(j 
 ωlim G jω = 
 limω ∞ G jω = 
 - 90o 
 -180o 
 
 e) || 
√
 
 G(jω) = + = tan-1 (ω T) – ω L 
2‐10 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
2‐6 
 MATLAB code: 
clear all; 
s = tf('s') 
 
%Part(a) 
Ga=10/(s-2) 
figure(1) 
nyquist(Ga) 
 
%Part(b) 
zeta=0.5; %asuuming a value for zeta <1 
wn=2*pi*10 %asuuming a value for wn 
Gb=1/(1+2*zeta*s/wn+s^2/wn^2) 
figure(2) 
nyquist(Gb) 
 
%Part(c) 
zeta=1.5; %asuuming a value for zeta >1 
wn=2*pi*10 
Gc=1/(1+2*zeta*s/wn+s^2/wn^2) 
figure(3) 
nyquist(Gc) 
 
%Part(d) 
T=3.5 %assuming value for parameter T 
Gd=1/(s*(s*T+1)) 
figure(4) 
nyquist(Gd) 
 
2‐11 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
%Part(e) 
T=3.5 
L=0.5 
Ge=pade(exp(-1*s*L),2)/(s*T+1) 
figure(5) 
hold on; 
nyquist(Ge) 
 
notes: In order to use Matlab Nyquist command, parameters needs to be assigned with values, and Pade 
approximation needs to be used for exponential term in part (e). 
Nyquist diagrams are as follows: 
2‐12 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
Part(a) 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
 
 
Part(b) 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
 
2‐13 
 
Automatic Control Systems, 9th Edition   Chapter 2 Solutions   Golnaraghi, Kuo 
 
 
 
Part(c) 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Nyquist Diagram

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.