NBR 9321 Calculo Estimativas Ponto Limites Confianca Resultante Determinacao Confiabilidade

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CALCULO DE ESTIMATIVAS POR PONTO E LIMITES DE CONFIANCA 03.075 
RESULTANTE DE ENSAIOS DE DETERMINACAO DA CONFIABILIDADE 
DE EQUIPAMENTOS NBR 9321 
Procedimento ABW1966 
SUMARIO 
1 Objetivo 
2 Documentos complementares 
3 Condi@es gerais 
4 Caracteristicas da estimativa por ponto e limites de confianta 
5 Slmbolos e definicoes 
6 Taxas de falhas constanta 
7 Taxas de falhas 1150 constanta 
6 Taxa de Cxito 
ANEXO A - Tabelas 
ANEXO B - Nomogramas 
ANEXO C - Determinatao do tempo relevante acumulado de ensaio 
1 OBJETIVO 
Esta Norma fornece os metodos graficos e numericos recomendados para se determinar a esti- 
mativa por ponto e limites de confianoa de caracteristicas de confiabilidade resultante de en- 
saios de determinaoao da confiabilidade de equipamentos. 
2 DOCUMENTOSCOMPLEMENTARES 
Na aplicagao desta Norma Q necessario consultar: 
NBR 5462 - Confiabilidade - Terminologia 
NBR 9320 - Confiabilidade de equipamentos - Recomendagdes gerais - Procedimento 
IS0 3534 “Statistics Vocabulary and symbols”. 
3 CONDICGES GERAIS 
3.1 OS metodos de calculo desta Norma podem ser aplicados a qualquer tempo ou apes urn 
nljmero qualquer de tentativas de ensaio de confiabilidade. 
3.1.1 A precisao obtida sera proportional a quantidade de informaooes disponiveis quando as 
estimativas por ponto e OS limites de confianoa forem calculados. 
Orlgem: ABNT - NB-97111965 (Projeto 03:06.56.1-004) 
CB-03 - ComitC Brasileiro de Eletricidade 
CE-03:56.1 - Comissao de Estudo de Confiabilidade 
SISTEMA NACIONAL DE ABNT - ASSOCIA~~O BRASILEIRA 
METROLOGIA, NORMALIZACAO DE NORMAS TkNlCAS 
E QUALIDADE INDUSTRIAL 0 
Palavras-chave: confiabitidade. limites de confian~a NBR 3 NORMA BRASILEIRA REGISTRADA 
CDU: 621.38.03:656.56 Todos OS direitos resewados 34 paginas 
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2 NBR 932111986 
3.1.2 Podem ser utilizados dados de ensaios anteriores ou observa@es de campo, 
desde que os dados sejam suficientemente completes, bem estabelecidos e aplica - 
veis ao case em estudo. 
3.2 Esta Norma nao se aplica quando os dados sao reunidos de fontes distintas, 
coma por exemplo, dados provenientes de ensaio realizados sob diferentes condi - 
l+s. 
3.3 Sempre que o term “tempo” for usado nesta Norma, essa varidvel podera ser 
substituida por distkcia, numero de ciclos ou outra unidade apropriada. 
3.4 OS titodos descritos nos capitulos 6 e 7 devem ser usados quando uma tam 
de falhas constantes, urn tempo msdio at6 a falha, ou uma taxa de falhas mgdia 
para urn dado periodo de tempo for estimada a partir do ensaio de determinaF:o 
da confiabil idade. 
Esses rr6todos s% aplicaveis a ensaios baseados no tempo. 0 metodo a ser utili - 
zado dependera da hip6tese qua podera ser admitida anal isando-se a dependencia 
da taxa de falhas corn rela$o ao tempo e a distribuiqao estatistica dos tempos 
at& a falha ou entre falhas. 
3.5 No case de se admitir uma taxa de falhas constantes caracterizando uma dis - 
tribuigk de tempo ate entre-falhas, dew-se ut i I izar o metodo descrito no capi - 
tulo 6. 
0s itens sob ensaio podem ser reparados e colocados novamente sob ensaio ou nao 
set-em reparados. OS metodos grzficos utilizando-se o tracado de curvas, ver ( 
6.3.1), n% sao aplicaveis ap6s a primeira falha de itens raparados. 
3.6 No case de se admitir uma taxa de falhas nao constantes descrita por uma 
distribui$% de Weibull ou-uma distribuiqk normal (Gaussiana) de tempos at& a 
falha, dew-se utilizar os mgtodos descritos no capitulo 7. Esses m&todos nao 
s;o aplic5veis ap6s a primeira falha de itens reparados. 
3.7 Se a taxa de &ito for estimada a partir do ensaio de determina$o da CO” 
fiabilidade, devem-se utilizar os metodos descritos no capitulo 8. Esses m6to 
dos 5% baseados no ntimero de itens sob ensaio ou de tentativas, os quais 
- 
sao 
classificados coma falhas ou nao falhas. 
0 m6todo a ser usado depende do numero de falhas. Se o niimero de falhas for 
maior que 9 pode-se utilizar a distribui$ao normal; no outros tasos deve-se 
tsar a distribuisao binomial. 
3.8 Esta Norma obedece ao estabelecido na NBR 9320. 
4 CARACTERiSTlCAS DA ESTIMATIVA POR PONTO E LIMITES DE CONFIANCA 
4.1 Uma estimativa por ponto 6 urn valor nikrico kico que representa 0 valor 
verdadei r-o, nao conhecido, de urn parsmetro estatistico, tal coma a taxa de fa - 
Ihas. Geralmente, a estimativa por ponto considerada neste case 6 o valor “ob - 
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NBR 932111986 
servado", coma definido na NBR 5462. 
3 
4.2 OS limites de confianga definem urn interval0 de confianGa em torno da esti - 
mativa por ponto, o qua1 inclui o verdadeiro valor do parsmetro que esta sendo 
estimado corn uma certa probabilidade, o nivel de confiansa. 
