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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Fabrício Biazotto
matemática e raciocínio lógico
Prof. Fabrício Biazotto
Edital 2018
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Modelagem de situações-problema por meio de 
equações do 1º e 2º graus e sistemas lineares. 2 Noção de função. 2.1 Análise gráfica. 2.2 
Funções afim, quadrática, exponencial e logarítmica. 2.3 Aplicações. 3 Taxas de variação 
de grandezas. 3.1 Razão e proporção com aplicações. 3.2 Regra de três simples e composta. 
4 Porcentagem. 5 Regularidades e padrões em sequências. 5.1 Sequências numéricas. 5.2 
Progressão aritmética e progressão geométrica. 6 Noções básicas de contagem e probabilidade. 
7 Descrição e análise de dados. 7.1 Leitura e interpretação de tabelas e gráficos apresentados 
em diferentes linguagens e representações. 7.2 Cálculo de médias e análise de desvios de 
conjuntos de dados. 8 Noções básicas de teoria dos conjuntos. 9 Análise e interpretação de 
diferentes representações de figuras planas, como desenhos, mapas e plantas. 9.1 Utilização 
de escalas. 9.2 Visualização de figuras espaciais em diferentes posições. 9.3 Representações 
bidimensionais de projeções, planificações e cortes. 10 Métrica. 10.1 Áreas e volumes. 10.2 
Estimativas. 10.3 Aplicações.
BANCA: Cespe
CARGO: Policial Rodoviário Federal
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Capítulo 1
UNIDADES DE MEDIDA
1 – HISTÓRIA E IMPORTÂNCIA:
Atualmente as unidades de medidas utilizadas e padronizadas pelo sistema internacional de 
medidas são: Quilômetro (km), Hectômetro (hm), Decâmetro (dam), metro (m), Decímetro 
(dm), Centímetro (cm) e Milímetro (mm). Das unidades citadas utilizamos como referencial o 
metro. 
Ao longo da história da humanidade as unidades de medida eram criadas e adaptadas de acordo 
com a necessidade dos povos. Muitas dessas medidas e eram realizadas baseadas em partes do 
corpo. Por exemplo, o cúbito era uma unidade utilizada pelos egípcios há, aproximadamente, 
4.000 anos. Ela consistia na distância do cotovelo até a ponta do dedo médio do faraó. 
O palmo também era muito utilizado pelos povos egípcios, essa medida consistia na utilização 
de quatro dedos juntos e correspondia à sétima parte do cúbito. Hoje o palmo ainda é utilizado 
em medições caseiras, é medido pela distância em linha reta do polegar ao dedo minguinho. 
Algumas unidades ainda são utilizadas por determinados países até os dias atuais. A Inglaterra 
e os Estados Unidos utilizam a jarda como medida de comprimento. Essa medida consiste na 
distância entre o nariz e a ponta do polegar, com o braço esticado. Nos jogos de futebol, a jarda 
é utilizada nos momentos em que o juiz precisa marcar a distância entre a bola e a barreira, 
para isso ele faz a medição contando passos, que é a medida aproximada de 1 jarda. No futebol 
americano as distâncias percorridas pelos atletas são registradas em jardas, que medem 
aproximadamente 0,91 metros. 
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Enquanto o Brasil utiliza como medida de comprimento padrão o metro, os Estados Unidos 
utilizam a milha. Temos que 1 milha corresponde a, aproximadamente, 1.609 metros. A 
polegada é uma unidade de comprimento utilizada no Brasil em casos isolados, mas é muito 
usada em países como a Inglaterra, e sua medição possui uma relação com o centímetro, de 
forma que 1 polegada corresponde a 2,54 centímetros.
Na aviação verificamos uma unidade usada na determinação de altura, o pé. Quando um 
avião precisa informar a sua altura ele utiliza essa unidade comunicando aos passageiros e 
informando a torre de comando a sua altitude correta. Por exemplo, um avião que se encontra 
a 10.000 pés de altitude está a 304.800 cm, que corresponde a 3048 metros. Dizemos que 1 pé 
corresponde a 30,48 centímetros. 
A ciência grega antiga sempre foi palco de grandes descobertas e invenções em relação a ciência 
experimental. Uma das grandes descobertas científicas gregas foi sem dúvida o comprimento 
da circunferência da Terra. Embora o método utilizado na época (século III A.C.) possa parecer 
simplório, vale lembrar que nesse período não se tinha conhecimento matemático e muito 
menos científico como temos hoje em dia.
Um método muito utilizado para se medir distâncias muito grandes é a triangulação, que 
requer apenas uma distância conhecida para servir de base e um instrumento que permita 
mirar objetos distantes e medir o ângulo entre a direção da mira e a linha de base. Esse método 
serve, por exemplo, para medir a distância entre duas margens de um rio, sem a necessidade 
de atravessá-lo.
Uma variação deste método foi utilizada por Erastóstenes no século III A.C. para medir o raio 
da Terra. A ideia de que a Terra teria uma forma esférica já era difundida nessa época, pois 
Aristóteles havia citado como argumento a sombra circular projetada pela Terra sobre a Lua 
sempre que ela estava entre o Sol e a Lua.
O método de Erastóstenes está ilustrado na figura abaixo. No dia de solstício de verão (o dia 
mais longo do ano), na cidade de Siene (atual Aswan), ao meio dia, os raios solares eram 
extremamente verticais, o que ele verificou pela ausência de sombra de uma estaca cravada 
verticalmente no solo.
Ao mesmo tempo, em Alexandria, a norte de Siene sobre o mesmo meridiano, os raios solares 
faziam um ângulo θ = 7,2o com a vertical. Esse ângulo foi medido utilizando um fio de prumo.
Para saber a distancia s entre Siene e Alexandria, Erastóstenes mandou seu aprendiz percorrer o 
trajeto entre as cidades utilizando uma roda com circunferência conhecida, de modo que ao final 
do percurso bastava apenas multiplicar a quantidade de voltas realizadas pelo comprimento da 
circunferência. O valor para s encontrado por Erastóstenes foi de 5.000 “stadia” (medida grega 
de comprimento na época). Tendo todos esses valores, o matemático grego utilizou uma regra 
de três muito simples, dada por:
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S
2πR
= θ
360°
Substituindo o valor obtido para θ, Erastóstenes chegou a seguinte expressão:
C = 2πR = 50 s
Assim, foi possível calcular o raio da Terra, e consequentemente o comprimento da 
circunferência da Terra, chegando ao valor de: C = 250.000 “stadia”, o que corresponde a 
C = 39.250 km.
Hoje, este valor está medido muito precisamente, correspondendo a C = 40.023 km, ou 
seja, a medida feita pelo matemático Grego apresentou um erro menor que 2% em relação 
ao conhecido atualmente. Assim, é possível notar a exatidão das medidas realizadas por 
Erastóstenes, em uma época em que ainda não havia sido desenvolvido o cálculo e muito 
menos aparelhos capazes de realizar medidas de longas escalas de comprimento.
Unidade de medida é uma quantidade específica de determinada grandeza física e que serve 
de padrão para eventuais comparações, e que serve de padrão para outras medidas.
O Sistema internacional de unidades (SI) foi criado, pois por longo tempo, cada região, país teve 
um sistema de medidas diferente, criando muitos problemas para o comércio devido à falta de 
padronização de tais medidas. Para resolver o problema foi criado o Sistema Métrico Decimal 
que adotou inicialmente adotou três unidades básicas: metro, litro e quilograma.
Entretanto, o desenvolvimento tecnológico e científico exigiu um sistema padrão de unidades 
que tivesse maior precisão nas medidas. Foi então que em 1960, foi criado o Sistema 
Internacional de unidades(SI). Hoje, o SI é o sistema de medidas mais utilizado em todo o 
mundo.
Existem sete unidades básicas do SI que estão na tabela abaixo:
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente Elétrica Ampère A
Temperatura kelvin K
Quantidade de matéria mol mol
Intensidade luminosa candela cd
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http://www.infoescola.com/fisica/corrente-eletrica/
 
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Segue abaixo as grandezas Físicas e suas unidades no sistema internacional. São grandezas 
cujas unidadessão derivadas das unidades básicas do SI.
