Lista Movimento rotacional, momento de Inércia, momento angular e torque - Parte 1

Prévia do material em texto

DEFIS - ICEB - UFOP
3a Lista de Exerćıcios
Movimento rotacional, momento de inércia,
momento angular e torque
1. Uma criança está empurrando um carrossel. O deslo-
camento angular varia com o tempo de acordo com a
relação θ(t) = γt + βt3, em que γ = 0, 4 rad/s e
β = 0, 012 rad/s3. (a) Calcule a velocidade angular do
carrossel em função do tempo. (b) Qual é o valor da
velocidade angular inicial?
2. As lâminas de um ventilador giram com velocidade an-
gular dada por ω(t) = γ − βt2, em que γ = 5 rad/s e
β = 0, 8 rad/s3. (a) Calcule a aceleração angular em
função do tempo. (b) Calcule a aceleração angular ins-
tantânea para t=3 s e a aceleração angular média para o
intervalo de tempo de t = 0 s a t = 3,0 s.
3. Uma roda gira com velocidade angular inicial ω0 e sofre
uma aceleração angular dada por α(t) = 3At2 − 4Bt,
sendo t a variável de tempo e A e B constantes positivas.
Escreva as equações de (a) velocidade angular da roda e
(b) deslocamento angular, em função do tempo para um
inseto pousado nessa roda.
4. Uma roda de raio rA=10 cm está acoplada por uma cor-
reia a uma roda de raio rC= 25 cm. A roda A au-
menta sua velocidade a uma taxa constante de 1,6 rad/s2.
Determine o tempo necessário, a partir do repouso,
para que a roda C atinja uma velocidade rotacional de
100 rev/min. Suponha que não haja deslizamento na
correia.
5. A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda
em rotação é dada por θ(t) = 2 + 4t2 + 2t3, com θ em
radianos e t em segundos. (a) No instante t=0, calcule
a posição angular e a velocidade angular. b) No instante
t = 4, 0, calcule a posição angular e a velocidade angular.
(c) Calcule a velocidade média entre os instantes t =0 e
t = 4. (d) Calcule a aceleração angular em t = 2, 0 e
diga se a aceleração angular é constante.
6. As massas e as coordenadas (x, y) de quatro part́ıculas
são as seguintes: 50 g , (2 cm, 2 cm); 25 g, (0 cm, 4
cm); 25 g , (-3 cm,-3 cm); 30 g (-2 cm, 4 cm). Qual é
o momento de inércia deste conjunto em relação ao (a)
eixo x; (b) eixo y e (c) eixo z?
7. Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma
energia cinética de 24,4 kJ quando gira a uma velocidade
de 602 voltas por minuto
8. Determine o momento de inércia de uma régua de um
metro de comprimento e massa de 0,56 kg, em torno de
um eixo perpendicular à régua e passando pela marca de
20 cm (Trate a régua como uma barra fina).
9. Cada uma das três lâminas da hélice de um helicóptero
tem 5,20 m de comprimento e 240 kg de massa. O rotor
gira a 350 rev/min.(a) Qual o momento de inércia I do
conjunto em relação ao eixo de rotação? (cada lâmina
pode ser considerada um bastão delgado). (b) Qual a
energia cinética de rotação?
10. Um astronauta está sendo testado em uma centŕıfuga,
que consiste de uma cabine, sustentada por uma haste
ŕıgida, girante, de comprimento 10 m e massa despreźıvel.
O conjunto cabine-homem tem massa igual a 120 kg e
gira de acordo com θ = 0, 10t2, onde t é dado em segun-
dos e θ em radianos. (a) Calcule o momento de inércia
associado ao sistema, a velocidade angular em t = 5, 0 s
e o momento angular em t = 5, 0 s. (b) Calcule o traba-
lho realizado pelo motor da centŕıfuga nos primeiros 10 s,
sabendo que, no instante inicial ela parte do repouso?