4.3 0 interval0 de confianqa set-5 mais estreito a medida que mais informa& 
estejam disponiveis. A informasao utilizada 6 o tempo relevante acumulado de en - 
saio e o n&r-o de falhas quando os ensaios se baseiam no parsmetro tempo, e o 
n&ro de itens sob ensaio ou tentativas e o ntimero de falhas quando 05 ensaios 
se baseian no5 itens ou tentatiVaS. 
4.4 0 interval0 de confiansa pode ser unilateral ou bilateral. 
No case de urn interval0 de confianqa unilateral e'dado o limite de confiansa su - 
perior ou inferior. Para urn interval0 de confianga bilateral 550 dados 05 dois 
limites. 
4.5 0 nivel de confiansa preferential escolhido para efeitos desta Norma 6 de 
90%. 
4.5.1 Desta forma o intervalo de confian$a inclui 05 verdadeiros valores das 
caracteristicas corn uma probabilidade de 90%. 
4.5.~ Se outros niveis de confian$a forem usados, as formulas constantes nesta 
Norma podem ser utilizadas corn os valores apropriados obtidos de tabelas esta - 
tisticas. 
5 Sl-MBOLOS E DEFlNlCdES 
5.1 As AefiniGEes e simbolos utilirados nesta Norma estao, na medida do possi - 
vel, de acordo corn a IS0 3534. 
5.2 0 "ponto de determina$ao" 6 o instante ou o niimero de tentativas no qua1 
as estimativas por ponto ou limites de confiansa sao determinados. 
5.3 Simbolos 
a 
b 
f(t) 
F(t) 
F 
P ( 
"h3) 
k 
= par&netro de posiG:o em uma distribuigao de Weibull; 
= vida caracteristica (ou parzmetro de escala) err uma distri - 
buiG& de Weibull; 
= fun+ densidade de probabilidade de tempo at6 a falha; 
= distribuiqao acumulada de tempos at< a falha; probabilidade 
de falha no tempo t; 
= valor teGrico da distribui<ao F corn v1 graus de liberdade 
no numerador e v2 graus de liberdade no denominador no frac - 
til de ordem p; 
= n$ero de ordem de uma falha baseado no tempo at; a falha 
(ti); 
= parzmetro de forma de uma distribuicao de Weibull; 
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4 NBR9321/1986 
m 
m 
mF 
mF 
m(O,to) 
tl(0,to) 
n 
P,,(ti) 
r 
R 
k 
= valor verdadeiro de tempo media entre falhas; 
= estimativa por ponto do tempo kdio entre falhas (valor obser 
- 
vado de m) ; 
= valor verdadeiro do tempo mGdio at6 a falha; vida tidia; 
= estimativa por ponto de tempo media atG a falha, (valor obser 
- 
vado) ; 
= valor verdadeiro do tempo rkdio falhas para o period0 de tern 
- 
PO (0,to); 
= estimativa por ponto de tempo media entre falhas para o per70 
- 
do de tempo (0,to) (valor observado); 
= nimero relevante de itens sob o ensaio ou tentativas; 
= categoria de ti ao n;vel de 50% (Tabelas 5 e 6); categoria me 
- 
diana; 
= nirmero total de falhas relevantes no qua1 se baseia o ensaio 
de determinaqao de confiabilidade; 
= taxa de Cxitos verdadeira; 
= estimativa por ponto da taxa de &itos (valor observado); 
R(t)=l-F(t) = probabi I idade de &i tos; 
t = tempo (ou o equivalente tal coma distkcia, nl;mero de ciclos 
ou outra unidade apropriada); 
t* 
m 
= tempo de ensaio pre-determinado para o item de ordem m; 
ti 
= tempo relevante de ensaio de n;mero de ordem i, registrado en 
- 
tre o instante em que o item 6 colocado sob ensaio e o instan 
- 
te da falha do item; 
tpw = valor te%rico da distribuisao t de Studentcorn v graus de Ii - 
berdade no fractil de ordem p; 
T* = tempo relevante acumulado de ensaio ate o ponto de determinp 
$50, quando este n& coincide corn uma falha; 
T 
r 
= tempo relevante acumulado de ensaio para todos 05 ctens ate o 
ponto de determina$o, quando o mesmo coincide corn uma falha; 
x = valor verdadeiro da taxa de falhas constante; 
x = estimativa por ponto da taxa de falhas; (valor observado); 
0 = valor verdadeiro do desvio padrao em uma distribuisao normal; 
0 = estimativa por ponto de desvio padrao; 
x ;,” = valor teorico da distribui$ao X2 corn u graus de liberdade no 
fract i I de ordem P. 
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NER 9321/1986 5 
6 TAXAS DE FALHAS CONSTANTE 
Se a taxa de falhas verdadeira for admitida constante, 05 m<todos nu&ricos e 
grsficos conforme 6.1, 6.2 e 6.3 podem ser usados para se estimar a taxa de fa 
- 
lhas e o tempo &dio entre falhas (para itens reparados) ou, o tempo &dio at< 
a falha (para itens nao reparados). 
OS metodos 5% aplicaveis a equipamentos reparados e n&x reparados. 
Essas estimativas S%I baseadas no ntimero total de falhas relevantes e no tempo 
relevante acumulado de ensaio ate o ponto de determina+. 
A validade da hipotese da taxa de falhas constante deve ser testada antes de se 
calcularem estimativa por ponto e limites de confiansa, para a aplicaqao de: 
a) tempo media entre falhas, MTBF = m; 
b) tempo &dio ate a (primeira) falha, mF ou MTTF; mF = MTTF = m; 
1 
c) taxa de falhas, X = - . 
m 
6.1 hhsaios corn dura&io pri-fimda 
0 tempo relevante acumulado de ensaio ate o ponto de determinaG%, T*, pode ser 
determinado de acordo corn o Anexo C. 
As’mesmas formulas s% usadas pat-a ensaio corn substitui$o ou reparos 0” SellI 
eles. 0 nijmero de falhas relevantes, r, at6 o ponto de determina$o, dew 5er 
computado. 