Grandeza Unidade Símbolo Unidade sintética Unidades Básicas
Área --- m² --- ---
Volume --- m³ --- ---
Densidade --- Kg/m³ --- ---
Concentração --- mol/m³ --- ---
Aceleração --- m/s² --- ---
Campo magnético --- A/m --- ---
Velocidade --- m² --- ---
Velocidade angular --- Rad/s Hz 1/s
Aceleração angular --- Rad/s² Hz² 1/s²
Calor específico --- J/kg.K N.m/K.Kg m²/(s².K)
Condutividade térmica --- W/m.K J/s.m.K Kg.m/
Momento de Força --- N/m --- Kg.m²/s²
Força Newton N --- Kg.m/s²
Freqüência Hertz Hz --- 1
Ângulo radiano rad m/m 1
Pressão Pascal Pa N/m² Kg/(m.s²)
Energia Joule J N.m Kg.m²/s²
Potência Watt W J/s Kgm²/s³
Carga elétrica Coloumb C --- A.s
Tensão elétrica Volt V W/A Kg.m²/s³.A
Resistência elétrica Ohm Ώ V/A Kg.m²/(s³.A²)
Capacitância Farad F A.s/V A².(s^4)/kg.m²
Indutância Henry H Wb/A Kg.m²/(s².A²)
Fluxo magnético Weber Wb V.s Kg.m²/s².A
Densidade do Fluxo mag. Tesla T Wb/m² Kg/s².A
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2 – UNIDADE DE COMPRIMENTO:
A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa 
unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena, por 
outro lado se queremos medir extensões muito “pequenas”, a unidade metro é muito “grande”.
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento.
Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor correspondente 
em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade 
da comprimento imediatamente inferior (à direita). Em consequência, cada unidade de 
comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda).
Quilômetro
km
Hectômetro
hm
Decâmetro
dam
Metro
m
Decímetro
dm
Centímetro
cm
Milímetro
mm
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Regras Práticas:
A) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma 
multiplicação por 10.
Ex: 1 m = 10 dm
B) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma 
divisão por 10.
Ex: 1 m = 0,1 dam
C) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das 
regras anteriores.
Ex: 1 m = 100 cm
 1 m = 0,001 km
3 – UNIDADE DE ÁREA:
Quilômetro 
quadrado
km2
Hectômetro 
quadrado
hm2
Decâmetro 
quadrado
dam2
Metro 
quadrado
m2
Decímetro 
quadrado
dm2
Centímetro 
quadrado
cm2
Milímetro 
quadrado 
mm2
1x106 m2 1x104 m2 1x102 m2 1 m2 1x10-2 m2 1x10-4 m2 1x10-6 m2
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Regras Práticas:
A) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma 
multiplicação por 100.
Ex: 1 m2 = 100 dm2
B) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devmos fazer uma divisão 
por 100.
Ex: 1 m2 = 0,01 dam2
C) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das 
regras anteriores.
OBS: 1 HECTARE = 1 HECTÔMETRO QUADRADO (1 hm2) = 10.000 m2.
4 – UNIDADE DE VOLUME:
Quilômetro 
cúbico
km3
Hectômetro 
cúbico
hm3
Decâmetro 
cúbico
dam3
Metro 
cúbico
m3
Decímetro 
cúbico
dm3
Centímetro 
cúbico
cm3
Milímetro 
cúbico
mm3
1x109 m3 1x106 m3 1x103 m3 1 m3 1x10-3 m3 1x10-6 m3 1x10-9 m3
Regras Práticas:
A) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma 
multiplicação por 1000.
Ex: 1 m3 = 1000 dm3
B) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma 
divisão por 1000.
Ex: 1 m3 = 0,001 dam3
C) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das 
regras anteriores.
5 – LITRO (CAPACIDADE):
Quilolitro
kl
Hectolitro
hl
Decalitro
dal
litro
l
Decilitro
dl
Centilitro
cl
Mililitro
ml
1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
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Conforme pode observar, é o mesmo da tabela do comprimento, apenas modificando m por l, 
assim todas as transformações são iguais.
Regras Práticas:
A) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma 
multiplicação por 10.
Ex: 1 l = 10 dl
B) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma 
divisão por 10.
Ex: 1 l = 0,1 dal
C) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das 
regras anteriores.
Ex: 1 l = 100 cl
 1 l = 0,001 kl
ATENÇÃO! VOLUME = CAPACIDADE, OU CAPACIDADE = VOLUME, assim existem relações 
importantes entre elas que é preciso saber:
1.000 l = 1 m3. 1 l = 1 dm3. 1 ml = 1 cm3.
6 – MASSA (QUILOGRAMA):
Quilograma
kg
Hectograma
hg
Decagrama
dag
grama
g
Decigrama
dg
Centigrama
cg
Miligrama
mg
1000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g
Conforme pode observar, é o mesmo da tabela do comprimento e do litro, apenas modificando 
para g, assim todas as transformações são iguais.
Regras Práticas:
A) Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma 
multiplicação por 10.
Ex: 1 g = 10 dg
B) Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma 
divisão por 10.
Ex: 1 g = 0,1 dag
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C) Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das 
regras anteriores.
Ex: 1 g = 100 cg
 1 l = 0,001 kg
7 – PREFIXOS DAS UNIDADES USUAIS:
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Questões
7 – EXERCÍCIOS:
1. O micrômetro (1 µm = 10-6 m) é comumente 
chamado de mícron.
a) Quantos mícrons existem em 1 km? 
b) Que fração do cm e igual a 1 µm? 
2. Uma unidade de área frequentemente utili-
zada para expressar áreas de terra é o hec-
tare, definido como 10^4m2.
Uma mina de carvão a céu aberto consome 
75 hectares de terra, a uma profundidade 
de 26 m por ano. Calcule o volume de terra 
retirada neste tempo em km3
3. O intervalo de tempo de 2,4 minutos equi-
vale, no Sistema Internacional de unidades 
(SI), a:
a) 24 segundos.
b) 124 segundos.
c) 144 segundos.
d) 160 segundos.
e) 240 segundos.
4. Considere os três comprimentos seguintes:
d1 = 0,521 km,
d2 = 5,21.10-2 m e
d3 = 5,21.106 mm.
a) Escreva esses comprimentos em ordem 
crescente. 
b) Determine a razão d3/d1. 
5. O fumo é comprovadamente um vício preju-
dicial à saúde. Segundo dados da Organiza-
ção Mundial da Saúde, um fumante médio, 
ou seja, aquele que consome cerca de 10 ci-
garros por dia, ao chegar à meia-idade terá 
problemas cardiovasculares. A ordem de 
grandeza do número de cigarros consumidos 
por este fumante durante 30 anos é de:
a) 10^2
b) 10^3
c) 10^4
d) 10^5
e) 10^6.
6. “A próxima geração de chips da Intel, os 
P7, deverá estar saindo da fábrica dentro 
de dois anos, reunindo nada menos do que 
dez milhões de transistores num quadrinho 
com quatro ou cinco milímetros de lado.” 
(Revista ISTO É, n°1945, página 61). Tendo 
como base as informações anteriores, po-
demos afirmar que cada um desses transis-
tores ocupa uma área da ordem de:
a) 10−2 m2
b) 10−4 m2
c) 10−8 m2
d) 10−10 m2
e) 10−12 m2.
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7. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 
mm por minuto, quanto tempo levará para 
se consumir?
a) 2 h
b) 2 h 36 min
c) 3 h
d) 3 h 18 min
e) 3 h 20 min. 
Gabarito: 1. a) 1.000.000.000 µm b) 0,0001 cm ou 1/10.000 cm 2. 0,0195km3 3. C 4. a) d2 < d1 < d3 b) 10 5. D  
6. E 7. E
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Capítulo 2
RAZÃO EPROPORÇÃO
1 – RAZÃO:
É a divisão ou relação entre duas grandezas. 
Exemplo: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de 
meninos e o número de meninas?
Razão
 
Razão inversa: é o inverso da razão, assim
 
2 – PROPORÇÃO:
É a igualdade entre razões. 
Exemplo: meu carro faz 13km por litro de combustível, então para 26km preciso de 2L, para 
39km preciso de 3L e assim por diante
1ª situação:  
2ª situação: R1 = R2, logo formam uma proporção.
Observe , se você multiplicar em cruz o resultado será o mesmo: 26 x 3 = 2 x 39 = 78.
Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas além desta 
propriedade, temos outras que serão muito úteis:
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Numa proporção quando somamos termo a termo: , a 
razão se mantém
Numa proporção quando subtraímos termo a termo: , a 
razão se mantém
2.1 – PROPRIEDADE DAS PROPROÇÕES:
Propriedade 1: Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. 