11. Duas part́ıculas de massa m estão unidas uma a outra
e a um eixo de rotação por duas hastes, cada uma de
comprimento L e massa M . (a) Obtenha uma expressão
algébrica para a momento de inércia do conjunto em torno
de O; (b) Calcule a força externa que deve ser aplicada na
extremidade oposta a O para manter a barra em equiĺıbrio
horizontal (não esqueça as forças peso) (c) Após essa
força ser removida, o sistema começa girar. Calcule a
aceleração e velocidade angulares do sistema quando a
barra atinge a posição vertical (em relação ao solo).
12. Um gato (2m) dorme em uma tábua (m) de comprimento
L presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta
em uma posição de 3/4L. (a) Calcule a tração em cada
barbante. (aproxime o gato a um ponto) O gato então so-
nha que está andando sobre a tabua e no instante que ele
atinge uma das extremidades o barbante daquela extremi-
dade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra ex-
tremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. (b)
Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente
no instante que a corda arrebenta. ICM = mL2/12 para
uma tábua de comprimento L girando com eixo no CM .
(obs: O gato acordou assustado, mas não se feriu... não
desta vez!!)
13. Uma pessoa faz uma bola de tênis presa por um fio percor-
rer um ćırculo horizontal (de modo que o eixo de rotação
seja vertical). Em um determinado momento (indicado
na figura) a bola recebe um forte impulso vertical para
baixo. Em que sentido o eixo de rotação sofre inclinação
após o impulso?
14. Qual é o torque em relação à origem sobre a part́ıcula
localizada em x=1,5 m, y=-2,0 m e z=1,6 m devido à
força F = (3, 5̂ı − 2, 4̂ + 4, 3k̂) N?
1
DEFIS - ICEB - UFOP
15. Uma part��cula est�a localizada emr = 0 ; 54̂� � 0; 36̂� +
0; 85̂k) m. Uma forc�a constante de intensidade 2,6 N atua
sobre a part��cula. Encontre as componentes do torque
em relac�~ao �a origem quando a forc�a atua no (a) sentido
positivo dex e no (b) sentido negativo dez.
16. Voĉe est�a usando uma chave de boca para tentar despren-
der uma porca enferrujada. Quais das con�gurac�~oes mos-
tradas abaixo�e a mais efetiva para realizar esta tarefa?
Liste as seguintes con�gurac�~oes em ordem decrescente de
e�ci ência.
17. Calcule o torque (intensidade, direc�~ao e sentido) em torno
de um ponto O devido �a forc�a F em cada uma das
situac�~oes esquematizadas abaixo. Considere o compri-
mento da haste igual a 4 m e a intensidade da forc�a igual
a 10 N.
18. Tr̂es forc�as est~ao aplicadas em um cilindro que pode gi-
rar em torno de um eixo �xo passando pelo seu centro.
Sabendo queR1 = 12 cm, R2 = 5 cm, F1 = 6 N e
F2 = 4 N, (a) qual deve ser o m�odulo deF3 de forma
que o cilindro n~ao gire? Agora, suponha que a massa
do cilindro �e de 2 kg e queF3 = 2 N. (b) Determine
o m�odulo, a direc�~ao e o sentido do vetor acelerac�~ao do
cilindro.
19. Um pequeno objeto, cuja massa�e de 1,3 kg, est�a preso
a uma das extremidades de uma barra leve de 0,78 m de
comprimento. O sistema gira num c��rculo horizontal em
torno da outra extremidade da barra, a 5000 rev/min. (a)
Determine o momento de in�ercia do sistema em torno do
eixo de rotac�~ao. (b) A resist̂encia do ar exerce uma forc�a
de 2; 3 � 10� 2 N sobre o objeto, em direc�~ao oposta a do
seu movimento. Que torque deve ser aplicado ao sistema
para mant̂e-lo girando com velocidade constante? (c)
Se n~ao houver essa forc�a qual ser�a a desacelerac�~ao do
sistema?
20. Um part��cula de 0,2 kg desliza sem atrito sobre uma su-
perf��cie de per�l circular como mostra a �gura abaixo.