6.1.1 Esti,wtivas par ponto 
a) a estimativa por ponto (valor observado) da taxa de falha 6: X = 2. 
T*’ 
by a estimativa por ponto (valor observado) do tempo m5dio ate a falha; 
T* 
ou do tempo media entre falhas 6: i71 = r; 
c) se nenhuma falha for observada at6 o ponto de determinaqao, i.e. r=B, 
1 
recomenda-se a seguinte estimativa para a taxa de falhas: X = - . 
3T” 
N&J dew 5er dada tiuita importancia a estimativas baseadas err um n; 
- 
mere de falhas iaual a zero nem aquelas baseadas em urn pequeno nGme - 
ro de falhas’. 
d) ao se planejarem 05 ensaios deve-se ter cuidado para qua T* seja su - 
ficientemente grande em rela$ao ao valor esperado de tempo &dio at& 
a falha. 
1 Esta recomenda$o baseia-se em urn estudo realizado por E.L. Welker e 
M. Lipow - “Estimating the exponential failure rate frown data with na 
failur-e events”, publicado em ” Proceedings 1974 annual Relability and 
Maintainabi I itj Symposiam”, paginas 420-427. 
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6 NBR 9321/1986 
6.1.2 Intervalos dt! confifmga 
6.1.2.1 0s limites de confianga para o valor verdadeiro da taxa de falha h, corn 
n7vel de confiansa de 90% sk: 
a) interval0 de confianGa unilateral, limite superior: 
“; y (2r + 2) , I “‘, y (2r + 2) , 7 
h < x 0” A < 
2 I- 2 T* 
b) interval0 de confianp bilateral: 
“i 05, 7.r ^ I x; 95 (2r + 2) - I. 
x ih<X 
2 r 2 T* 
c) interval0 de confian$a bilateral: 
X2 
0*05, 2r 
X2 
_ 0195, (2r + 2) 
h c h c x 
2r 2r 
0” 
c 05 2r 
X2 
J J 0195, (2r + 2) 
< A < 
2 T” 2 T* 
0s valores da distribuiqao de X2 se encontram na Tabela 2. 
Se nenhuma falha for observada, somente o intervalo de confianp unila 
- 
teral corn urn limite superior pode ser definido. A formula baseada em 
A nio pode ser uti I izada. 
6.1.2.2 OS limites de confiansa para o valor verdadeiro do tempo at6 a falha, 
ou entre falhas, m, corn urn nivel de confianp de 90% sk: 
a) interval0 de confian$a unilateral, limite inferior: 
m>rii 
2 r 2 T* 
0” m > 
x2 
o,s,(2r + 2) 
X2 
o,y,(2r + 2) 
b) interval0 de confian$a bilateral: 
m 
2 r 
< m < i;i 
2 r 2T* Cm< 2T 
x2 
3.95,(2r + 2) 
x? OU $ x2 
‘OlOS! 2r O,Y5>(2T + 2) C,OS. (ZT) 
OS valores da distribuigk X2 se encontram na Tabela 2 
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NBR 9321/1986 7 
Se nenhuma falha for observada, somente o limite inferior pode ser defi - 
nido. 
6.1.2.3 A Figura 1 e a Tabela 7 indicam OS limites de confianga a 30% em funqao 
do n;lmero de falhas F. OS limites s% expresses par urn multiplicador apropriado, 
vezes a estimativa par ponto X e G. 
Nota: OS multiplicadores podem ser usados para o planejamento dos ensaios de vi - 
da pela determina$o do nGmero aproximado de falhas para uma dada preci 
S%J do estimador. 0 tempo relevante acumulado de ensaio T* necessario pa 
r-a o nGmero de falhas requerido 6 aproximadamente T* = r/x, onde o valor 
da taxa de falhas h 6 admitido par meio de experigncias anteriores. 
~FIGURA i 
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8 NBR 9321/1966 
2 
Linrite unilater;ll 
/ 
superior 
I 
\ 2 
I 1 
Es t i na t i vi 
,3 I- par ponto ,G 
4 
6 
I; 2 Interval0 
bilateral 
,4 
i 
U 
20 ’ 
15 
IO 
i 
/ 
5 
4 
Interval0 
bilateral 
Liklite unilateral 
f 
inferior 
FIGURA 1 - Limites de confiaW a 90% em fun@ do ntimero de falhas para enraior corn dura#io prb-fixada 
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~BR932111986 9 
0 tempo relevante acumulado de ensaio at6 o ponto de determinaqao Tr, 4 calcula 
- 
do de acordo corn o Anexo A. 
As mesmas formulas podem ser usadas para ensaios corn substitui@k e/au repa TO5 
ou para ensaios sem substitui@es e/au reparos. 
6.2.1 Estimativa par pmto 
a) a estimativa por ponto (valor observado) da taxa de falhas 6: 
b) a estimativa por ponto (valor observado) do tempo &dio at6 a falh.3 0~ 
entre falhas 6: 
Nao deve ser dada muita importancia a estimativas baseadas em umpeque- 
no niimero de falhas. 
Ao se planejarem ~05 ensaios dew-se ter cuidado para que T* seja su 
- 
ficientemente grande em rela+% ao valor esperado de tempo &dio at< a 
falha. 
6.2.2 Intervatos de confianp 
6.2.2.1 'OS limites de confiansa para o valor verdadeiro de ta'a de falhas corn 
nivel de confianqa de 308 sao: 
a) interval0 de confianGa unilateral: 
x2 X2 
h < h 
0190 2r 07ro.2r 
ol! h < -.- 
2r 2T r 
b) interval0 de confianqa bilateral: 
"', 05 2r 
x " 
< h < * XZ,g5,2r 
2r 2r 
OS valores da distribui@ X2 se en~contram "a Tabela 2. 
