4 Linearização e Transformadas de Laplace

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Aproximações lineares de sistemas físicos
Transformadas de Laplace 
Prof. Harold Mello
harold.uerj@gmail.com
UERJ
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
Análise de Sistemas Físicos
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Aproximações lineares de sistemas físicos
• A grande maioria dos sistemas físicos é não
linear
• Nesses sistemas, para que a teoria de sistemas
lineares possa ser aplicada, é necessário
linearizar
• Linearizar é a operação que consiste em
aproximar o sistema não linear por um sistema
linear
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Aproximações lineares de sistemas físicos
• Um sistema é dito linear se satisfaz as seguintes
propriedades:
 Aditividade. Se 𝑦1 𝑡 = 𝑆 𝑥1 𝑡 e 𝑦2 𝑡 = 𝑆 𝑥2 𝑡 , então
𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 = 𝑆 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡
 Homogeneidade. Se 𝑦 𝑡 = 𝑆 𝑥 𝑡 , então 𝛼𝑦 𝑡 =
𝑆 𝛼𝑥 𝑡 , para todo ∀𝛼 ∈ ℝ
• As duas propriedades combinadas recebem o nome de
propriedade de superposição.
• O sistema é dito não-linear se a propriedade de
superposição não for verificada.
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Aproximações lineares de sistemas físicos
• Mesmo os chamados “sistemas lineares” são realmente
lineares somente para intervalos limitados de operação.
Ex.: sistema massa-mola-amortecedor é linear enquanto
a massa for submetida a pequenos deslocamentos 𝑦(𝑡)
• O comportamento de sistemas não lineares pode ser
aproximado por meio de um sistema linear equivalente,
em torno de uma região pequena de operação.
• Elementos não lineares podem ser linearizados,
admitindo condições de pequenas variações de sinal.
Ex.: Circuitos lineares equivalentes obtidos para
circuitos eletrônicos e transistores.
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• Uma forma de linearização é desenvolver a função não
linear em uma série de Taylor em torno do ponto de
operação e reter somente o termo linear.
• Os termos desprezados devem ser suficientemente
pequenos, isto é, as variáveis devem se desviar apenas
ligeiramente das condições de operação. Caso contrário, o
resultado não será preciso.
• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma dinâmica não linear. Então, a
expansão desta função em série de Taylor fornece:
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑥=𝑥0
⋅
𝑥 − 𝑥0
1!
+ 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2
𝑥=𝑥0
⋅
𝑥 − 𝑥0
2
2!
+ ⋯
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• A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno
do ponto de operação (𝑥0, 𝑦0), implica que 𝑥 ficará próximo
de 𝑥0. Logo, 𝑥 − 𝑥0 será pequeno e quando elevado a 2, 3,
…, será menor ainda. Assim:
𝑥 − 𝑥0
2
2!
≅ 0,
𝑥 − 𝑥0
3
3!
≅ 0,⋯
• E a equação reduz-se a:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑚 𝑥 − 𝑥0
onde:
𝑦0 = 𝑓(𝑥0) e
𝑚 = 
𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0
é a inclinação da curva no ponto de operação
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• Reescrevendo a equação anterior:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
ou
∆𝑦 = 𝑚∆𝑥
• 𝑦 = 𝑦0 + 𝑚 𝑥 − 𝑥0 é o modelo linear para o sistema não linear
𝑦 = 𝑓(𝑥), próximo do ponto de operação (𝑥0, 𝑦0).
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• Exemplo 1: Sistema não linear massa-mola
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São
Paulo: Editora LTC, 2013.
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• O ponto de operação normal é o ponto de equilíbrio que ocorre
quando a força da mola equilibra a força gravitacional 𝑀𝑔.
• Para a mola não linear, com 𝑓 = 𝑦2, na posição de equilíbrio:
𝑓0 = 𝑀𝑔 → 𝑦0 = 𝑀𝑔
2
• O modelo linear para pequenas variações é:
∆𝑓 = 𝑚∆𝑦
onde 𝑚 = 
𝑑𝑓
𝑑𝑦 𝑦=𝑦0
• Assim, 𝑚 = 2𝑦0
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• Exemplo 2: Sistema pêndulo simples
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo:
Editora LTC, 2013.