Em um determinado instante a part��cula encontra-se no
pontoA, sendor A = ( � 0; 4̂�+0 ; 3̂�) m o vetor posic�~ao em
relac�~ao ao pontoO no centro do c��rculo. Neste instante
sua velocidade�e vA = (1 ; 3̂� + 1 ; 8̂�) m/s. Considerando
B um ponto localizado sobre a intersec�~ao da superf��cie
e o eixoy e g = 10 �̂ m/s2, identi�que se as sentenc�as
abaixo s~ao verdadeiras ou falsas.
(a) O m�odulo do momento angular orbital (em relac�~ao
ao ponto O) da part��cula quando encontra-se no
ponto A �e de 0,22 kg�m2/s.
(b) O m�odulo do torque (em relac�~ao ao pontoO) pro-
duzido pela forc�a peso sobre a part��cula quando
encontra-se no pontoA �e de 0,8 N.m.
(c) Quando a part��cula encontra-se emB , o torque de-
vido �a forc�a peso em relac�~ao ao pontoO �e de 1 N.m.
(d) Em relac�~ao ao pontoO, durante todo o movimento
da part��cula o torque produzido pela forc�a normal
(sempre na direc�~ao perpendicular�a superf��cie de
contato) �e nulo.
(e) Se a velocidade da part��cula no pontoB �e devB =
2; 5̂� m/s, o m�odulo do momento angular orbital da
part��cula neste ponto�e de 1,25 kg.m2/s.
21. Duas rodas de bicicleta,com cubos centrais iguais e mas-
sas de 1 kg cada uma, comec�am a girar partindo do re-
pouso, sendo que as forc�as s~ao aplicadas como represen-
tado abaixo. Suponha que os cubos e os raios n~ao tenham
massa. Assim, a momento de in�ercia �e I = mR2. Para
2
DEFIS - ICEB - UFOP
que as acelerac�~oes sejam iguais, qual deve ser o valor de
F2?
22. (a) Calcule o m�odulo do momento angular da Terra
considerando-a uma part��cula que descreve uma�orbita em
volta do Sol. A massa da Terra�e igual a5; 97� 1024 kg.
Suponha que ela descreva um movimento circular uni-
forme com raio de1; 50 � 1011 m e que sua velocidade
orbital seja de2; 98 � 104 m/s. (b) Calcule o m�odulo do
momento angular da Terra devido a sua rotac�~ao em torno
do eixo que liga o Polo Norte com o Polo Sul. Considere
a Terra uma esfera macic�a e homogênea (O raio m�edio
da Terra �e de 6371 km).
23. Uma part��cula com massa de 14 g move-se com ve-
locidade constante cuja intensidade�e de 380 m/s. A
part��cula, movendo-se em movimento retil��neo, passa a
12 cm da origem. Calcule o momento angular da part��cula
em relac�~ao �a origem considerandor e v perpendiculares.
24. Ache o m�odulo do momento angular do ponteiro dos se-
gundos de um rel�ogio em torno do eixo que passa pelo
centro de massa da face frontal do rel�ogio. O ponteiro
do rel�ogio possui comprimento de 15 cm e massa de 6 g.
Considere-o uma barra delgada girando com velocidade
angular constante.
25. Um disco de massaM e raioR gira com velocidade angu-
lar ! em torno de um eixo que passa na margem do disco
e �e perpendicular ao mesmo. A magnitude de momento
angular�e (a) 14 MR
2! 2, (b) 12 MR
2! 2, (c) 32 MR
2! 2, (d)
1
4 MR
2! , (e) 12 MR
2! ou (f) 32 MR
2! ?
26. Uma mergulhadora pula de um trampolim com brac�os es-
tendidos verticalmente para cima e pernas esticadas para
baixo, fornecendo-lhe um momento de in�ercia em torno
do eixo de rotac�~ao igual a 18 kg.m2. Ela ent~ao se agacha
formando uma "pequena bola", fazendo seu momento de
in�ercia diminuir para 3,6 kg.m2. Quando est�a agachada
ela realiza uma volta completa em 1 s. Caso ela n~ao se
agachasse, quantas voltas faria no intervalo de tempo de
1,5 s desde o trampolim at�e atingir a �agua?