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10 NBR9321/198G 
6.2.2.2 OS limites da confianga para o valor verdadeiro do tempo mGdio at& fa 
- 
lha ou entre falhas corn nivel de confian?a de 90% sk: 
a) interval0 de confianGa unilateral, limite inferior: 
m>fi 
2r 2Tr 
OLJ m> 
X2 
0,'90*2r "'0 7 9" 9 2r 
b) interval0 de confianga bilateral: 
6. 
2r 
<rn<G 
2r 
x& , 95 I 2r "i I 05 , 2r 
2Tr <ill< 2Tr 
X’ 
0?95?2r 
E apresentado urn @todo grsfico para estimar a taxa de falhas e o tempo mGdio 
at& a primeira falha, ou o tempo media entre falhas baseado no papel mono-log. 
0s ensaios que servem de base para as observa@es nao precisam continuar at6 
que todo< os itens tenham falhado. 
0 papel mono-log dew set- usado apenas para 05 tempos at6 a primeira falha a pa - 
ra urn niimero de falhas n50 menor que 4. 
0 @todo fornecers estimativas por ponto e podera tambsm dar uma indicasao de 
desvios da taxa de falhas constante. 
Urn nfimero de itens, n, 5% ensaiados e r falhas sk observadas. 
Para cada item que falhou determina-se o tempo relevante de ensaio ti. 
0s termos ti sao ordenados em ordem crescente: 
tl < t2 < . . < t 
r 
0s valores de ti s& locados em urn papel mono-log ao longo da escala linear e os 
"alores reciprocos de 1 (urn) menos a fraqk da categoria mediana 
( 
P50(ti) 
) 
a0 
longo da escala logaritmica. 100 
OS valores de P50 (ti) podem ser obtidos da Tabelas de 5 e 6. 
Se a hipstese de taxa de falhas constante se manrem, OS pontos do grafico 5e 
ajustarao bem a UIII.FI reta passando pelo ponto ti = 0 e 
1 
1 
psn (0) 
l- 
100 
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NBR 9321/198fi 11 
Ao tragar a reta 05 pontos centrais devem ser predominantesna determinagao da 
inclinasao. Dessa forma a estimativa do tempo &dio at6 falha 6 igual ao valor 
de t no eixo dos tempos, correspondente ao valor 2.72 no eixo vertical. A estima - 
tiva da taxa de falhas ser.5 o inverse do valor t. 
Se OS pontos do grsfico nio se adaptarem a urn ajuste linear, a taxa de falhas po - 
der5 n% ser constante. Nesse caso, outros metodos tais coma OS descritos em 7 
podem ser aplicados. Ver exemplo na Figura 2. 
7 TAXA DE FALHAS N/%0 CONSTANTE 
Se a hipstew de uma taxa de falhas constante nk 6 valida e a distribuiqao do 
tempo at6 falha segue uma distribuiqao de Weibull ou uma distribuiG% normal, 05 
metodos dada neste item devem ser aplicados. A validade de qualquer uma destas 
hipstews de distribui@ deve, de prefer&cia, ser testada de acordo corn OS m6 - 
todos indicados na norma "Ensaios para verificagk da hipotese de taxa de falhas 
nZ5o constante" (em estudo), ou usando 05 pap6is de probabilidade descritas em 
7.1.1 ou 7.2.2. 
0 histsrico da vida dos itens para ensaio dew ser similar quando s8;o colocados 
em ensaio. OS &todos de avalia@o sao aplicaveis somente aos tempos at6 a P'i 
meira falha. OS ensaios "20 precisam continuar at6 que todos 05 itens tenham fa - 
Ihado, exceto para o metodo em 7.2.1.1. 
Para cada item que falhou c determinado o tempo relevante de ensaio ti. 0 tempo 
6 definido como sendo o tempo relevante de ensaio entre o instante em que o item 
i foi colocado em ensaio, t=O, e o instante em que ocorreu a falha,t=ti. OS tern - 
pas s% ordenados em valor crescente: 
t1<tz<... c tr 
Usando ester tempos e urn papel de probabilidade de Weibull ou urn papel de proba 
bilidade normal 6 possivel estimar OS parsmetros da distribui$% e ao mesmo tern - 
po obter uma boa indica$So de come OS tempos se ajustam 2 distribui@a adotada. 
/FlGURA 2 
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- 
‘-p5ll 
8 
7 
tr 
5 
4 
3 
2,72- 
2 
I 
1 - 
(t i 
1 
1 - 
l/100 
FIGURA 2 - Exemplo de usa de papel mono-log 
7.1 Distribui&z de WeibuZI 
A fun& da distribuiG;o cumulativa para a distribuiG$o de Weibull ~5: 
( jk t-a F(t) = 1 - e- 
b 
t > a; b > o; k > CI 
7.1.1 M&do g&fico para estimativa por ponto 
Neste titodo 6 usado o papel de probabilidade de Weibull. Esse papel 6 feito de 
tal modo que a fun$& de distribui@o cumulativa dos tempos at6 a falha que obe - 
de$a a uma distribui& de Weibull, se transforma em uma reta. A Figura 3 6 exem - 
plo desse papel e de como ele pode ser usado. 
Se a escala de tempos da abscissa n% for diretamente apli&vel ela pode ser 
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transformada par urn fator de lo', onde c 6 urn inteiro. 
OS valores observados, ti, sao locados no valor correspondente a categoria media - 
na pSo (ti) na escala F (t). 
0s "alores da categoria mediana sao encontrados nas Tabelas 5 e 6. 
0 exemplo da Figura 3 sup& uma amostra corn n=lO e que 0 ensaio termina debais 
de r=8 falhas. Portanto existem apenas 8 pontos locados e nas tabelas da catego- 
ria mediana (Tabelas 5 e 6) a coluna correspondente a n=lO 6 usada somente 
at6 i=8. 
se ocorrer uma distribui@o de Weibull corn a=O, os pontos locados se ajustam bem 
a "ma reta. Se os pontos se distribuem em uma turva c&cava vista das abscissas, 
o parSmetro de posi$o "a" tern urn valor positive; se a cuwa 6 convexa entao "a" 
G negative. 