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• O torque aplicado à massa é:
𝑇 = 𝑀𝑔𝐿sen𝜃
• A condição de equilíbrio para a massa é 𝜃0 = 0
∘
• A primeira derivada calculada no ponto de equilíbrio fornece
uma aproximação linear:
𝑇 − 𝑇0 ≅ 𝑀𝑔𝐿 
𝜕sen𝜃
𝜕𝜃 𝜃=𝜃0
⋅ 𝜃 − 𝜃0
• No ponto de equilíbrio:
𝑇 = 𝑀𝑔𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃=𝜃0 ⋅ 𝜃 − 𝜃0
= 𝑀𝑔𝐿𝜃 (aproximação razoável para −𝜋/4 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/4)
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• Considere agora o sistema não-linear cuja saída 𝑦 é uma
função de duas entradas, 𝑥1e 𝑥2:
𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
• Expandindo em série de Taylor em torno do ponto normal
de operação 𝑥1 e 𝑥2
com as derivadas parciais calculadas em 𝑥1 = 𝑥1 e 𝑥2 = 𝑥2.
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Aproximações lineares de sistemas físicos
• O modelo matemático desse sistema não linear, nas
proximidades das condições normais de operação, é então
dado por:
𝑦 − 𝑦 = 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥1) + 𝐾2 (𝑥2 − 𝑥2)
onde
 𝑦 = 𝑥1, 𝑥2
𝐾1 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥1 𝑥1= 𝑥1, 𝑥2= 𝑥2
𝐾2 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥2 𝑥1= 𝑥1, 𝑥2= 𝑥2
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• Exercício 1: Linearize a equação não linear 𝑧 =
𝑥𝑦, na região 5 ≤ 𝑥 ≤ 7, 10 ≤ 𝑦 ≤12. Encontre o
erro para o caso em que a equação linearizada seja
utilizada para calcular o valor de 𝑧 quando 𝑥 = 5 e
𝑦 = 10.
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Transformadas de Laplace
• A transformada de Laplace é um método para resolver
equações diferenciais lineares no qual as operações
como diferenciação e integração são substituídas por
operações algébricas no plano complexo
• A componente transitória e a de regime permanente
podem ser obtidas simultaneamente.
• A transformada de Laplace modifica as funções no
tempo 𝑓(𝑡), passando a representá-las em função de
uma variável s conhecida como frequência complexa.
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Transformadas de Laplace
ℒ−1 ∙
ℒ ∙
Domínio 
do tempo
Domínio da 
variável 
complexa “s”
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Transformadas de Laplace
Definição: Transformada de Laplace
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 
0−
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 = 
0−
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
onde:
𝑓 𝑡 = uma função de tempo em que 𝑓 𝑡 = 0 para t < 0
𝑠 = uma variável complexa, 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
ℒ = operador de transformada de Laplace
𝐹 𝑠 = transformada de Laplace de 𝑓 𝑡
• É importante ressaltar que se 𝐹(𝑠) existe, isto indica
que a integral acima converge e é, portanto, finita.
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Transformadas de Laplace
Definição: Transformada inversa de Laplace
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡 =
1
2𝜋𝑗
 𝜎−𝑗𝜔
𝜎+𝑗𝜔
𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠, para 𝑡 > 0
onde:
𝑗 é a base dos números complexos (𝑗 = −1)
• Devido a complexidade em resolvê-la, usualmente se
realiza a expansão em frações parciais, escrevendo 𝐹 𝑠 em
termos de funções simples de 𝑠. Em seguida, utilizam-se as
propriedades e uma tabela que fazem o mapeamento dessas
funções e de suas transformadas.
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Transformadas de Laplace
• Exemplo 3: Transformada de Laplace da função Degrau
Função degrau fechamento da chave “s”
A tensão 𝑣(𝑡) é do tipo degrau de amplitude A, pois:
𝑣 𝑡 = 
0, 𝑡 < 0
𝐴, 𝑡 ≥ 0
A
chave 
“s”
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Transformadas de Laplace
Aplicando-se a transformada de Laplace em 𝑣 𝑡 :
𝑉 𝑠 = ℒ 𝑣 𝑡 = 0
+∞
𝑣(𝑡) ∙ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
= 0
+∞
𝐴 ∙ 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴 ∙ 
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠 0
+∞
=
𝐴
−𝑠
lim
𝑡→+∞
𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑠∙0 =
𝐴
𝑠
𝑉 𝑠 =
𝐴
𝑠
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• Exemplo 4: Qual a transformada de Laplace de 𝑓(𝑡)?