Propriedade 2: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está 
para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu 
respectivo consequente. Temos então:
 ou 
Ou
 ou 
Propriedade 3: Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros 
termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos 
dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
 ou 
Ou
 ou 
QUARTA PROPORCIONAL
DADOS TRÊS NÚMEROS A, B, E C, CHAMAMOS DE QUARTA PROPORCIONAL O QUARTO 
NÚMERO X QUE JUNTO A ELES FORMAM A PROPORÇÃO:
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número 
x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na 
resolução de problemas de regra de três simples.
TERCEIRA PROPORCIONAL
EM UMA PROPORÇÃO ONDE OS MEIOS SÃO IGUAIS, UM DOS EXTREMOS É A TERCEIRA 
PROPORCIONAL DO OUTRO EXTREMO:
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Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.
Dadas as proporções:
3 – GRANDEZAS PROPORCIONAIS:
O que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, 
embora existam casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão parte 
de nosso estudo.
Por exemplo, “na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols, quantos 
gols ele fará ao final do campeonato sabendo que o mesmo terá 46 partidas?”.
3.1 – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no 
aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você 
fizer com uma acontecerá com a outra.
Observação é necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.
Exemplo: Se numa receita de pudim de micro-ondas uso duas latas de leite condensado, 6 
ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente 
se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, 
apenas meia receita.
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade 
de pães que peça:
Preço R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 
Nº de pães 1 2 5 10 20 50 
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais 
pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço 
pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
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3.2 – GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPROCIONAIS:
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na 
redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você 
fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.
Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.
Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de 
viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma 
distância de 600km.
Velocidade média (km/h) 60 100 120 150 200 300 
Tempo de viagem (h) 10 6 5 4 3 2 
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo 
mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo 
maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos 
sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.
4 – REGRAS DE TRÊS:
4.1 – REGRAS DE TRÊS SIMPLES:
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro 
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo 
na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia 
solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, 
qual será a energia produzida?
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Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2   400
1,5   x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe 
que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido 
(para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
  
Logo a energia produzida será de 500 watts/h
2. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso 
em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 
480km/ h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade Tempo
400   3
480   x
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário 
(para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
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Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos
3. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas 
do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisa Preço
  3 120
  5  x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas
4. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. 
Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o 
mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dia)
  8  20
  5  x
Observe que: Diminuindo o númerode horas trabalhadas por dia, o prazo para término 
aumenta.
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Como as palavras são contrárias (diminuindo – aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
4.2 – REGRAS DE TRÊS COMPOSTA:
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta e/ou 
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em 
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
 8   20  160
 5   x  125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x
Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de 
caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. 
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar 
a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das 
setas.
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Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos 
serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homem Carrinhos Dias
 8   20  5
 4   x  16
Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto 
a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também 
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que 
contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando e resolvendo a equação temos:
Logo serão montados 32 carrinhos.
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3. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros 
e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-
se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e 
discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando e resolvendo a equação temos:
Para completar o muro serão necessários 12 dias.
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Questões
5 – EXERCÍCIOS:
1. Uma proporção, 17 está para 13 assim como 
102 está para quanto?
a) 89
b) 98
c) 51
d) 87
e) 78
2. A soma de dois números é igual a 400. Sabe-
-se que um deles está para 4, assim como o 
outro está para 6. Quais são estes números?
a) 140 e 260
b) 150 e 250
c) 160 e 240
d) 170 e 230
e) 180 e 220
3. João tem 9 anos, Pedro tem 6 anos e Jú-
lia tem 2 anos. Eles receberam de seu pai 
R$850,00 que foram repartidos em quan-
tias diretamente proporcionais as suas ida-
des. Então pode-se afirmar que:
a) Pedro recebeu a metade da quantia que 
Julia recebeu.
b) João recebeu o dobro da quantia que 
que Pedro recebeu.
c) Júlia recebeu um terço da quantia que 
Pedro recebeu.
d) João Pedro e Júlia receberam, res-
pectivamente, R$ 150,00; R$ 400,00; 
R$ 300,00.
4. Uma prova no valor de 100 pontos deve-
ria ter x questões de mesmo valor. Como o 
tempo não seria suficiente, a professora fez 
o teste valendo 80 pontos e retirou 4 ques-
tões. O valor de cada questões continuou 
igual. Então o número de questões na prova 
original era de:
a) 60 questões 
b) 40 questões 
c) 20 questões 
d) 10 questões
5. Um automóvel com velocidade de 80 km/h 
demora 3h para percorrer uma certa distân-
cia. Quanto o tempo demorará para percor-
rer a mesma distância um outro auto cuja 
velocidade é de 120 km/h?
a) 2 horas 
b) 3 horas 
c) 4 horas 
d) 5 horas 
e) 6 horas
6. Em uma fundação, verificou-se que a razão 
entre o número de atendimentos a usuários 
internos e o número de atendimento total 
aos usuários (internos e externos), em um 
determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. 
Sabendo que o número de usuários exter-
nos atendidos foi 140, pode-se concluir que, 
no total, o número de usuários atendidos 
foi
a) 84.
b) 100.
c) 217.
d) 280.
e) 350.
7. Em uma concessionária de veículos, a razão 
entre o número de carros vermelhos e o nú-
mero de carros prateados vendidos durante 
uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que 
nessa semana o número de carros vendidos 
(somente vermelhos e prateados) foi 168, 
pode-se concluir que, nessa venda, o núme-
ro de carros prateados superou o número 
de carros vermelhos em
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a) 96.
b) 112.
c) 123.
d) 132.
e) 138.
8. Paulo acertou 75 questões da prova obje-
tiva do último simulado. Sabendo-se que a 
razão entre o número de questões que Pau-
lo acertou e o número de questões que ele 
respondeu de forma incorreta é de 15 para 
2, e que 5 questões não foram respondidas 
por falta de tempo, pode-se afirmar que o 
número total de questões desse teste era
a) 110.
b) 105.
c) 100.
d) 95.
e) 90.
9. Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 
dias, alimentos não perecíveis para doar a 
uma comunidade carente da região. Vin-
te alunos aceitaram a tarefa e nos primei-
ros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, 
arrecadando 12 kg de alimentos por dia. 
Animados com os resultados, 30 novos 
alunos somaram-se ao grupo, e passa-
ram a trabalhar 4 horas por dia nos dias 
seguintes até o término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha 
se mantido constante, a quantidade de ali-
mentos arrecadados ao final do prazo esti-
pulado seria de
a) 920 kg. 
b) 800 kg. 
c) 720 kg. 
d) 600 kg. 
e) 570 kg. 
10. (PRF – 2013)
Considerando que uma equipe de 30 operá-
rios, igualmente produtivos, construa uma 
estrada de 10 km de extensão em 30 dias, 
julgue os próximos itens.
a) Se a tarefa estiver sendo realizada pela 
equipe inicial de 30 operários e, no início 
do quinto dia, 2 operários abandonarem 
a equipe, e não forem substituídos, então 
essa perda ocasionará atraso de 10 dias no 
prazo de conclusão da obra.
( ) Certo   ( ) Errado
b) Se, ao iniciar a obra, a equipe designada 
para a empreitada receber reforço de uma 
segunda equipe, com 90 operários igual-
mente produtivos e desempenho igual ao 
dos operários da equipe inicial, então a es-
trada será construída em menos de 1/5 do 
tempo inicialmente previsto.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. E 2. C 3. C 4. C 5. A 6. E 7. A 8. E 9. A 10. a) E b) E
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Capítulo 3
PORCENTAGEM
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do 
tipo:
 • A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento).
 • Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.
 • O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento).
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das 
razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b = 100 
chama-se porcentagem.
Exemplos:
1. Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com 
o número total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para 
significar que se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por 
cento é o mesmo que30/100.
2. Calcular 40% de R$ 300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$ 300,00 
a mesma proporção que R$ 40,00 em R$ 100,00. Isto pode ser resumido na proporção:
40/100 = X/300
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicação 
cruzada para obter: 100X = 12000, assim X = 120
Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.
3. Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?
45/100 = X/200 o que implica que 100X = 9000, logo X = 90. 
Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200 – 90 = 110 páginas.
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 
100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo “%”.
O símbolo “%” é lido como “por cento”. “5%” lê-se “5 por cento”. “25%” lê-se “25 por cento”.
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O símbolo “%” significa centésimos, assim “5%” é uma outra forma de se escrever 0,05, 5
100
 ou 
1
20
 por exemplo.
Veja as seguintes razões:
1
100
,
17
100
,
41
100
,
70
100
Podemos representá-las na sua forma decimal por:
0,01; 0,17; 0,41; 0,70
E também na sua forma de porcentagens por:
1%, 17%, 41%, 70%
Como calcular um valor percentual de um número?
Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200?