27. Dois patinadores de mesma massa m movem-se um em
relac�~ao ao outro com velocidades de mesmo m�odulov0 e
sentidos opostos. A distância entre eles�e d. Quando pas-
sam um pelo outro, se d~ao as m~aos. Na �gura abaixo,
�a esquerda, vemos a situac�~ao inicial, e �a esquerda ve-
mos representado o instante imediatamente ao instante
da "colis~ao", no qual os dois patinadores se d~ao as m~aos.
(a)Calcule a velocidade angular de rotac�~ao dos dois pati-
nadores em torno do centro de massa.
28. Duas patinadoras, cada uma com 55 kg, se aproximam
uma da outra ao longo de trajet�orias paralelas separadas
por 4 m, de acordo com a �gura. Elas têm velocidades
opostas de 1,5 m/s cada uma. Uma das patinadoras car-
rega uma barra longa, de massa desprez��vel, segurando-
a em uma extremidade e a outra patinadora se agarra
nesta barra quando a primeira passa por ela. As patina-
doras ent~ao passam a girar em torno do centro da baliza.
Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo�e des-
prez��vel. Calcule: (a) a velocidade angular das patinado-
ras e o momento angular total do sistema. Em seguida,
as patinadoras se puxam ao longo da barra at�e �carem
separadas por 1,0 m. Qual seria (b) a nova velocidade
angular do sistema e (c) a raz~ao entre a energia cin�etica
�nal e inicial?
29. Um proj�etil de massa m move-se para a direita com uma
velocidade escalarvi (ver a �gura a). O proj�etil bate e
�ca preso na extremidade de uma haste �xa de massa
M , comprimentod, articulada em torno de um eixo per-
pendicular�a p�agina passando porO (sistema em plano
horizontal, n~ao sujeito a gravidade).
(a) Qual �e o momento angular do sistema antes da co-
lis~ao em relac�~ao ao eixo que passa porO?
(b) Qual �e a momento de in�ercia do sistema em torno
de um eixo que passa porO depois que o proj�etil
�ca preso na haste?
(c) Se a velocidade angular do sistema ap�os a colis~ao �e
! , qual �e o seu momento angular ap�os a colis~ao?
(d) Encontre a velocidade angular! ap�os a colis~ao em
termos das quantidades fornecidas.
(e) Qual �e a energia cin�etica do sistema antes e de-
pois da colis~ao? Determine a variac�~ao fracion�aria
de energia cin�etica devida�a colis~ao.
30. Inicialmente, uma haste de massam e comprimentoL se
move sem rotac�~ao em uma superf��cie sem atrito em uma
direc�~ao perpendicular�a haste. A velocidade da haste�e
v. No tempo t = 0 , uma extremidade da haste colide
\enrosca" em um objeto �xoA e inicia um movimento
de rotac�~ao em torno deA. Logo ap�os a colis~ao, a haste
ainda �e paralela�a posic�~ao antes da colis~ao e o centro da
haste ainda se move na mesma direc�~ao que antes. Mas
a velocidade do centro da haste�e reduzida para3v=4.
(a) Encontre a velocidade angular! da haste logo ap�os
a colis~ao. (Dica: o momento angular total sobre o ponto
3
DEFIS - ICEB - UFOP
de colis~ao A �e conservado durante a colis~ao). (b) Encon-
tre a energia cin�etica total da haste ap�os a colis~ao. (c)
Encontre as velocidades das duas extremidades da haste
logo ap�os a colis~ao.
31. Uma haste r��gida de comprimentod e massa m est�a dei-
tada sobre uma mesa horizontal sem atrito e articulada no
pontoP em uma extremidade (conforme a �gura abaixo).