𝑓 𝑡 = 𝐴𝑒−𝑎𝑡𝑢𝑡
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• Exemplo 4: Qual a transformada de Laplace de 𝑓(𝑡)?
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• Exemplo 5: Demonstração da linearidade da TL
Admita que ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 . Desse modo:
ℒ 𝛼𝑓1 𝑡 + 𝛽𝑓2 𝑡 = 0
+∞
𝛼𝑓1 𝑡 + 𝛽𝑓2 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡 𝑑𝑡
= 𝛼 0
+∞
𝑓1 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝛽 0
+∞
𝑓2 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡 𝑑𝑡
= 𝛼 ∙ 𝐹1 𝑠 + 𝛽 ∙ 𝐹2 (𝑠)
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• Exemplo 6: Demonstração de ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)
Aplicando a definição:
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 
0−
+∞ 𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 
0−
+∞
𝑒−𝑠𝑡𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡
Lembrando que 𝑎
𝑏
𝑣𝑑𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣 𝑎
𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑢𝑑𝑣
Assim: 𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 →
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑠𝑒−𝑠𝑡 → 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝑑𝑢 = 𝑓′ 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑢 = 𝑓(𝑡)
Então:
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒−𝑠𝑡 0−
+∞ − 0−
+∞
𝑓(𝑡) ∙ −𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
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Resolvendo:
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 +∞
0
− 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 0 + 𝑠 0−
+∞
𝑓(𝑡) 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
𝐹(𝑠)
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 0 − 𝑓 0− + 𝑠𝐹(𝑠)
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓 0−
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• Estendendo o resultado anterior:
ℒ
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− = 𝑠ℒ[𝑓(𝑡)] − 𝑓 0−
ℒ
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑓(𝑡) = 𝑠ℒ[𝑓′(𝑡)] − 𝑓′ 0−
= 𝑠 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− − 𝑓′ 0−
= 𝑠2ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑓(0−) − 𝑓′ 0−
Generalizando:
ℒ
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛
𝑓(𝑡) = 𝑠𝑛ℒ 𝑓 𝑡 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2𝑓′ 0− − ⋯ − 𝑓 𝑛−1 (0−)
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• Exemplo 7: Qual a transformada inversa de Laplace de
𝐹1(𝑠)?
𝐹1 𝑠 = 1/ 𝑠 + 3
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• Exemplo 7: Qual a transformada inversa de Laplace de
𝐹1(𝑠)?
Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela
transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 = 𝑡 ∙ 𝑢 𝑡 :
Se 𝐹 𝑠 = 1/𝑠2 → 𝑓 𝑡 = 𝑡 ∙ 𝑢 𝑡
e
Se 𝐹 𝑠 + 𝑎 = 1/ 𝑠 + 𝑎 2 → 𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡𝑡 ∙ 𝑢 𝑡
Então,
𝐹1 𝑠 = 1/(𝑠 + 3)
2→ 𝑓 𝑡 = 𝑒−3𝑡𝑡 ∙ 𝑢 𝑡
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• Na análise de sistemas de controle, 𝐹 𝑠 , a transformada de
Laplace de 𝑓 𝑡 , apresenta-se frequentemente do seguinte
modo:
𝐹 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
,
onde 𝑁(𝑠) possui ordem 𝑚 e 𝐷(𝑠) possui ordem 𝑛, com
𝑚 < 𝑛.
• 𝐷 𝑠 = 0 → equação característica. As raízes (polos)
dessa equação determinam a característica da resposta no
domínio do tempo.
• Os zeros do sistema são as raízes do polinômio do
numerador, 𝑁 𝑠 .
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• Polos e zeros são frequências críticas.
• Nos polos a função 𝐹 𝑠 torna-se infinita, enquanto nos
zeros a função torna-se zero.