Multiplique 25 por 200 e divida por 100:
25.200
100
= 50
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 
0,25 por 200:
0,25 . 200 = 50
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Questões
1 – EXERCÍCIOS:
1. Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2% não 
votaram, na última eleição. Quantos foram 
os eleitores ausentes?
a) 520
b) 360
c) 260
d) 120
e) 90. 
2. Uma empresa de turismo fechou um pacote 
para um grupo de 80 pessoas, com o qual 
ficou acordado que cada pessoa que parti-
cipasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa 
que desistisse pagaria apenas uma taxa de 
R$ 150,00. Se a empresa de turismo arreca-
dou um total de R$ 59.600,00, qual a por-
centagem das pessoas que desistiram do 
pacote?
a) 20%
b) 24%
c) 30%
d) 42%
e) 36% 
3. Depois de vários anos com salário conge-
lado, Manoel teve um reajuste salarial de 
25% e passou a ganhar R$ 600,00. O salário 
de Manoel, antes do reajuste, era de:
a) R$ 450,00
b) R$ 460,00
c) R$ 470,00
d) R$ 480,00
4. Em um curso de inglês, as turmas são mon-
tadas por meio da distribuição das idades 
dos alunos. O gráfico abaixo representa a 
quantidade de alunos por suas idades. A 
porcentagem de alunos com que será for-
mada uma turma com idade maior ou igual 
a 18 anos é:
a) 11%
b) 20%
c) 45%
d) 55%
e) 65% 
5. Um funcionário de uma empresa recebeu a 
quantia de R$ 315,00 a mais no seu salário, 
referente a um aumento de 12,5%. Sendo 
assim, o seu salário atual é de:
a) R$ 2.205,00
b) R$ 2.520,00
c) R$ 2.835,00
d) R$ 2.913,00
e) R$ 3.050,00. 
6. Num grupo de 2.000 adultos, apenas 20% 
são portadores do vírus da hepatite B. Os 
homens desse grupo são exatamente 30% 
do total e apenas 10% das mulheres apre-
sentam o vírus. O número total de homens 
desse grupo que não apresenta o vírus, é 
exatamente.
a) 140
b) 260
c) 340
d) 400
e) 600 
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7. Em dezembro de 2007, um investidor com-
prou um lote de ações de uma empresa por 
R$ 8 000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações 
dessa empresa sofreram uma valorização 
de 20%; em 2009, sofreram uma desvalori-
zação de 20%, em relação ao seu valor no 
ano anterior; em 2010, se valorizaram em 
20%, em relação ao seu valor em 2009.
De acordo com essas informações, é verda-
de que, nesses três anos, o rendimento per-
centual do investimento foi de:
a) 20%.
b) 18,4%.
c) 18%.
d) 15,2%.
e) 15%. 
8. Um comerciante deu um desconto de 20% 
sobre o preço de venda de uma mercado-
ria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 
20% sobre o preço que pagou pela mesma. 
Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em 
porcentagem, seria:
a) 40% 
b) 45% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
9. Para lotar o estádio na final do campeona-
to planejou-se, inicialmente, distribuir os 
23.000 ingressos em três grupos da seguin-
te forma: 30% seriam vendidos para a tor-
cida organizada local; 10% seriam vendidos 
para a torcida organizada do time rival e os 
restantes seriam vendidos para espectado-
res não filiados às torcidas.
Posteriormente, por motivos de seguran-
ça, os organizadores resolveram que 3.000 
destes ingressos não seriam mais postos à 
venda, cancelando-se então 1.000 ingres-
sos destinados a cada um dos três grupos. 
Determine o percentual de ingressos desti-
nados a torcedores não filiados às torcidas 
após o cancelamento dos 3.000 ingressos.
10. (PRF – 2013)
Considerando os dados apresentados no 
gráfico, julgue os itens seguintes.
O número de acidentes ocorridos em 2008 
foi, pelo menos, 26% maior que o número 
de acidentes ocorridos em 2005.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. C 2. C 3. D 4. D 5. D 6. C 7. D 8. C 9. 64% 10. C
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Capítulo 4
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
1 – DEFINIÇÃO:
A função do 1º grau tem a forma y = ax+b ou f x( )= ax+b , com a≠ 0 .
Exemplos:
y = 2x+20
f(x)= −1
3
x+2
2 – CARACTERÍSTICAS:
A função de 1º grau é uma função bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
 • O domínio e a imagem são o conjunto dos números reais (IR).
 • O gráfico de uma função de 1º grau é sempre uma reta.
 • A função admite inversa.
3 – TIPOS DE FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Afim: é outro nome para a função de 1º grau. A função afim também tem a forma f x( )= ax+b 
com a≠ 0 .
Linear: tem a forma f x( )= ax , com a≠ 0 , ou seja, b = 0. Toda função linear passa pela origem, 
o ponto (0;0).
Identidade: é uma função linear especial que associa o x ao próprio x. É a função f x( )= x . A 
função identidade é a bissetriz dos quadrantes ímpares.
Constante: é uma função que tem a forma f x( )=b , ou seja, a = 0. 
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ATENÇÃO: a função constante NÃO é de 1º grau! O gráfico da função constante também é 
uma reta, porém, horizontal.
OBS: Se x = a então você tem uma reta paralela ao eixo das ordenadas, mas não é também uma 
função do primeiro grau.
4 – OBSERVAÇÕES:
 • Observe que a função f x( )= ax+b , é CRESCENTE quando a > 0 e DECRESCENTE quando 
a < 0.
 • Observe ainda que o ponto em que a reta toca o eixo y corresponde às coordenadas (0;b).
 • Assim chamaremos:
 
f x( )= ax+b⇒ a→ coeficiente	angular
b→ coeficiente	linear
⎧
⎨
⎩⎪
 • Zero da função ou raiz da função:
É o valor de x que torna a função igual a zero (0). Assim teremos:
ax+b= 0 → ax = −b → x = −
b
a
Crescente: a > 0
Decrescente: a < 0
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5 – SISTEMAS DO 1º GRAU:
Considere o seguinte problema:
Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. 
Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:
x + y = 25 (total de arremessos certo)
2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)
Essas equações contém um sistema de equações.
Costuma-se indicar o sistema usando chave.
x+ y = 25
2x+3y = 55
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do 
sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um 
par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
Estudaremos a seguir alguns métodos:
5.1 – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:
x+ y = 4
2x−3y = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Solução:
determinamos o valor de x na 1ª equação.
x = 4 – y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 – y) – 3y= 3 
Resolvemos a equação formada.
8 – 2y – 3y = 3 
8 – 2y – 3y = 3
 – 5y = – 5 => Multiplicamos por – 1
5y = 5
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y = 5
5 
y = 1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + 1 = 4
x = 4 – 1
x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}
5.2 – MÉTODO DA ADIÇÃO:
Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.
Resolva o sistema abaixo:
x+ y =10
x− y = 6
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Solução
Adicionamos membros a membros as equações:
2x = 16
x = 16
2
x = 8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:
8 + y = 10
y = 10 – 8
y = 2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
V = {(8, 2)}
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Questões
6 – EXERCÍCIOS: 
1. O custo de uma corrida de táxi é constituído 
por um valor inicial Q0 fixo, mais um valor 
que varia proporcionalmente à distância 
D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, 
em uma corrida na qual foram percorridos 
3,6km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25 e 
que em outra corrida, de 2,8km a quantia 
cobrada foi de R$ 7,25.
a) Calcule o valor inicial de Q0.
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista ar-
recadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos 
quilômetros seu carro percorreu naquele 
dia?
2. Medições realizadas mostram que a tem-
peratura no interior da Terra aumenta, 
aproximadamente, 3°C a cada 100m de 
profundidade. Num certo local, a 100m de 
profundidade, a temperatura e de 25°C. 
Nessas condições, podemos afirmar que a 
temperatura a 1500m de profundidade e:
a) 70°C 
b) 45°C 
c) 42°C 
d) 60°C 
e) 67°C
3. A poluição atmosférica em metrópoles au-
menta ao longo do dia. Em certo dia, a con-
centração de poluentes no ar, às 8h, era 
de 20 partículas, em cada milhão de par-
tículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em 
cada milhão de partículas. Admitindo que a 
variação de poluentes no ar durante o dia 
é uma função do 1º grau (função afim) no 
tempo, qual o número de partículas poluen-
tes no ar em cada milhão de partículas, às 
10h20min?
a) 45 
b) 50 
c) 55 
d) 60
e) 65
4. Se f e uma função do primeiro grau tal que 
f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é 
igual a:
a) 760 
b) 590 
c) 400 
d) 880 
e) 920 
5. Na figura mostrada tem-se o gráfico da fun-
ção do 1º grau definida por y = ax + b. O va-
lor de a/b é igual a:
a) 3 
b) 2 
c) 3/2 
d) 2/3 
e) 1/2 
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6. (PRF – 2013)
Considerando os dados apresentados no 
gráfico, julgue os itens seguintes.
