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NOTAS SOBRE O PÊNDULO SIMPLES
Introdução – A força peso e aceleração da gravidade
O peso é a força da atração gravitacional exercida pela Terra sobre cada corpo. Se
considerarmos a Terra como uma esfera de massa homogénea mT e de raios rT, a força gravitacional
com a qual um corpo de massa m é atraído pela a Terra é direcionada para o centro da Terra e tem
como intensidade:
onde G é a constante de gravitação universal, r é a distância do corpo do centro da Terra e h é a
altura do corpo em relação à superfície da Terra. 
Essa força gera o peso m g⃗ do corpo. Considerando que F⃗=m g⃗ , obtém-se:
 
com r≥rT .
Na verdade, a Terra é um elipsoide de rotação achatado nos polos. Consequentemente, uma
vez que a distância da superfície terrestre do centro da Terra menor é nos polos que no equador, o
valor de g aumenta, indo do equador para os polos. Outra causa de variação da aceleração da
gravidade com latitude é a rotação terrestre. 
Em Goiânia, de acordo com as medições realizadas pelo IBGE, o valor de g é:
g = (9.782028 ± 0.000023) m·s-2 
O pêndulo simples
O pêndulo simples ou pêndulo matemático é um modelo idealizado que consiste em um
ponto de massa m, conectado a um centro de suspensão O por um fio, inextensível e sem massa. O
ponto se movimenta sob a ação exclusiva da força peso, portanto uma das hipóteses fundamental do
modelo é que todos os atritos sejam desprezíveis. Ao deslocar a massa m da posição vertical do
equilíbrio para o ponto P e deixá-la livre (com uma velocidade nula ou com certa velocidade
inicial), a massa se movimenta oscilando ao longo de uma circunferência de raio l, no plano Π
determinado pela linha reta h, passando por O, e pelo ponto P ( confira a figura abaixo).
Definimos um referencial com a origem em O, um eixo direto ao longo do raio de O para P
e o outro, tangencial à trajetória, com o sentido das abcissas curvilíneas positivas (observe a fig.1).
Por definição, a abcissa curvilínea é o comprimento do arco relativo ao ângulo α e é igual a
lα (se o ângulo for expresso em radianos), por isso é positiva se o ângulo α é positivo. No que
segue, sempre assumiremos que os ângulos são positivos, se eles correspondem a rotações no
sentido anti-horário.
Pelas hipóteses feitas, as únicas forças, que atuam sobre m, são o peso m g⃗ e a reação
vincular τ⃗ . Projetamos essas forças ao longo da tangente à trajetória e ao longo do raio:
• A componente tangencial da reação é claramente nula, pois é direcionada ao longo do fio;
• A componente de m g⃗, perpendicular ao fio e tangencial à trajetória, é – mg·senα (o sinal
negativo é devido ao fato da componente tangencial do peso ter sentido contrario ao sentido
da abcissa curvilínea α > 0 e mesmo sentido se α < 0), enquanto a componente radial vale
mg·cosα.
De acordo com o Segundo Princípio da Dinâmica, indicando com ar e ac a aceleração radial
e tangencial, respetivamente, obtém-se: 
Sendo o movimento ao longo de uma trajetória fixada, estamos mais interessados em
resolver a segunda das duas equações diferenciais. Em particular, lembrando que a velocidade,
tangencial é, no nosso caso, a derivada em relação ao tempo da abcissa curvilínea, temos: 
ou seja, 
É evidente que o movimento é independente do valor da massa. Esta equação diferencial é de tipo
transcendente e sua solução não pode ser expressa em termos de funções elementares. Se, no
entanto, α ≪ 1, senα ≃ α em boa aproximação. Por exemplo, se α < 6° = 0.1 rad, 
Neste caso:
Esta equação diferencial de segunda ordem, linear, homogénea, com coeficientes constantes, é
chamada de equação dos movimentos harmónicos porque cada vez que uma equação diferencial é
do tipo:
a solução é a de um movimento harmónico, com período T = 2π/ω e pulsação ω=√k
(isocronísmo). 
Em nosso caso:
 