~ara uma curvy o seguinte procedimento pode ser adotado: 
Passe I: locar 05 dados da curva coma descritos acima e exemplificado na Figu - 
l-a 3; 
pass0 2: trasar duas linhas horizontais paralelas atravGs dos pontos extremes e 
uma terceira linha paralela 2s outras duas passando pelo ponto mGdio Ii 
- 
"ear; 
pass0 3: traGar trss linhas perpendiculares ao eixo dos tempos a partir dos POP. 
to5 de intersec$% das trgs linhas horizontais corn a curva; 
Pass0 4: indentificar 05 valores de "t" corn as tres perpendiculares tome segue: 
t1 - 
menor valor 
t - valor mGdio 
,m 
th - maior valor 
Pass0 5: mar a seguinte formula para calcular 2: 
(th - tm) (tm - tl) 
IS= tm - 
(th - t,)-(t, - tl); 
pass0 6: subtr=ir 2 (incluindo 0 sinal de 2) de cada va]or de t.. 
I ' 
Pass0 7: realocar 05 dados; ag0ra OS pontos devem se aproximar de uma linha '2 
ta; uma distribui& de Weibull das falhas, deslocada. 
Para estimar o parsmetro de forma, k, trace uma reta passando pelo ten - 
tro da escala circular e paralela 2 reta da distribuigao de Weibull des - 
locada. 0 valor de k & lido na intersse$ao da escala circular corn esta 
reta. 
A estimativa da vida caracteristica ou parsmetro de escala, b, 6 igual 
ao valor de t correspondente ao ponto sobre a reta resultante de sua 
intersseq% corn a linha horizontal que possa par PSo (ti) = 63%. 
Para estimar a vida media, mF, usa-se o grafico 6.3. Este fornece o ~5 
lor de F (t) quando t=mF para diferentes valores de k. Portanto par '5 
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fercncia a escala das ordenadas de F(t) na Figura 3, riiF pode ser lido a 
partir da curva original (e nao da reta derivada de 2) no eixo das abs 
- 
cissas. 
A curva original tambern podera ser utilizada para estimar a fra& 
F(t), da popula+, corn tempo atG! a falha menor que urn dado valor de t. 
Outros tipos de papeis graficos disponiveis, embora basicamente simila 
- 
res, podem utilizar m;todos diferentes para estimar OS parsmetros. 
/FIGURA~ 
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NBR 9321/1986 15 
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7.2 L&tribui&io noma 
A funC$ densidade de probabilidade para a distribuiyao normal 6: 
(t - mF)* 
f(t)= ' e - 2 o2 
oh-7 
~sta distribuiG:o 6 Gtil para o c2lculo do tempo at6 a falha desde que mF>30. 
7.2.1 r&mk? n&rico 
7.2.1.1 Xstimativa par ponto 
A estimativa num&rica do tempo mgdio at6 a falha e do desvio padrao apresentada 
a seguir 6 apliczvel somente quando todos "n" Ttens ensaiados falharem.' 
a) a estimativa par ponto do tempo m6dio at< a falha <: 
OS limites de confiansa para o tempo media verdadeiro at6 falha, mF, corn urn ni - 
vel de confianga de 90% s& indicados adiante. Ver Tabela 1 para 05 valores da 
distribuisk de Student tp (v). 
it 
F 
- to,q5 (n-l). Jy 
n 
< rnF < iiF + to,y5 (n-1). ; 
rnF > nlF - to990 
b) interval0 de con 
a) interval0 de confiansa unilateral, limite inferior: 
(n-l) ,_e 
n 
fianqa bilateral: 
mF 
- to,95 (n-1) 
7.2.2 MZ?todo grcifico 
0 &todo grifico 6 baseado no papel de probabilidade normal. Esse papel 6 feito 
de tal forma que a fun@ distribui$k acumulativa dos tempos at6 a falha, que 
segue uma distribuigk normal, se transforma em uma linha reta (ver Figura 4). E 
aplicsvel tamb6m ao case em que nem todos os ;tens falhem. 
OS valores observados, ti, 520 locados nos pontos correspondentes aos valores da 
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NBR 9321/1986 17 
categoria mediana P50 (ti), na escala F (t). OS valores da categoria mediana po 
dem ser encontrados nas Tabelas 5 e 6, 
i-0 3 
ou aproximadamente pela relar$Io ---L, on 
n+0,5 - 
de “n” 6 o numero de itens em ensaio. 0 exemplo da Figura 4 assume uma amost ra 
para ensaios corn n=lO e corn o termino do ensaio depois de r=8 falhas. Em tal ca 
- 
so, quando o ensaio termina antes que todos os itens tenham falhado, somente 05 
valores da categoria mediana ate i=r, inclusive, sao locados. 
A linha a ser traGada deve ser determinada principalmente pelos pontos entre as 
probabilidades de 20% e 80%. 
A estimativa do tempo kdio at6 a falha, mF, < igual ao valor de t, no ponto so 
bre a reta, que tern uma ordenada igual a 50%. 
A estimativa do desvio padrao, 2, 6 igual 5 diferenga entre o valor de t, no pan - 
to sobre a reta, que tern uma ordenada igual a 84% e o tempo mcdio estimado ate a 
falha. 
A r-eta ajustada pode tambern ser usada para estimar a fraqao da popula+o abaixo 
ou acima de urn dado tempo at6 a falha. 
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18 NER 9321/1986 
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NBR9321/1986 19 
8 TAXA DE EXIT0 
A taxa de &ito C? a probabilidade de que urn item desempenhara uma funq5o requeri 
- 
da, ou de que uma tentativa ters sutesso sob determinadas condi@es. 
Nos ensaios para determinask da taxa de Gxito, os itens ou tentativas sao clas - 
sificados coma tendo falhado ou coma nao tendo falhado. 0s itens reutilizados po 
dem ser reparados entre tentativas sucessivas, desde que seu estado e seu desem - 
penho sejam os mesmos no come~o de todas as tentativas. A estimativa por ponto 
(taxa de &ito observada) e o interval0 de confianGa para a taxa de &ito sao in - 
dependentes da maneira pela qua1 o ensaio 6 terminado: em urn niimero determinado 
de tentativas, de sucessos ou de falhas. 
8.1 Estimativa pm ponto 
A estimativa por ponto da taxa de cxito 6 igual ao nimero de gxitos dividido pe 
- 
lo nkero total de tentativas ou itens em ensaios: 
n-r 
R =- 
" 
8.2 IntemnZos de confimq 
0s limites de confi.anFa para a taxa de &ito verdadeira, R, corn urn nivel de co" 
fia"2a de go%, baseados "a distribui@o binomial, sao dados a seguir: (ver Tabe 
- 
las 3 e 4 para os valores da distribuicao de F.) 
a) interval0 de confianga unilateral, limite infeior: 
R> 
n-r 
n-r+(r+l)fo,qo (v, ,v,) 
corn: "1 = 2 (l-+1) e "2 = (n-r) 
b) interval0 de confiansa bilateral: 
n-r <R< (n-r-+1) 
Fo,qs (‘JI,w) 
n-r+(r+l)Fo,s5 (v,,v,) r+("-r+l) Fo,q5 (v, ,v,) corn : 
v1 = 2(r+l) e "2 = 2 (n-r) para 0 limite inferior e 
v1 = 2("-r+l) e v2=2r para 0 limite superior. 
Nos graficos de 6.1 e 8.2 s% apresentados nomogramas para determina$So dos in - 
tervalos de confianqa unilateral e bilateral da taxa de gxito. OS nomogramas sao 
baseados no nirmero total de itens em ensaios ou tentativas, n, e no ntimero total 
de falhas observadas, r. 
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20 NBR 932111986 
Entrar corn o valor r/n nas abscissas do nomograma adequado. Subir verticalmente 
at6 a curva marcada corn o nknero de falhas observadas, r. Em seguida deslocar-se 
horizontalmente at& a5 ordenadas para ler 05 limites da taxa de faSha relevante, 
Q. 
OS limites de confian$a da taxa de &it0 sao OS complementos destes valores, is - 
to 6: 
R = 1-Q 
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NBR 9321/1986 
ANEXOA-TABELAS 
21 
Sib dadas a seguir, as tabelas da distribui$% “t”, de Student. dos fractis das 
distribui@es X2 e F da Categoria Mediana. 
TABELA 1 - Distribui@o 3”. de Student 
Graus de 
I i berdade 
v 
2 1,89 2,92 
3 1,64 2,35 
4 I,53 2,13 
5 1,4a 2,02 
6 1 ,44 I,94 
7 1,41 
a 1.40 
9 I,38 
10 I,37 
12 I,36 
1,89 
I,86 
I,83 
I,81 
I,78 
t0,90 
(VI 
t0 ,95 
(v) 
Graus de 
I iberdade 
v 
to,9o 
(v) 
14 1,34 
16 1,34 
la 1,33 
20 I,33 
25 1,32 
30 1.31 
40 I,30 
60 1,3o 
100 I,29 
m 1,28 
t0,95 
(VI 
1,76 
1,75 
1,73 
I,72 
I,71 
I,70 
1,6a 
I,67 
1 ,66 
1,64 
flota: A interpola$ao linear para valores intermediaries de v 6 suficientemente 
preci sa. 
/TABELA 2 
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22 NBR 9321/1986 
TABELA 2 - Fractin da dirtribui@ de 2 
Graus de 
Ii berdade v (A) 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
16 
18 
20 
22 
24 
26 
28 
;; 
34 
36 
38 
40 
42 
50 
2: 
62 
70 
iii, 
82 
90 
92 
100 
102 
110 
112 
120 
122 
200 
x20,05 (v) 
0,103 
0,711 
1,635 
2,733 
3,94 
5,226 
6,571 
7,962 
9,39 
IO,85 
12,34 
13.85 
15,38 
16,92 
18,49 
20,09 
21,7 
23,3 
24,91 
26,51 
28,16 
34,76 
36,45 
43,19 
44,9 
51,74 
53,47 
60,39 
62.14 
@;I3 
70,89 
77,93 
79,74 
86,96 
88,77 
96 
57,81 
168,28 
X2 0,90 (v) 
4,605 
7,779 
IO,65 
13,36 
15,98 
18.55 
21,06 
23,54 
25,99 
28,41 
30.81 
j3;2 
35,56 
37.92 
40,26 
42,57 
44.88 
47;19 
49,5 
51,81 
54,08 
63,17 
65,42 
74.4 
j6;63 
85,53 
87374 
96,58 
98,78 
107,57 
109.76 _.. 
118,5 
120,65 
129,25 
131,4 
140 
142,15 
226,02 
x2 “,95 (v) 
5,991 
9,488 
12,59 
15,51 
18,31 
21,03 
23,69 
26,3 
28,87 
31,41 
33.92 
36,42 
38,89 
41,34 
43,77 
46,17 
48,57 
50,96 
53,36 
2:: 
67:51 
69.82 
7$;08 
81,37 
go,53 
92,8 
101,88 
104.13 
113115 
111;39 
124,34 
126,53 
135,3 
137,5 
146,27 
148,46 
233,99 
(A) Para valores de v acima de 200, usar a formula: 
x2 P 
(V)' (Z - J)' 
Onde: Z 6 a porcentagem correspondente 2 
2 
distribuiG& normal e dado no quadro 
abaixo: 
Nota: A interpolaqao linear para valores intermediaries de v 6 suficientemente 
precisa. 
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23 
TABELA 3 - Distribui#o F - Fractis de 0.90 
>" $ 2 
rn 4 
2 5 6 
5 8 
4 '0 
.g 12 
: 14 
i 16 
.- 
- I8 
4 20 
; 30 
CT 40 
60 
120 
m 
L 
-L- 
2 4 6 8 
- 
3,oo 
4,32 
3,46 
3,ll 
2,92 
2,81 
2,73 
2,67 
2,62 
2,59 
2,49 
2,44 
2.39 
2935 
2,30 
- 
9,24 9,33 9,37 
4,ll 4,Ol 3,95 
3,l8 3,05 2,98 
2,81 2,67 2,59 
2,61 2,46 2,38 
2,48 2,33 2,24 
2,39 2,24 2,15 
2,33 2,18 2,ov 
2,29 2,13 2,04 
2,25 2,09 2,00 
2,14 1,98 1,88 
2,ov 1.93 1,83 
2,04 I,87 1,77 
1,vv 1,82 I,72 
I,94 l,77 1,67 
- 
I libe ade d 1 ume t-i 
10 20 30 40 66 
3,39 9,44 9,46 
3,92 3,84 3,82 
2,94 2,84 2,80 
2,54 2,42 2,38 
2,32 2,20 2,16 
2.19 2,06 2,Ol 
2,lO 1,96 I,91 
2.03 ',89 1,84 
1,98 1,84 I,78 
I,94 ',79 I,74 
1.82 1,67 1,61 
1.76 l,61 l,54 
1,71 1,54 1,48 
1,65 l,48 1,4l 
1,60 1,42 l,34 
9,47 9,47 
3,80 3,79 
2,78 2,76 
2,36 2,34 
2,13 2,ll 
1 ,vv I,96 
I,@ 1,86 
1,81 1,78 
1,75 1.72 
I,71 1,68 
I,57 I,54 
1,5l l,47 
120 m 
9,48 9,49 
3,78 3,76 
2,74 2,72 
2,32 2,29 
2,08 2,06 
1,93 I,90 
1,83 l,80 
I,75 1,72 
I ,69 I,66 
1,64 1,61 
I,50 1,46 
1,42 I,38 
I,35 ',29 
I ,26 ‘,I9 
1,17 1,oo 
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
24 NBR 9321/1986 
TAEELA 4 - Distribui@o F - Fmtir de 0.95 
2 
>" 4 
i 6 
: 8 
.- 
g 10 
5 12 
$ 14 
4 16 
: 18 
k 
f 20 
% 
30 
40 
u1 
z 60 
a 120 
m 
>- 
1, 
- 
2 
- 
9,oo 
6,9'+ 
5,14 
4,46 
4,lO 
3,89 
3,74 
3,63 
3,55 
3,49 
3,32 
3,23 
3,15 
3,O7 
3,oo 
- 
1 
4 
Gl - 
6 
- 
9,20 9,30 
6,39 6,16 
4,53 4,28 
3,84 3,58 
3,48 3,22 
3,26 3,oo 
3,ll 2,85 
3,o1 2,74 
2,93 2,66 
2,87 2,60 
us de liben de do 
8 10 20 
9,40 9,40 9,40 
6,04 5,% 5,8o 
4,15 4,06 3,87 
3,44 3,35 3,15 
3,O7 2,98 2,77 
2,85 2,75 2,54 
2,70 2,60 2,39 
2,59 2,49 2,28 
2,51 2,41 2,19 
2,45 2,35 2,12 
2,27 2,16 I,93 
2,18 2,08 1,84 
2,lO 1,99 1,75 
2,02 I,91 1,66 
1,94 1,83 1,57 
J! 
1 
.Jmerac _ v. 
30 40 60 120 m i- 
9,5o 
5,75 
3,81 
3,08 
2.70 
2,47 
2,31 
2,19 
2,ll 
2,04 
1,84 
I,74 
1,65 
1,41 
1,46 
19,5O 
5,72 
3,77 
3,04 
2,66 
2,43 
2,27 
2,15 
2,06 
1,99 
1,79 
I,69 
1,59 
I,37 
I,39 L 
19,50 
5,69 
3,74 
3,Ol 
2,62 
2,38 
2,22 
2,ll 
2,02 
1,95 
1,74 
1,64 
1,53 
1,32 
1,32 
1 9,5O 9,50 
5,66 5,63 
3,7O 3,67 
2,97 2,93 
2,58 2,54 
2,34 2,30 
2.18 2,13 
2,06 2.01 
1,97 I,92 
1,YO 1,84 
1,68 1,62 
I,58 1,51 
1,47 1,39 
1,26 1 ,lY 
1,22 1,oo 
A interpolagk linear para valores intermediaries de v 6 suficientemente precisa. 