Considere que, em 2009, tenha sido cons-
truído um modelo linear para a previsão 
de valores futuros do número de acidentes 
ocorridos nas estradas brasileiras. Nesses 
sentido, suponha que o número de aciden-
tes no ano t seja representado pela função 
F (t) = At + B, tal que F(2007) = 129.000 e 
F (2009) = 159.000. Com base nessas infor-
mações e no gráfico apresentado, julgue os 
itens a seguir.
a) A diferença entre a previsão para o nú-
mero de acidentes em 2011 feita pelo refe-
rido modelo linear e o número de acidentes 
ocorridos em 2011 dado no gráfico é supe-
rior a 8.000.
( ) Certo   ( ) Errado
b) O valor da constante A em F(t) é superior 
a 14.500.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. a) R$ 3,75 b) 30 km 2. E 3. C 4. A 5. E 6. a) E b) C
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Capítulo 5
FUNÇÃO QUADRÁTICA
1 – DEFINIÇÃO:
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 – 4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c = 1 
f(x) = x2 – 1, onde a = 1, b = 0 e c = – 1 
f(x) = 2x2 + 3x – 5, onde a = 2, b = 3 e c = – 5 
f(x) = – x2 + 8x, onde a =-1, b = 8 e c = 0 
f(x) = – 4x2, onde a = – 4, b = 0 e c = 0 
2 – GRÁFICO:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada 
parábola.
OBSERVAÇÃO: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos 
sempre que:
 • se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Ponto de mínimo;
 • se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Ponto de máximo;
2.1 – ZEROS OU RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU:
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, os números 
reais x tais que f(x) = 0.
As raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as 
quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
x = −b± b
2 − 4⋅a⋅c
2⋅a
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Temos:
f(x)= 0⇒ax2 +bx+ c = 0⇒ x = −b± b
2 − 4⋅a⋅c
2⋅a
2.2 – CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:
y = f(x) = – x² + 4 y = f(x) = x² – 4
a = – 1 < 0 a = 1 > 0
a > 0 a < 0
 • Quando a concavidade está voltada para cima (a > 0), o vértice representa o valor mínimo 
da função;
 • Quando a concavidade está voltada para baixo (a < 0), o vértice representa o valor máximo;
 • Quando o discriminante (delta = ∆) é igual a zero:
Se Δ =b2 − 4ac = 0 , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a 
zero;
 • Quando o discriminante é maior que zero:
Se Δ =b2 − 4ac > 0 , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da 
função vistos anteriormente).
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 • Quando o discriminante é menor que zero:
Se Δ =b2 − 4ac < 0 , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.
Resumindo:
a < 0 a < 0 a < 0
a > 0 a > 0 a > 0
3 – VÉRTICE DA PARÁBOLA (PONTO DE MÁXIMO OU MÍNIMO):
O vértice da parábola é o ponto mais alto (máximo) se a < 0, ou o ponto mais baixo (mínimo) se 
a > 0 e por isso, pelo fato de ser um ponto na curva, ele possui um par ordenado (Xv, Yv), que é 
calculado da seguinte forma:
Xv = – b / 2a.       Yv = – ∆ / 4a.
4 – RELAÇÕES DE GIRARD (SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES):
Toda equação do 2º grau possui uma relação entre as suas raízes (x’ e x”) e seus coeficientes (a, 
b e c), que conhecemos como soma de produto das raízes, que são:
 • Soma das raízes = S = – b / a.
 • Produto das raízes = P = c / a.
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Questões
5 – EXERCÍCIOS: 
1. Uma fábrica de piscina, no formato de pa-
ralelepípedo, variando o seu comprimento 
em x + 2 metros e largura em x metros e 
profundidade de 3 m. sabendo que o volu-
me dessa piscina é representado por V = lar-
gura x comprimento x profundidade.
a) estabeleça a relação entre o volume 
V(m3) e a medida x(m) da piscina.
b) Qual o volume em m3 para uma piscina 
de 4 metros de largura.
c) Qual deve ser as dimensões para uma 
piscina de volume 360 m3.
2. Um canhão na cidade A atira um projétil 
para atingir um avião que sobrevoa a cida-
de. O projétil percorre uma trajetória des-
crita pela equação h = 10x – 1/2x2 onde h = 
altura do projétil em km e x distância hori-
zontal percorrida pelo projétil, até atingir o 
avião. Com esses dados pede-se:
a) a altura em relação ao solo que o avião 
foi atingido (o avião foi atingido na máxima 
distancia de percurso do projétil). 
b) a que distancia horizontal, em relação ao 
canhão o avião caiu. 
3. Qual a função que representa o gráfico se-
guinte?
a) y = 2x2 + 3x – 9
b) y= – 2x2
c) y = 2x2 – 3x – 9
d) y = – 2x2 – 3x – 9
e) y = 2x2 + 3x + 9 
4. O movimento de um projétil, lançado para 
cima verticalmente, é descrito pela equação 
y = – 40 x2 + 200 x. Onde y é a altura, em 
metros, atingida pelo projétil x segundos 
após o lançamento. A altura máxima atingi-
da e o tempo que esse projétil permanece 
no ar corresponde, respectivamente, a
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0 s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m, 5s
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5. Sabe-se que o custo por unidade de mer-
cadoria produzida de uma empresa é dado 
pela função C(x) = x + (10 000/x) – 160, 
onde C(x) é o custo por unidade, em R$, e x 
é o total de unidades produzidas. Nas con-
dições dadas, o custo total mínimo em que 
a empresa pode operar, em R$, é igual a
a) 3 600,00.
b) 3 800,00.
c) 4 000,00.
d) 4 200,00.
e) 4 400,00. 
6. (PRF – 2013)
Considere que o nível de concentração de 
álcool na corrente sanguínea em g/L, de 
uma pessoa, em função do tempo t em ho-
ras, seja expresso por N= – 0,008 (t² – 35t + 
34). Considere, ainda, que essa pessoa te-
nha começado a ingerir bebida alcoólica a 
partir de t = t 0 (N (t 0)= 0), partindo de um 
estado de sobriedade, e que tenha parado 
de ingerir bebida alcoólica em t = t1, voltan-
do a ficar sóbria em t = t2. Considere, por 
fim, a figura acima, que apresenta o gráfico 
da função N (t) para t E (t0, t2). Com base 
nessas informações e tomando 24,3 como 
valor aproximado 589 , julgue os itens que 
se seguem.
a) O valor de t2 é inferior a 36.
( ) Certo   ( ) Errado
b) O nível de concentração mais alto de ál-
cool na corrente sanguínea da referida pes-
soa ocorreu em t = t1 com t1 > 18 horas.
( ) Certo   ( ) Errado
c) O nível de concentração de álcool na 
corrente sanguínea da pessoa em questão 
foi superior a 1 g/L por pelo menos 23 
horas.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. a) 3x2 + 6x b) 72m3 c) (10, 12, 3) 2. a) 50km b) 10km 3. C 4. C 5. A 6. a) C b) E c) C
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Capítulo 6
EXPONENCIAL
Exponencial resume-se a determinar uma incógnita que se encontra no expoente. O objetivo 
é igualar a base do lado direito da igualdade à base que possui a incógnita. Uma vez igualadas, 
logicamente que podemos igualar os expoentes, determinando o valor da incógnita, assim 
vamos as propriedades:
2⋅2⋅2⋅2= 24
Note que nesse exemplo o número 2 (chamado de fator) se repete 4 vezes em uma multiplicação 
que pode ser representada da forma como vem depois da igualdade, ou seja, apenas com o 
número 2 elevado a 4 onde esse número quatro indica a quantidade de fatores (quantas vezes 
o 2 se repete). 
A essa representação damos o nome de potência. Com isso podemos concluir que, potência 
nada mais é do que a representação de uma multiplicação de um mesmo número em "n" vezes. 
As principais partes de uma potência são:
Chamamos de base o termo que se repete na multiplicação, é o fator da multiplicação. 
Chamamos de expoente ao número que fica elevado, ele indica o número de fatores da 
multiplicação. Nesse caso o número de fatores é "3" ou seja, "5 ∙ 5 ∙ 5" indica que são 3 fatores 
5, que possui como resultado 125. 
