Reunião Semana 6

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Exercícios – Resumo Semana 2 e 
Semana 3
Facilitadora: Priscila R.
Disciplina: CÁLCULO III – MCA003
Turma:001
10. Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica
acima do cone 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 e abaixo da esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒛
10. Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica
acima do cone 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 e abaixo da esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒛
𝜌2 = 𝜌 cos𝜙 ⟹ 𝜌 = cos𝜙 Coordenadas Esféricas:
𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝜌, 𝜃, 𝜙
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑥 = 𝜌 sin𝜙 cos 𝜃
𝑦 = 𝜌 sin𝜙 sin 𝜃
𝑧 = 𝜌 cos𝜙
 
𝐸
𝑓 𝜌, 𝜃, 𝜙 𝜌2 sin𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙
𝜌 cos𝜙 = 𝜌2 sin2 𝜙 cos2 𝜃 + 𝜌2 sin2 𝜙 sin2 𝜃 = 𝜌 sin𝜙 ⟹ cos𝜙 = sin𝜙
𝜙 =
𝜋
4
𝐸 = 𝜌, 𝜃, 𝜙 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 4 , 0 ≤ 𝜌 ≤ cos𝜙
𝑉 𝐸 = 
𝐸
𝑑𝑉 = 
0
2𝜋
 
0
 𝜋 4
 
0
cos 𝜙
𝜌2 sin𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃
= 
0
2𝜋
 
0
 𝜋 4
sin 𝜙
𝜌3
3
0
cos 𝜙
𝑑𝜙 𝑑𝜃 =
1
3
 
0
2𝜋
 
0
 𝜋 4
cos3 𝜙 sin𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃
=
1
3
 
0
2𝜋
−
cos4 𝜙
4
0
 𝜋 4
𝑑𝜃 = −
1
12
 
0
2𝜋
−
3
4
𝑑𝜃 =
1
12
6𝜋
4
=
𝜋
8
1. Determine o campo vetorial gradiente 𝑓:
a) 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚
Campo Vetorial com 
Duas Variáveis:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝒋
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = sec2 3𝑥 − 4𝑦 3 𝒊 + sec2 3𝑥 − 4𝑦 −4 𝒋
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 sec2 3𝑥 − 4𝑦 𝒊 − 4 sec2 3𝑥 − 4𝑦 𝒋
b) 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
1
2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
∙ 2𝑥 𝒊 +
1
2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
∙ 2𝑦 𝒋 +
1
2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
∙ 2𝑧 𝒌
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝑥
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝒊 +
𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝒋 +
𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝒌 Campo Vetorial com 
Três Variáveis:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝒋 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝒌
2. Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se
move ao longo do círculo 𝒙𝟐 + 𝒚 − 𝟏 𝟐 = 𝟒 da seguinte maneira:
a) Uma vez no sentido horário, a partir de (2,1).
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 − 1 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑡
2 = 2 cos 𝑡 ⟹ cos 𝑡 = 1 ⟹
1 − 1 = −2 sin 𝑡 ⟹ sin 𝑡 = 0 ⟹
𝑡 = 0
𝑡 = 0
𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 1 − 2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
b) Três vezes no sentido anti-horário, a partir de (2,1).
2 = 2 cos 𝑡 ⟹ cos 𝑡 = 1 ⟹
1 − 1 = 2 sin 𝑡 ⟹ sin 𝑡 = 0 ⟹
𝑡 = 0
𝑡 = 0
𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 1 + 2 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 6𝜋
c) Meia-volta no sentindo anti-horário, a partir de (0,3).
0 = 2 cos 𝑡 ⟹ cos 𝑡 = 0 ⟹
3 − 1 = 2 sin 𝑡 ⟹ sin 𝑡 = 1 ⟹
𝑡 = 𝜋 2
𝑡 = 𝜋 2
𝑥 = 2 cos 𝑡 , 𝑦 = 1 + 2 sin 𝑡 , 𝜋 2 ≤ 𝑡 ≤ 3𝜋 2
3. Calcule 𝑪 𝒚 𝒅𝒙 + 𝒛 𝒅𝒚 + 𝒙 𝒅𝒛, onde C consiste no segmento de reta C1 de
(2,0,0) a (3,4,5), seguido pelo segmento e reta vertical C2 de (3,4,5) a (3,4,0).
Representação Vetorial do
Segmento de Reta:
𝒓 𝑡 = 1 − 𝑡 𝒓0 + 𝑡𝒓1
C1: 𝒓 𝑡 = 1 − 𝑡 2,0,0 + 𝑡 3,4,5 = 2 + 𝑡, 4𝑡, 5𝑡
Em equações paramétricas: 𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 4𝑡
𝑧 = 5𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 1
Logo,
 
𝐶1
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧 = 
0
1
4𝑡 𝑑𝑡 + 5𝑡 4 𝑑𝑡 + 2 + 𝑡 5 𝑑𝑡
= 
0
1
29𝑡 + 10 𝑑𝑡 = 10𝑡 + 29
𝑡2
2
0
1
=
49
2
𝑜𝑢 24,5
C2: : 𝒓 𝑡 = 1 − 𝑡 3,4,5 + 𝑡 3,4,0 = 3,4,5 − 5𝑡
Representação Vetorial do
Segmento de Reta:
𝒓 𝑡 = 1 − 𝑡 𝒓0 + 𝑡𝒓1
Em equações paramétricas: 𝑥 = 3
𝑦 = 4
𝑧 = 5 − 5𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 1
Logo,
 
𝐶2
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧 =
= 24,5 − 15 = 9,5
 
0
1
4 0 𝑑𝑡 + 5 − 5𝑡 0 𝑑𝑡 + 3 −5 𝑑𝑡
Somando os valores das integrais:
 
𝐶
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧 = 
𝐶1
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧 + 
𝐶2
𝑦 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥 𝑑𝑧
= −15𝑡 0
1 = −15
4. Calcule 𝑪 𝑭 ∙ 𝒅𝒓, onde 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚 𝒊 + 𝒚𝒛 𝒋 + 𝒛𝒙 𝒌 e C é a
cúbica retorcida dada por 𝒙 = 𝒕
𝒚 = 𝒕𝟐
𝒛 = 𝒕𝟑
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏
Integral de Linha F ao longo de:
 
𝐶
𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 
𝑎
𝑏
𝐹 𝑟 𝑡 ∙ 𝑟′ 𝑡 𝑑𝑡 = 
𝐶
𝐹 ∙ 𝑇 𝑑𝑠
Temos:
𝒓 𝑡 = 𝑡𝒊 + 𝑡2𝒋 + 𝑡3𝒌 ⟹ 𝒓′ 𝑡 = 𝒊 + 2𝑡𝒋 + 3𝑡2𝒌
𝑭 𝒓 𝑡 = 𝑡3 𝒊 + 𝑡5 𝒋 + 𝑡4 𝒌
Logo,
 
𝐶
𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 
0
1
𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓′ 𝑡 𝑑𝑡
= 
0
1
𝑡3 + 2𝑡6 + 3𝑡6 𝑑𝑡 =
=
27
28
 
𝑡4
4
+ 5
𝑡7
7
0
1
Livro Usado:
Cálculo II – James Stewart
Agradeço a presença de todos!
Bons Estudos!