Um objeto pontual com mesma massam est�a indo para
a direita com a velocidadevi . Ele colide com a haste no
ponto m�edio da haste e rebate para tr�as com velocidade
vf = (1 =7)vi . Ap�os a colis~ao, a haste gira no sentido
hor�ario sobre o seu ponto de articulac�~ao P com veloci-
dade angular! f . O momento de in�ercia de uma haste
sobre o centro de massa�e I cm = (1 =12)md2. (a)Calcule
a velocidade angular da barra. (b)Calcule as energias
cin�eticas inicial e �nal. Que tipo de colis~ao se trata?
32. Uma bailarina gira ao redor do eixo do corpo (man-
tido na vertical), com os brac�os abertos com velocidade
! 0=3/2 rev/s. A momento de in�ercia inicial e �nal s~ao
I 0 = I e I f = (3 =5)I . (1 rev=2� rad)
(a) Qual a velocidade dessa bailarina quando aproxima
os brac�os do eixo do corpo? Qual princ��pio de
conservac�~ao est�a envolvido nesse calculo?
(b) Calcule a variac�~ao de energia cin�etica do sistema
(em Joules) e justi�que uma poss��vel alterac�~ao.
(c) Por que a inercia rotacional muda?
33. Em uma demonstrac�~ao de patinac�~ao no gelo, Pin�oquio
gira ao redor do eixo do corpo (mantido na vertical), com
os brac�os abertos com velocidade! 0=1,5 rev/s. Os mo-
mentos angulares inicial e �nal s~ao I 0 = I e I f = (2 =3)I
(1 rev=2� rad).
(a) Qual o valor da velocidade angular de Pin�oquio
quando ele aproxima os brac�os do eixo do corpo?
Qual princ��pio de conservac�~ao est�a envolvido nesse
problema? Compare as velocidades
(b) Calcule a variac�~ao de energia cin�etica do sistema
(em Joules). E explique o resultado.
34. Duas bolas de massam e 2m est~ao conectadas por uma
haste de comprimentoL . A massa da haste�e t~ao pe-
quena que pode ser desprezada e o tamanho das bolas
tamb�em. Vamos assumir que o centro da haste esteja
�xo e o sistema pode girar em um plano vertical sem
atrito.
(a) Encontre a momento de in�ercia do sistema em
relac�~ao ao eixo de rotac�~ao.
(b) Encontre a acelerac�~ao angular instant̂anea induzida
pela gravidade quando ôangulo entre a haste e a
linha vertical�e de 15o.
(c) Se a haste iniciasse seu movimento na posic�~ao ho-
rizontal qual seria a velocidade angular quando ela
atinge a posic�~ao vertical.
(d) Para manter a haste na posic�~ao horizontal uma forc�a
�e aplicada verticalmente a esfera2m, quanto vale
essa forc�a?
35. Na �gura abaixo um bloco tem massaM = 500 g, o
outro apresenta massam = 460 g, e a roldana que est�a
montada em mancais horizontais sem atrito, tem um raio
de 5 cm e massaMP = 100 g. O sistema�e solto do
repouso, o bloco mais pesado cai 75 cm em 5 s (sem que
a corda escorregue na roldana).
(a) Qual o m�odulo da acelerac�~ao dos blocos? (useduas
casa decimais)
(b) Qual a trac�~ao de sustentac�~ao do bloco mais pesado
e do bloco mais leve?
(c) Qual a intensidade da acelerac�~ao angular da rol-
dana?
36. Uma roldana�e composta por um disco de pl�astico de raio
R e massa2m no n�ucleo de um aro de ac�o de raiosR e
massam. Em uma m�aquina de Atwood uma corda ideal
(inel�astica e de massa desprez��vel) passa em torno da
roldana ligando dois pratos de massa2m e 4m. O prato
4
DEFIS - ICEB - UFOP
mais leve est�a inicialmente no ch~ao quando o sistema�e
liberado a partir repouso. A acelerac�~ao da gravidade�e g.