• O gráfico no plano s das frequências complexas retrata
graficamente a característica da resposta natural do sistema.
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. H. Sistemas de Controle Modernos. São Paulo: 
Editora LTC, 2013.
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• Se a ordem de 𝑁(𝑠) for maior ou igual à ordem de 𝐷(𝑠),
então 𝑁(𝑠) deve ser dividido por 𝐷(𝑠) sucessivamente até
que o resultado tenha um resto cuja ordem do numerador
seja inferior à ordem do denominador.
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• Exemplo 8: Encontre 𝑓 𝑡 de 𝐹 𝑠 =
𝑠3+2𝑠2+6𝑠+7
𝑠2+𝑠+5
Realizando a divisão até obter um resto cuja ordem do
numerador é inferior a do denominador, obtém-se:
𝐹 𝑠 = 𝑠 + 1 +
2
𝑠2+𝑠+5
Utilizando a primeira linha da tabela 2.3 em conjunto com as
propriedade de diferenciação e linearidade:
𝑓 𝑡 =
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝛿(𝑡) + ℒ−1
2
𝑠2+𝑠+5
• Para finalizar é necessário expandir a última parcela em frações
parciais.
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• Transformada Inversa: Expansão em frações parciais
• A expansão em frações parciais é uma ferramenta
matemática bastante útil no cálculo da transformada de
Laplace
• Objetivo matemático: Simplificar uma função,
expandindo-a em funções de menor grau, para os quais
se conhece a transformada de Laplace
• Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da
transformada de Laplace
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• Expansão em frações parciais: Método de Heaviside
 Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas
 Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas
 Caso 3: Raízes do denominador são complexas
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• Expansão em frações parciais:
 Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas
 Neste caso, o denominador tem duas raízes reais e
distintas (-1 e -2). Para obtermos a transformada
inversa, o procedimento é o seguinte:
 Decompomos F(s) numa soma de frações com tantas
parcelas quantas forem as raízes do denominador.
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• Expansão em frações parciais:
 As constantes 𝑘1e 𝑘2 são chamadas de resíduos. Para
obter substitui-se a raiz correspondente (s = −1) em
F(s) sem o termo (s +1). Assim:
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• Expansão em frações parciais:
 Assim:
 Usando a tabela 2.3 e a propriedade de linearidade:
ou
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• Expansão em frações parciais:
 Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas
 Neste caso, as raízes são -1, -2 e -2 (diz-se que -2 tem
multiplicidade 2). Os resíduos 𝑘1 e 𝑘2 são obtidos
como anteriormente:
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• Expansão em frações parciais:
 𝑘3 pode ser obtido substituindo-se 𝑠 por um valor
conveniente. Por exemplo, substituindo-se 𝑠 = 0 em:
 Assim: 𝐹 𝑠 =
2
𝑠+1
+
−2
𝑠+2 2
+
−2
𝑠+2
 Usando a tabela 2.3:
𝑓 𝑡 = 2𝑒−𝑡 − 2𝑡𝑒−2𝑡 − 2𝑒−2𝑡 , 𝑡 > 0
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• Expansão em frações parciais:
 Caso 3: Raízes do denominador são complexas
 Neste caso, não é possível fazer a expansão em
parcelas de 1o grau. O resíduo 𝑘1 pode ser obtido