A esse resultado damos o nome de potência, ou seja, é o valor final da multiplicação.
OBS: É importante que se conheça bem essas definições e nomenclaturas, assim como, também 
é necessário que se saiba identificar cada uma delas em uma potência, visto que, serão de 
grande ajuda na hora de compreender as demais definições e propriedades.
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1 – PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 
1.1 – Base elevado a expoente par:
Quando temos um número real elevado a um expoente par, o seu resultado será sempre um 
número real positivo. Lembre-se que o expoente diz o número de vezes que a nossa base está 
sendo multiplicada por ela mesma. Observe alguns exemplos abaixo:
OBS: Note que mesmo a base sendo um valor negativo se o expoente for par o resultado será 
sempre um valor positivo.
1.2 – Base elevado a expoente ímpar:
Nesse caso quando temos um número real elevado a um expoente ímpar o resultado da nossa 
potência será um número real que terá como sinal em seu resultado o mesmo sinal da base, ou 
seja, se a base for positiva o resultado será positivo, mas se a base for negativa o resultado da 
potência será negativo. Veja alguns exemplos:
OBS: Nunca se esqueça, nesses casos em que o expoente é ímpar o sinal da potência sempre 
será igual ao sinal da base. 
1.3 – Base elevado a expoente negativo:
Quando temos uma base (um número real qualquer) elevado a um expoente negativo devemos 
seguir um pequeno procedimento, devemos inverter a base da nossa potência e depois 
devemos mudar o sinal do expoente para positivo e então resolvemos normalmente aplicando 
as propriedades 1 ou 2 vistas anteriormente. Veja alguns exemplos: 
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OBS 1: Inverter uma fração nada mais é do que colocar o numerador no lugar do denominador 
e o denominador no lugar do numerador, ou em outras palavras, virar a fração de cabeça para 
baixo. Lembrando que:
OBS 2: Nos casos em que o número não vem em forma de fração, consideramos o denominador 
(o valor que está em baixo) igual a 1, e é por esse motivo que ao invertermos, por exemplo o 
número 3, temos como resultado 1 sobre 3 ou um terço. Nunca se esqueça disso, todo número 
está divido por 1 ou em outras palavras, todo número que não está na forma de fração possui 
denominador igual a 1 e na hora de invertermos esse número o número 1 que antes estava em 
baixo passa a ficar em cima e o número que antes estava em cima passa a ficar em baixo. 
OBS 3: Quando temos uma fração elevada a um expoente, para resolvermos ela, elevamos 
tanto o numerador quanto o denominador ao mesmo expoente da fração e resolvemos 
normalmente cada parte da fração, ou seja, o numerador depois o denominador e em seguida 
simplificamos a fração caso isso seja possível. Observe um exemplo abaixo:
1.4 – Multiplicando potências de mesma base:
Quando temos potências de mesma base sendo multiplicadas entre si devemos repetir a base 
dessas potências e somar todos os expoentes de cada potência, chegando a uma nova potência 
que poderá ser resolvida por alguma das propriedades citadas anteriormente. Veja alguns 
exemplos abaixo:
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1.5 – Dividindo potências de mesma base:
Quando temos potências de mesma base sendo dividas entre si devemos repetir a base dessas 
potências e subtrair o expoente do numerador pelo denominador. Veja alguns exemplos:
1.6 – Potência de base 1:
Toda potência de base "1" elevada a qualquer expoente possui como resultado o próprio valor 
1, veja alguns exemplos abaixo:
1² = 1 ∙ 1 = 1
1¹² = 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1∙ 1 = 1
1.7 – Potência com base elevado a zero:
Todo número elevado a zero é igual a 1 com exceção do zero. Essa é a definição dessa 
propriedade. 
1.8 – Potência de uma potência:
Manter a base e multiplicarmos os expoentes para acharmos a nova potência equivalente. 
1.9 – Multiplicando potências de mesmo expoente:
Quando ocorre de existir uma multiplicação entre potências que não possuem a mesma base, 
mas possuem o mesmo expoente podemos fazer a seguinte ação para resolver de forma mais 
rápida, devemos repetir o expoente e multiplicar as bases para encontrar a nova potência 
equivalente:
1.10 – Dividindo potências de mesmo expoente:
Mesmo procedimento da multiplicação:
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1.11 – Expoente de base zero:
Quando a base de nosso expoente é zero o resultado será sempre zero. 
1.12 – Expoente facionário:
O expoente fracionário é o que se conhece como radiciação, utilizando as seguintes regras:
 • O numerador do expoente será o expoente da base dentro da raiz;
 • O denominador do expoente será o índice da raiz.
a
b
c = abc
4
3
2 = 432 = 642 = 8
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Questões
2 – EXERCÍCIOS:
1. Resolva:
a) 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3x−2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−4x
⋅2−x+4 
b) 1
27
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−x
⋅ 33x( )2 = 13
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x−1
2. Certa substância radioativa desintegra-
-se de modo que, decorrido o tempo t, em 
anos, a quantidade ainda não desintegrada 
da substância é S = S0 . 2
-0,25t,em que S0 re-
presenta a quantidade de substância que 
havia no início. Qual é o valor de t para que 
a metade da quantidade inicial se desinte-
gre? 
3. Suponha que o crescimento de uma cultura 
de bactérias obedece à lei N(t) = m. 2 t/2, na 
qual N representa o número de bactérias no 
momento t, medido em horas. Se, no mo-
mento inicial, essa cultura tinha 200 bacté-
rias, determine o número de bactérias de-
pois de 8 horas. 
4. O produto das soluções da equação 
(43 – x)2 – x = 1 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6 
5. Uma colônia de bactérias A cresce segundo 
a função A t( )= 2. 4t( ) , e uma colônia B cres-
ce segundo a função B t( )= 32. 2t( ) , sendo t o 
tempo em horas. De acordo com essas fun-
ções, imediatamente após um instante t’, o 
número de bactérias da colônia A é maior 
que o número de bactérias da colônia B. Po-
de-se afirmar então que
a) t’ é um número ímpar.
b) t’ é divisível por 3.
c) o dobro de t’ é maior que 7.
d) t’ é maior que 15.
e) t’ é múltiplo de 5.
Gabarito: 1. a) -2/3 b) 1/10 2. 4 anos 3. 3.200 bactérias 4. E 5. C
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Capítulo 7
LOGARITMOS
Aplica-se logaritmo essencialmente para determinar o valor de uma incógnita exponencial na 
qual não podemos determinar pelo método tradicional de exponenciais.
Se temos 32 = 9, teremos que log3 9 = 2.
Esta é a definição de logaritmos.
Ou seja loga N = b.
Condições de existência
“N” não pode ser negativo;
“a” deve ser um número positivo diferente de 1;
Log que não uma base escrita, quer dizer que a sua base é igual a 10.
OBS: É IMPORTANTE SABER QUE: 
Log 2 = 0,3
Log 3 = 0,5
Log 5 = 0,7
Logaritmo neperiano é o logaritmo de base “e”, onde este vale aproximadamente 2,72.
1 – REGRAS DE LOGARITMOS: 
ATENÇÃO! TODAS AS PROPRIENDADES DE POTÊNCIA SERVEM PARA LOGARITMOS!
1ª) 
2ª) 
3ª) 
4ª) 
5ª) 
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6ª ) Troca de Base: 
 
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Questões
2 – EXERCÍCIOS: 
1. Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule 
log
a.b2
c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 9( )
2. Determine a solução da equação: 
log2(x−2)+ log2(x−3)=1+ log2(2x−7) 
3. Em Química, define-se o pH de uma solu-
ção como o logaritmo decimal do inverso da 
respectiva concentração de H3O
+ . O cérebro 
humano contém um líquido cuja concentra-
ção de H3O
+ é 4,8. 10 -8 mol/l. Qual será o pH 
desse líquido?
4. Numa plantação de certa espécie de árvore, 
as medidas aproximadas da altura e do diâ-
metro do tronco, desde o instante em que 
as árvores são plantadas até completarem 
10 anos, são dadas respectivamente pelas 
funções:
altura: H(t) = 1 + (0,8).log2 (t + 1)
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 t/7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da 
altura, em metros, e do diâmetro do tronco, 
em centímetros, das árvores no momento 
em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determi-
ne o diâmetro aproximado do tronco dessa 
árvore, em centímetros. 