(a) Calcule a energia mecânica do sistema no repouso e
tamb�em no instante em que o prato atinge o solo.
(b) Calcule a velocidade do prato mais pesado quando
ele atinge o solo (h�a v�arias maneiras de resolver
isso).
(c) Calcule a acelerac�~ao dos pratos.
37. Considere uma polia de massamp e raio R que tenha
um momento de in�ercia (1=2)mpR2. A polia �e livre para
girar sobre um piv̂o sem atrito posicionado no seu centro.
Uma corda sem massa�e enrolada em torno da polia e
a outra extremidade da corda est�a presa a um bloco de
massa m que inicialmente�e mantido em repouso em um
plano inclinado em um̂angulo � em relac�~ao �a horizon-
tal e sem atrito. A acelerac�~ao descendente da gravidade
�e g. O bloco �e liberado do repouso. Escreva suas res-
postas usando algumas ou todas das seguintes vari�aveis:
R, m, g, d, mp e � . (a)Calcule a acelerac�~ao do bloco.
(b)Quanto tempo leva o bloco para mover uma distância
d abaixo do plano inclinado?
38. Um mergulhador de massaM est�a em p�e sobre um tram-
polim uniforme de comprimentoL , cujo a massa�e m. O
trampolim est�a preso por dois pedestais distantes porl ,
como mostra a �gura. Encontre a express~ao para a tens~ao
(ou compress~ao) em cada um dos pedestais (F1 e F2).
Desenhe o sistema com o diagrama de forc�as. Por �m,
calcule os valores deF1 e F2 considerandoM = 5 kg,
L = 4 ; 48 m, m = 60 kg, l = 1 ; 55 m e g = 9 ; 8 m/s2.
39. A �gura a seguir mostra um veleiro de 25 p�es. O mastro�e
uma haste (4,88 m) uniforme de 120 kg que�e suportada
no conv�es e mantido hasteado pelos �os como mostrado.
A tens~ao no �o que leva a proa�e TF =1000 N. Determine
o Tens~ao no �o que leva popaTB e a forc�a normal que
o conv�es exerce no mastroFD . (Suponha que a forc�a de
atrito que o conv�es exerce no mastro seja insigni�cante.)
40. Uma tabua uniforme deL = 10; 0 m e massaM = 300 kg
se estende sobre uma borda como na �gura abaixo. A
tabua n~ao est�a �xa, mas simplesmente repousa na su-
perf��cie. Um alunom = 60,0 kg pretende posicionar a
tabua para que ele possa caminhar at�e a extremidade �-
nal. A qual dist̂ancia m�axima a t�abua pode prolongar-se
ap�os o �nal da borda e ainda permitir que o aluno realize
essa fac�anha?
41. Um cilindro de massaM �e suportado por uma calha sem
atrito formada por um Plano inclinado a 30o �a horizontal�a
esquerda e um inclinado a 60o �a direita Como mostrado
na �gura abaixo. Encontre a forc�a exercida por cada
plano no cilindro.
42. Uma escada de massa desprez��vel e de comprimentoL
se apoia contra uma parede lisa fazendo umângulo de�
com o ch~ao horizontal. O coe�ciente de atrito entre a
escada e o ch~ao �e � s. Um homem escala a escada. Qual
altura ele pode alcanc�ar antes que a escada deslize?
43. O comprimento de uma barra de peso 200 N�e 3 m, e
sobre ela se apoia um bloco cujo peso�e 300 N. O �o,
que faz umângulo � = 30o, pode suportar uma tens~ao
5
DEFIS - ICEB - UFOP
máxima de 500 N. (a) Calcule a maior distância x para
que o fio não arrebente. (b) Supondo que o peso do bloco
esteja localizado neste valor máximo de x, quais são as
componentes vertical e horizontal da força exercida pela
barra sobre o pino?