como anteriormente:
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• Expansão em frações parciais:
 Os resíduos 𝑘2 e 𝑘3 podem ser obtidos por substituição
conveniente de valores de 𝑠 em:
3
𝑠(𝑠2 + 2𝑠 + 5)
=
3/5
𝑠
+
𝑘2𝑠 + 𝑘3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
 Para 𝑠 = 1 →
3
8
=
3
5
+
𝑘2+𝑘3
8
 Para 𝑠 = −1 →
−3
4
=
−3
5
+
𝑘3−𝑘2
4
 Resolvendo o sistema, obtém-se: 𝑘2 = −3/5 e 𝑘3 = −6/5
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• Expansão em frações parciais:
 Assim:
𝐹 𝑠 =
3
5
𝑠
+
−
3
5
𝑠−
6
5
𝑠2+2𝑠+5
=
3/5
𝑠
−
3
5
𝑠+2
𝑠2+2𝑠+5
 Da tabela 2.3:
ℒ 𝐴𝑒−𝑎𝑡cosω𝑡 =
𝐴(𝑠+𝑎)
(𝑠+𝑎)2+𝜔2
e ℒ 𝐵𝑒−𝑎𝑡senω𝑡 =
𝐵𝜔
(𝑠+𝑎)2+𝜔2
 Somando as equações anteriores:
ℒ 𝐴𝑒−𝑎𝑡cosω𝑡 + 𝐵𝑒−𝑎𝑡senω𝑡 =
𝐴 𝑠+𝑎 +𝐵𝜔
(𝑠+𝑎)2+𝜔2
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• Expansão em frações parciais:
 Convertendo 𝐹 𝑠 para o formato da equação anterior:
𝐹 𝑠 =
3/5
𝑠
−
3
5
𝑠+2
𝑠2+2𝑠+5
=
3/5
𝑠
−
3
5
𝑠+1 + 1/2 2
(𝑠+1)2+22
 Comparando com a equação composta das tabelas:
𝑓 𝑡 =
3
5
−
3
5
𝑒−𝑡 cos2𝑡+
1
2
sen2𝑡Análise de Sistemas Físicos
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• Exemplo 9: Considere o sistema massa-mola-
amortecedor descrito pela equação:
𝑀
𝑑2𝑦 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑟 𝑡
Deseja-se obter a resposta 𝑦 𝑡 usando a transformada de
Laplace.
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𝑅 𝑠 = 𝑀 𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0− − 𝑦′ 0− + 𝑏 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0− + 𝑘𝑌 𝑠
Quando:
𝑟 𝑡 = 0
𝑦 0− = 𝑦0
𝑦′ 0− = 0
Tem-se: 𝑀𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑀𝑠𝑦0 + 𝑏𝑠𝑌 𝑠 − 𝑏𝑦0 + 𝑘𝑌 𝑠 = 0
Resolvendo para 𝑌 𝑠 :
𝑌 𝑠 =
𝑀𝑠+𝑏 𝑦𝑜
𝑀𝑠2+𝑏𝑠+𝑘
=
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
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Para um caso específico, considerando
𝑘
𝑀
= 2 e
𝑏
𝑀
= 3:
𝑌 𝑠 =
𝑠+3 𝑦𝑜
𝑠2+3𝑠+2
=
𝑠+3 𝑦𝑜
(𝑠+1)(𝑠+2)
Expandindo-se em frações parciais (caso 1):
𝑌 𝑠 =
𝑘1
𝑠+1
+
𝑘2
𝑠+2
𝑘1 = 𝑠 + 1 . 
𝑠+3
(𝑠+1)(𝑠+2) 𝑠1=−1
= 2; 𝑘2 = 𝑠 + 2 . 
𝑠+3
(𝑠+1)(𝑠+2) 𝑠1=−2
= −1
Extraído de: DORF, R. C., BISHOP, R. 
H. Sistemas de Controle Modernos. 
São Paulo: Editora LTC, 2013.
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Aplicando a transforma inversa de Laplace:
𝑦 𝑡 = ℒ−1
2
𝑠+1
+ ℒ−1
−1
𝑠+2
Usando a tabela 2.3, obtém-se a resposta no tempo:
𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡 − 1𝑒−2𝑡
Utiliza-se o teorema do valor final para determinar a resposta
de regime permanente:
lim
𝑡→∞
𝑦 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝑌 𝑠 = 0
Consequentemente, a posição final para a massa no sistema
massa-mola-amortecedor é a posição normal de equilíbrio, 𝑦 = 0.
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• Exercício 2: Conclua o exemplo 8, expandindo em
frações parciais a última parcela e encontrando a
transformada inversa de Laplace:
𝑓 𝑡 =
𝑑𝛿(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝛿(𝑡) + ℒ−1
2
𝑠2+𝑠+5
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• Exercício 3: Encontre a transformada inversa de Laplace
de:
𝐹 𝑠 =
2𝑠+12
𝑠2+2𝑠+5
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• Exercício 4: Dada a seguinte equação diferencial, obter a
solução y(t) se todas as condições iniciais forem zero.
Usar a transformada de Laplace