onde α0 é o ângulo máximo e  é a fase (confira a fig. 2). As constantes α0 e  são determinadas
com base nas condições iniciais, isto é, com base nos valores de α e de derivada de α em relação ao
tempo ao tempo t = 0. De fato: 
Conhecendo o valor de ω e tendo fixado a posição inicial e a velocidade do corpo, é possível
determinar α0 e . Em particular, se a velocidade inicial for nula, logo cos = 0, ou seja,  = π / 2.
Então, α0sin = α0 e a posição inicial αt=0 coincide com a amplitude máxima das oscilações.
O movimento se repete regularmente sempre que o tempo característico T passa. Efetivamente:
Se a aproximação senα ≃ α não for mais válida, é possível demonstrar que o movimento
ainda é periódico, mas o período depende da amplitude das oscilações: 
Se o segundo termo da série for desprezado, o valor de g resulta subestimado:
Para α0 ∼ 10°, esse efeito é aproximadamente de 0,1%. 
Efeito da viscosidade do ar
Supomos até agora que fosse possível ignorar todos os atritos. E se considerarmos a
resistência que o ar proporciona ao movimento do pêndulo? A lei de Stokes nos diz que esta força
viscosa para uma esfera de raio R vale -6πηRv, onde η é o coeficiente de viscosidade do meio, v é a
velocidade da esfera e o sinal negativo é devido ao fato que essa força se opõe ao movimento. Para
pequenas oscilações tem-se:
 
ou seja,
que é a equação de um movimento harmónico amortecido.
É facil mostrar que uma equação diferencial do tipo:
nos casos de amortecimento pequeno (γ < ω0) possui solução:
onde A e  são constantes que são determinadas com base nas condições iniciais, enquanto
ω=√ω02−γ2 . O movimento é pseudo-periódico: a frequência ω das oscilações é menor da
frequência ω0 sem amortecimento, e também a amplitude de oscilação é amortecida pelo termo e -γt
(confira a Fig.3) 
Voltando ao caso do pêndulo:
onde ρ é a densidade da esfera. 
Se a esfera for de alumínio ( ρ = 2,65 x 103 kg m-3) e tiver um raio R = 0,015 m, se a
temperatura for de 20 °C, então o coeficiente η do ar é 1,78 x 10-5 Pa·s, então γ = 6,7 x 10-5 s-1. O
tempo t* necessário porque a amplitude seja reduzida, por exemplo de 10%, obtém-se impondo que
a partir de que obtém-se t* ≈ 26 minutos!!! Quanto ao período, se l ≈ 1 m, ω e ω0 basicamente
coincidem, pois γ2 ≈ 45 x 10-10 s-2.
Em conclusão, a amplitude diminui muito devagar, enquanto o período não é influenciado
na prática pela viscosidade do ar. 
Efeito das dimensões do corpo
Pode-se mostrar que, devido ao tamanho finito do raio do raio R, a relação ente T2 e l é mais
complicada da que foi discutida até agora:
O fator 
introduz uma não-linearidade entre T2 e l, que é mais marcada à medida que l se aproxima de R.
O experimento no laboratório
Para valores fixados de l, medimos 30 vezes a duração de 10 de oscilações para obter T com
incerteza pequena e, sobretudo, para reduzir os efeitos do tempo de resposta do observador que
manuseia o cronometro digital.
É obrigatório medir os períodos de oscilação para pelo menos 3 valores diferentes de l . 
Vale a pena verificar se, para dois valores diferentes de l, o período permanece constante à
medida que o número de oscilações aumenta, fazendo um gráfico T em função de m. O atrito do
ponto de suspensão poderia ser relevante e o aumento do número de oscilações pode levar a uma
redução das incertezas somente aparente.
Após verificar a compatibilidade dos valores de g obtidos para diferentes valores do 
comprimento e dos períodos de oscilação correspondentes, o resultado final da aceleração da
gravidade local deve ser determinado por meio de uma média ponderada.