5. O gráfico seguinte mostra parte do gráfico 
da função dada por y =k ⋅log3 x , em que 
k∈ℜ . Sabendo que as abscissas de A e D 
são, respectivamente, 3 e 9, determine o 
perímetro do trapézio ABCD.
a) 12+2 10
b) 2+2 10
c) 12+ 10
d) 12+10 2
e) 2+10 2
Gabarito: 1. 9 2. 4 ou 5 3. 7,3 4. a) 1 m e 10 cm b) 20 cm 5. A
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Capítulo 8
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Observe a sequência dos números naturais ímpares:
(1, 3, 5, 7, ...)
Observe que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número 
fixo: 2.
Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.
Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir 
do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão 
aritmética.
Exemplos
(2, 5, 8, 11, 14, ...) é uma PA de razão 3;
(10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma PA de razão -2.
Uma sequência é uma PA quando:
Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão r:
Genericamente: 
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Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de 
seu antecessor.
Classificação de uma PA
Uma PA pode ser:
Classificação Razão Exemplo
Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13, 17, ...) r = 4
Decrescente r < 0 (7, 4, 1, – 2, – 5, ...) r = – 3
Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) r = 0
1 – FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA: 
Note que podemos escrever todos os termos de uma PA em função de a1 e r:
Portanto, o termo geral da PA será dado pela fórmula:
an = a1 + (n−1).r ,n∈!*
an = primeiro termo
a1 = enésimo termo
r = razão
n = número de termos
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2 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA PA:
Considere a PA finita:
(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).
Note que:
5 e 19 são extremos;
7 e 17 são termos equidistantes dos extremos;
9 e 15 são termos equidistantes dos extremos;
11 e 13 são termos equidistantes dos extremos.
Observe:
5 + 19 = 24 → soma dos extremos
7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos 
extremos.
Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:
Vamos considerar a PA finita . Podemos representar por Sn a 
soma dos termos dessa PA.
Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma 
da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos n
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, pois em cada 
soma estão envolvidos dois termos.
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Assim, temos a fórmula da soma dos n termos de uma PA:
Sn = soma dos n termos 
a1 = primeiro termo
an = enésimo termo
n = número de termos
Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma 
PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.
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Questões
3 – EXERCÍCIOS:
1. Uma progressão aritmética de n termos 
tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos 
de ordem ímpar, os de ordem par formarão 
uma progressão
a) aritmética de razão 2
b) aritmética de razão 6
c) aritmética de razão 9
d) geométrica de razão 3
e) geométrica de razão 6
2. Numa progressão aritmética de primeiro 
termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primei-
ros termos é 20/3. O valor de n é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9 
3. Um veículo parte de uma cidade A em di-
reção a uma cidade B, distante 500km. Na 
1ª hora do trajeto ele percorre 20km, na 2ª 
hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim su-
cessivamente. Ao completar a 12ª hora do 
percurso, a distância esse veículo estará de 
B?
a) 95 km
b) 115 km
c) 125 km
d) 135 km
e) 155 km. 
4. Um número triangular é um inteiro da for-
ma, sendo n um inteiro positivo. Considere 
a tabela:
Posição 1 2 3 ... X ...
Triangular 1 3 6 ... 3486 ...
A soma dos algarismos de X é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14 
5. Os números 10/x, x – 3 e x + 3, são os 3 pri-
meiros termos de uma P.A., de termos po-
sitivos, sendo x ≠ 0. O décimo termo desta 
P.A. é igual a:
a) 50
b) 53
c) 54
d) 57
e) 55
6. (PRF – 2013)
Considerando os dados apresentados no 
gráfico, julgue os itens seguintes.
Os valores associados aos anos de 2008, 
2009, 2010 estão em progressão aritmética.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. B 2. A 3. A 4. B 5. E 6. E
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Capítulo 9
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de 
números reais obtida, com exceçãodo primeiro, multiplicando o número anterior por uma 
quantidade fixa q, chamada razão. 
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, 
dividindo entre si dois termos consecutivos. 
Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), temos q = 2. 
1 – CÁLCULO DO TERMO GERAL DE UMA PG:
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do 
primeiro, da seguinte maneira: 
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo 
termo, para qualquer progressão geométrica. 
an = a1 x q
(n – 1) 
2 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG FINITA:
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos 
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q, temos:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q 
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Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q 
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn – a1 + an . q 
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: 
Sn =
an.q−a1
q−1
Se substituirmos an = a1 . qn-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou 
seja: 
Sn= a1.
qn −1
q−1
3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA PG INFINITA:
Considere uma PG ilimitada (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos 
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: 
S∞ =
a1
1−q
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Questões
4 – EXERCÍCIOS:
1. Calcule o valor de x, de modo que a sequên-
cia (3X + 1, 16 – 4X, 33X + 3) seja uma pro-
gressão geométrica.
2. Os frutos de uma árvore, atacados por uma 
moléstia, foram apodrecendo dia após dia, 
segundo os termos de uma progressão ge-
ométrica: no 1.º dia apodreceu 1 fruto; no 
2.º dia apodreceram 3 outros; e, no 3.º dia, 
9 outros, e assim sucessivamente. Se no 7.º 
dia apodreceram os últimos frutos, o núme-
ro de frutos atacados pela moléstia foi
a) 363.
b) 364.
c) 729.
d) 1092.
e) 1093. 
3. Numa plantação de eucaliptos, as árvores 
são atacadas por uma praga, semana após 
semana. De acordo com observações feitas, 
uma árvore adoeceu na primeira semana; 
outras duas, na segunda semana; mais qua-
tro, na terceira semana e, assim por diante, 
até que, na décima semana, praticamente 
toda a plantação ficou doente, exceto sete 
árvores. Pode-se afirmar que o número to-
tal de árvores dessa plantação é
a) menor que 824.
b) igual a 1030.
c) maior que 1502.
d) igual a 1024.
e) igual a 1320. 
4. Considere esta sequência de figuras.
Na figura 1, há 1 triângulo.
Na figura 2, o número de triângulos meno-
res é 4.
Na figura 3, o número de triângulos meno-
res é 16 e assim por diante.
Prosseguindo essa construção de figuras, 
teremos quantos triângulos menores na fi-
gura 4? 
5. Em uma progressão aritmética (P.A.) crescen-
te de dezesseis termos positivos, x é o primei-
ro termo, y é o quarto termo e z é o último 
termo. Sabe-se que x, y e z formam, nessa or-
dem, uma progressão geométrica cuja soma 
é 42 e x.z = 64. Nessas condições, é correto 
afirmar que o décimo termo da P.A. é
a) um múltiplo de 8.
b) um quadrado perfeito.
c) igual à diferença entre o primeiro e o 
décimo primeiro termo da P.A.
d) igual à média aritmética dos extremos 
da P.A.
e) maior do que a soma dos quatro pri-
meiros termos da P.A. 
Gabarito: 1. 1 2. E 3. B 4. 64 5. C
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Capítulo 10
TEORIA DE CONJUNTOS
A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz de agrupar elementos.
Dessa forma, os elementos (que podem ser qualquer coisa: números, pessoas, frutas) são 
indicados por letra minúscula e definidos como um dos componentes do conjunto.
Exemplo: o elemento “a” ou a pessoa “x”
Assim, enquanto os elementos do conjunto são indicados pela letra minúscula, os conjuntos, 
são representados por letras maiúsculas e, normalmente, dentro de chaves ({ }).
Além disso, os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula, por exemplo:
A = {a, e, i, o, u}
1 – DIAGRAMA DE VENN-EULLER:
No modelo de Diagrama de Venn, os conjuntos são representados graficamente:
2 – RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: 
A relação de pertinência é um conceito muito importante na “Teoria dos Conjuntos”.
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) ao determinado conjunto, por 
exemplo:
D = {w, x, y, z}
Logo, w e D (w pertence ao conjunto D) j ɇ D (j não pertence ao conjunto D)
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3 – RELAÇÃO DE INCLUSÃO:
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido (C), não está contido (Ȼ) ou se um 
conjunto contém o outro (Ɔ), por exemplo:
A = {a, e, i, o, u}
B = {a, e, i, o, u, m, n, o}
C = {p, q, r, s, t}
Logo, A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos de A estão em B). 
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os elementos do conjuntos são diferentes). 
B Ɔ A (B contém A, donde os elementos de A estão em B).
4 – CONJUNTO VAZIO:
O conjunto vazio é o conjunto em que não há elementos; é representado por duas chaves { } ou 
pelo símbolo Ø. Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os conjuntos.