TABELA 5 - Categoria mediana (~50 em porcentagem) - Freqii6ncias acumuladas para tamanho de amostra de n = 1 a n = 26 
TABELA 6 - Categaria mediana (P50 em porcentagem) - FrqiSncia acumulada para tamanhos de amostm de n = 27 a n = 50 
Tamanho da amostra 
TABELA 7 - Multiplicadorer para obtenqh dor limbs de confianqa 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
I8 
19 
20 
;; 
2; 
45 
50 
2: 
Tabela de multiplicadores para MTTF/MTBF 
M (5%) M (90%) II (95%) 
19,417 
5,625 
3,669 
2,927 
2,538 
2,296 
2,13 
2,009 
1,916 
1,843 
1,782 
1,732 
I,69 
1,654 
1,622 
1,592 
1,566 
1,545 
1,525 
1,508 
1,438 
1,389 
1.352 I~~ 
1,324 
1,301 
1,283 
1,264 
1,249 
0.257 0.21 
0,3% 0;317 
0,449 0,386 
095 0,436 
0,539 
0,569 
0,594 
0,615 
0,633 
0,649 
0,662 
0,674 
0,685 
0,695 
0,704 
0,713 
0,72 
0,727 
0,733 
0,739 
0,764 
0.782 
oij97 
0,809 
0,819 
0,828 
0,837 
0,844 
0,475 
0,506 
0,532 
0,554 
0,573 
0,589 
0,604 
0,617 
0,628 
0,639 
0,649 
0,658 
0,667 
0,674 
0,681 
0,688 
0.716 
o;j37 
0,754 
0,768 
0,779 
0,79 
0,8 
0,808Tabela de multiplicadores para a taxa de falhas 
M (5%) M (90%) 
0,051 3,889 
0,177 2,662 
0,272 2,226 
0,341 1,997 
0,394 1,854 
0,435 1,755 
0,469 1,681 
0,497 1,624 
0,521 1,578 
0,542 I,54 
0,56 1,509 
0,577 1,481 
0,591 1,458 
0,604 1,437 
0,616 1,419 
0,627 1,402 
0,638 1,387 
0,647 1,375 
0,655 11363 
0.662 
Oj695 
1,351 
1,308 
0,719 1,277 
0,739 1,253 
0,754 1,234 
0,768 1,219 
0,779 1,206 
0,79 1,194 
038 1,184 
M (95%) 
4,743 
3,147 
2,584 
2,288 
2.103 
1:97i 
1,878 
1,804 
1,745 
1,695 
1,655 
1,62 
1,59 
1,563 
1,538 
1,517 
1,498 
1,482 
1.467 
1;452 
1,396 
1,356 
1,325 
1,301 
1,282 
1,265 
I,25 
1,237 
IANEXO B 
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
m NBR 9321/1986 
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
NBH 9321/1986 29 
ANEXO I3 - NOMOGRAMAS 
6.1 Nomograma para determinar o limite de confianqa inferior, de 90%. para a ta 
xa de Gxito R(R=l-Q), dada pelo limite superior de Q. 
0,Ul 
U,UOI 
r = nGmero de falhas 
" = nijmero total de itens em ensaio ou tentativas 
r/n = taxa de falhas 
Q = limite de confianGa da taxa de falhas. 
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
30 ~tlR9321/1986 
8.2 Nomograma para determinar o interval0 de confianqa bilateral de 90% para a 
taxa de Gxitos R(R=l-Q), dada pelos limites superior e inferior de Q. 
Q 
1 
U,l 
0,Ol 
O.UOl 
; 
7 
4 
r = nimero de falhas 
" = numero total de itens em ensaio ou tentativa. 
r/n= taxa de falhas 
Q = limite de confian$a da taxa de falhas. 
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NBR 932111986 31 
6.3 ~omograma para determinar F(t) em t = mF para valores dados de k na distrL 
buiqao Weibull. 
F (t) 
1,o 
para t = mF 
0.3 
0.7 
0.6 
0.5 
0.4 u, 1 d.2 0,3 u,4 095 1 2 .! 4 
~alores de k 
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32 NBR9321/1936 
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NBR 9321/1986 33 
ANEXO C - DETERMINACAO DO TEMPO RELEVANTE ACUMULADO DE ENSAIO 
C.1 0 tempo relevante de ensaio de cada item pode ser medido por indicadores de 
tempo decorrido, associados a cada urn deles. Neste caso, o tempo relevante acumu 
- 
lado de ensaio Tk, na k - esima falha, 6 a soma das leituras do indicador. 
T 
" t 
k =,,,& k,m 
Onde: 
n = niimero total de itens em ensaio; 
tk,m 
= tempo relevante de ensaio do item de ordem m at& a k-6sima falha den - 
tre 05 itens em ensaio. 
C.2 0 tempo relevante acumulado de ensaio T* em urn ponto de decisao n% coinci - 
date corn a falha 6: 
T* = ” t* mz, m 
Onde: 
t* = tempo de ensaio indicado do item de ordem m at6 o ponto de decisao. 
m 
C.3 0 tempo relevante de ensaio 6 registrado por outros meios; o tempo relevan 
- 
te acumulado de ensaio Tk, na k-Gsima falha, dew ser calculado pela formula da 
- 
da a segllir. Esta inclui o tempo relevante acumulado de ensaio at6 a falha k-l e 
o tempo relevante de ensaio decorrido entt-e as falhas k-l e k. 
n 
Tk = Tk - 1 + &Zjtrn,j 
Onde: 
n = nfimero total de itens em ensaio; 
t 
m,j 
= j-esimo period0 de tempo relevante de ensaio do item de ordem m de 
- 
pois da falha k-l, dentre itens em ensaio. 
C.4 As interrup@es do ensaio podem ser causadas pela falha k-l ou por quais - 
quer outra5 raz&s Gcnicas ou administrativas. 
0 niimero j, de interrup@es pode variar de item para item. 
A Figura 5 exemplifica a numera+ dos periodos de tempo relevante de ensaio. 
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34 NBR9321/1986 
nGmero de item Tempos relevantes 
ensaiado ca I ha 
’ T ““’ 
, tl.l ] 
de ensaio 
L-Q-4 I tl.l+ t1,2 
I 
I 
2 
t2,2 ‘2,3 ’ 
I 4 t-j t2,1 + 5,2 + t2,3 
I 
I t t 
I 0 
m 
t 
II, : I m,2 
! t 
*t 
/ 
m,l 
+ t 
I\‘\ 
ma2 
I Falha 
I t “,I ’ t 
” 
I 
“71 
I 
I Tempo cronol6gico 
Falha k-i Falha k 
C.5 0 tempo relevante acumulado de ensaios, T*, “urn ponto de decisao nao coinci - 
dente corn “ma falha, 6, neste case: 
T =Tr+: x. t 
m = , J m,j 
Onde: 
T 
r 
= tempo relevante acumulado de ensaio at6 a iltima falha antes do ponto 
de deci 5%; 
t 
m,j 
= j-&imo periodo do tempo relevante de ensaio do item de ordem m de - 
pois da iltima falha, dentre OS itens em ensaio. 
c.6 As f6rmulas dadas sao aplicaveis tambGm a equipamentos nao reparados, somen - 
te que neste case nao existe o tempo relevante de ensaio depois da primeira fa - 
Iha de cada i tern. 
IMPRESSA NA ABNT - SAO PAUL0 
	licenca: Cópia não autorizada