44. Uma haste uniforme de comprimento L = 2, 0 m e massa
m = 4, 0 kg é articulada a uma parede e suspensa na
outra extremidade por um cabo fazendo um ângulo de
30o com a haste (veja figura). Suponha que o cabo te-
nha massa despreźıvel. Existe uma força de contato (Fa)
que atua no contato da parede e da haste (Usar θ para
representar o ângulo entre essa força e a haste). Calcule:
(a) a magnitude da tensão no cabo? (b) Qual o ângulo
que a força do pivô faz com o feixe em graus? (c) Qual
é a magnitude da força do pivô?
45. Uma corrente flex́ıvel de peso W está suspensa entre dois
pontos fixos, A e B, ao mesmo ńıvel (ver figura). Encon-
tre (a) a força exercida pela corrente em cada extremidade
e (b) a tensão no ponto mais baixo da corrente.
46. Do alto de um plano inclinado (inclinação θ) são abando-
nados dois elementos; (A) uma esfera de raio R e massa
M e (B) uma casca ciĺındrica também de massa M e
raio R. (a) Qual a velocidade com que cada uma atinge
a base do plano? Compare as velocidades. (b) Qual é o
tempo gasto por cada elemento para atingir a base? O
tempo depende de quais variáveis?
47. Uma esfera sólida de 3,6 kg rola para cima de um plano
inclinado de 30o em relação à horizontal. Na base do
plano, o centro de massa da esfera possui uma velocidade
igual a 4,8 m/s. (a) Calcule a energia cinética da esfera na
base do plano. (b) Calcule a energia dissipada no plano
inclinado sabendo que a esfera percorre 2 metros sobre
essa superf́ıcie. (c) Se não houvesse atrito, qual seria a
distância percorrida pela esfera sobre o plano inclinado?
48. Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem massa
M . Duas cordas são enroladas em torno do cilindro, perto
de cada borda, e as pontas das cordas são presas a gan-
chos no teto. O cilindro é mantido na horizontal com
as duas cordas exatamente verticais e então abandonado.
Ache (a) a tração em cada corda enquanto elas se desen-
rolam e (b) a aceleração linear do cilindro enquanto ele
cai. (dado: Icilindro = (1/2)mR2)
49. Um ioiô tem inércia à rotação de 950 g.cm2 e uma massa
de 120 g. O raio do eixo é igual a 3,2 mm, e o cordão
possui 120 cm de comprimento. O ioiô rola a partir do
repouso para baixo até o fim do cordão. (a) Qual a inten-
sidade da sua aceleração linear? (b) Qual é a tração no
fio? (c) Quanto tempo leva para atingir o fim do cordão?
Ao atingir o fim do cordão qual é a (c) velocidade linear,
(d) energia cinética do sistema?
50. Um ioiô é constrúıdo a partir de dois discos de massa m e
raio R, os quais são unidos por um pequeno eixo ciĺındrico
de massa desprezável e raio b. Enrola-se um fio de massa
despreźıvel em torno do eixo e liberta-se o ioiô na vertical
a partir do repouso. Determine: (a) a aceleração angular
do ioiô. (b) a aceleração do centro de massa do ioiô. (c)
a tensão na corda.
51. O cilindro que está em cima da mesa tem raio 2R e massa
M , a roldana tem raio R e massa M e o bloco suspenso
tem massa M . Liberta-se o sistema a partir do repouso.
Desprezando o atrito no eixo da roldana e supondo que
o cilindro rola sem escorregar, determine a aceleração do
sistema.
52. O “fidget spinner” é um brinquedo, o qual pode ter for-
matos distintos, possui simetria e um excelente rolamento
no centro. O objeto é colocado para girar em torno do
6
DEFIS - ICEB - UFOP
seu centro de massa, sobre uma mesa plana, sendo o mo-
mento de inércia 2500 g.cm2. A velocidade angular inicial
é de 100 rev/s e o objeto leva 2,5 min para parar. (a) Es-
creva as equações horárias de velocidade e deslocamento
(angulares) e calcule a velocidade angular e momento an-
gular em t= 2,0 min; (b) Calcule a energia dissipada pelo
rolamento nos 2 mim iniciais.
7