5 – UNIÃO, INTERSEÇÃO E DIFERENÇA:
A união dos conjuntos, representada pela letra (U), corresponde a união dos elementos de dois 
conjuntos, por exemplo:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 2, 3, 4}
Logo, AB = {a, e, i, o, u, 1, 2, 3, 4}
A intersecção dos conjuntos, representada pelo símbolo (∩), corresponde aos elementos em 
comum de dois conjuntos, por exemplo:
C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d}
Logo, CD = {b, c, d}
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A diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de elementos que estão no primeiro 
conjunto, e não aparecem no segundo, por exemplo:
A = {a, b, c, d, e} – B = {b, c, d}
Logo, A – B = {a, e}
6 – CONJUNTO COMPLEMENTAR: 
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é determinado 
pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A.
Este conjunto pode ser representado por AC ou CAU ou A .
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (B⊂ A) , a diferença A – B é igual ao 
complemento de B.
Exemplo: Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença 
entre eles.
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao 
conjunto A e que também aparecem ao conjunto B.
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, 
vamos retirar esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B será 
dado por:
A – B = {a, b, c}
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7 – IGUALDADE DOS CONJUNTOS:
Na igualdade dos conjuntos, os elementos de dois conjuntos são idênticos, por exemplo nos 
conjuntos A e B:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 5, 4, 1, 2}
Logo, A = B (A igual a B).
8 – CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Os conjuntos numéricos são formados pelos:
Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Números Inteiros: Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3...}
Números Racionais: Q = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
Números Irracionais: I = {..., 2 , 3 , 7 , 3, 141592…}
Números Reais (R): É A UNIÃO ENTRE O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) E DOS 
IRRACIONAIS (I)
9 – PROPRIEDADES DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO:
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:
 • Propriedade comutativa
 
 
 • Propriedade associativa 
 
 
 • Propriedade distributiva
 
 
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 • Se A está contido em B (A⊂B) :
 
 
 
10 – LEIS DE MORGAN:
Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se:
1º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares:
 
2º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares:
 
11 – TÉCNICA DE RESOLUÇÃO DE CONJUNTOS:
1 – Listar os dados;
2 – Inserir o ponto de maior intersecção, o nada e o total;
3 – Inserir os valores de menor intersecção, subtraindo-os do valor da maior intersecção;
4 – Inserir os valores exclusivos, subtraindo-os das intersecções.
OBS1.: Somente não serão subtraídos os valores que possuírem pelo menos uma das seguintes 
palavras: SÓ, SOMENTE OU APENAS.
OBS2.: E = INTERSECÇÃO
 OU = UNIÃO
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Questões
12 – EXERCÍCIOS:
1. Sejam x e y números tais que os conjuntos 
{0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então podemos 
afirmar que:
a) a = 0 e y = 5
b) x + y = 7
c) x = 0 e y = 1
d) x + 2y = 7
e) x = y 
2. Sejam A, B e C conjuntos de números intei-
ros, tais que A tem 8 elementos, B tem 4 
elementos, C tem 7 elementos e A U B U C 
tem 16 elementos. Então, o número máxi-
mo de elementos que o conjunto D = (A ∩ 
B) U (B ∩ C) pode ter é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4 
3. Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
I. Ø ∈ U e n (U) = 10
II. Ø ⊂ U e n (U) = 10
III. 5 ∈ U e {5} C U
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira 
(s):
a) apenas I e III.
b) apenas II e IV
c) apenas II e III.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações. 
4. 
deficiências 
apresentadas
fração de 
candidatos com 
essa deficiência
somente em física 1/12
somente em 
matemática 1/10
somente em química 1/16
somente em física e 
matemática 1/6
somente em física e 
química 1/8
matemática 4/9
física 7/16
Um treinamento relativo às técnicas cientí-
ficas de investigação está sendo preparado 
para um grupo de 720 policiais pré-sele-
cionados. Para um melhor aproveitamento 
desse treinamento por parte dos policiais, 
foi realizada uma avaliação para identifi-
car as suas deficiências em conhecimentos 
básicos de matemática, física e química, a 
fim de que sejam ministrados cursos de ni-
velamento antes do treinamento. Todos os 
policiais que apresentaram deficiências de-
verão frequentar os cursos de nivelamento 
nas respectivas áreas. A tabela acima mos-
tra as frações dos 720 policiais que apresen-
taram deficiências em uma ou mais dessas 
áreas básicas.
Com base nessas informações, julgue o item 
seguinte.
Exatamente 128 policiais pré-selecionados 
para o treinamento possuem deficiência 
tanto em matemática quanto em química, 
devendo por consequência frequentar os 
respectivos cursos de nivelamento.
( ) Certo   ( ) Errado 
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5. (PF) 
Em uma página da Polícia Federal, na In-
ternet, é possível denunciar crimes contra 
os direitos humanos. Esses crimes incluem 
o tráfico de pessoas — aliciamento de ho-
mens, mulheres e crianças para exploração 
sexual — e a pornografia infantil — envol-
vimento de menores de 18 anos de idade 
em atividades sexuais explícitas, reais ou si-
muladas, ou exibição dos órgãos genitais do 
menor para fins sexuais.
Com referência a essa situação hipotética e 
considerando que, após a análise de 100 de 
núncias, tenha-se constatado que 30 delas 
se enquadravam como tráfico de pessoas e 
como pornografia infantil; outras 30 não se 
enquadravam em nenhum desses dois cri-
mes e que, em relação a 60 dessas denún-
cias, havia apenas a certeza de que se tra-
tava de pornografia infantil, julgue os itens 
subsequentes, acerca dessas 100 denúncias 
analisadas.
a) Dez denúncias foram classificadas apenas 
como crime de tráfico de pessoas.
( ) Certo   ( ) Errado 
b) Os crimes de tráfico de pessoas foram 
mais denunciados que os de pornografia in-
fantil.
( ) Certo   ( ) Errado
Gabarito: 1. B 2. C 3. C 4. C 5. a) C b) E
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Capítulo 11
GEOMETRIA
1 – ÁREA E PERÍMETRO: 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas de 
alguma figura.
Veja abaixo o significado de cada conceito:
 • Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.
 • Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). Já 
o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados (l).
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos encontrar 
o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado 
somamos as medidas dos quatro lados.
Na Geometria Espacial, que inclui os objetos tridimensionais, temos o conceito de área (área da 
base, área da lateral, área total) e o de volume.
O volume é determinado pela multiplicação da altura pela largura e pelo comprimento. Note 
que as figuras planas não possuem volume.
2 – ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS: 
2.1 – Triângulo: figura fechada e plana formado por três lados.
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OBS.: Área do Triângulo Equilátero:
O triângulo equilátero, também chamado de equiângulo, é um tipo de triângulo que possui 
todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).
Neste tipo de triângulo, quando conhecemos apenas a medida do lado, podemos usar o 
teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.
A altura, neste caso, o divide em outros dois triângulos congruentes. Considerando um desses 
triângulos e que seus lados são L, h (altura) e L/2 (o lado relativo a altura fica dividido ao meio), 
ficamos com:
Assim, substituindo o valor encontrado para a altura na fórmula da área, temos:
2.2 – Retângulo: figura fechada e plana formada por quatro lados. Dois 
deles são congruentes e os outros dois também.
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2.3 – Quadrado: figura fechada e plana formada por quatro lados 
congruentes (possuem a mesma medida).
2.4 – Trapézio: figura plana e fechada que possui dois lados e bases paralelas, 
onde uma é maior e outra menor.
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2.5 – Losango: figura plana e fechada composta de quatro lados. Essa figura 
apresenta lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.
2.6 – Círculo: figura plana e fechada limitada por uma linha curva chamada 
de circunferência.
Atenção!
π: constante de valor 3,14
r: raio (distância entre o centro e a extremidade)
P = perímetro = C = comprimento da circunferência.
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3 – VOLUME:
3.1 – VOLUME DO PRISMA:
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:
V = Ab.h
Ab: área da base
h: altura
3.2 – VOLUME DO CILINDRO:
O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):
      V = Ab.h ou V = π.r2.h
onde:
V: volume
Ab: área da base
π (Pi): 3,14
r: raio
h: altura
3.3 – VOLUME DA PIRÂMIDE:
Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a expressão:
V=1/3 Ab.h
Onde:
Ab: Área da base
h: altura
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3.4 – VOLUME DO CONE:
O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura, calculado pela 
seguinte fórmula:
V = 1/3 п.r2. h
onde:
V = volume
п = 3,14
r: raio
h: altura
3.5 – VOLUME DA ESFERA:
Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula:
   Ve = 4.п.r 3/3
onde:
Ve: volume da esfera
П (Pi): 3,14
r: raio
3.5.1 – ÁREA SUPERFICIAL DA ESFERA: 
Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula:
Ase = 4.п.r2
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Questões
4 – EXERCÍCIOS: