Abnt - Nbr 11157 - Interpretação Estatística de Dados

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ABNT-AssociaGBo 
Brasileira de 
Normas TBcnicas 
CDU: 621.3519.246 Iwwgo ( NBR 1 1157 
Interpreta@ estatistica de dados - 
Pothcia de testes relacionados 5s 
mkdias e varikcias 
Orlgem: Proieto 03:056.02-012:8G 
CB-03 - Comite Brasileiro de Eletricidade 
CE-03:056.02 Comissao de Estudo de Controle e Certifica@o da Qualidade 
NBR 11157 - Statistical interpretation of data Power of tests relating to means 
and variances - Procedure 
Descriptor: Quality control 
Esta Norma foi baseada na IS0 349411976 
Palavra-chave: Controle de qualidade 41 ptiginas 
2 Documentos complementares 
3 Defini@es 
4 Generalidades 
IS0 3534 Stat~s;~cs - Vocabulary and symbols 
SCompara~BodeumamBdiacomumvalordado(vari~ncia 
conhecida) 
3 Defini@es 
6Compara~8odeumamBdiacomumvalor dado(varikcia 
desconhecida) 
OS termos t&nicss util~zados nesta Norma &So defini- 
dos ~a NL3R 10526 
7 Compara@o de duas mbdias (varidncias conhecidas) 
8Compara~.Sodeduasmedias(varitinciasdesconhecidas. 
masque podem sw assumidas como iguaisi 
gCompara~Hodeumavari8ncia,oudeumdesvio-padr8o. 
corn urn valor dado 
4 Generalidades 
IO Compara$Ho de duas varijncias ou de dois desvios- 
padrao 
ANEXO A - Nota histdrica 
ANEXO 6 Figuras 
ANEXO C -Tab&s 
4.1 As conui@cs df aplina(-ko desta Norma So id&Was 
Bs estabelacidas na NBR 1 1 1% 0s testes apresentados 
sSov$ idossbadistr,bui~~od~vari~velaleat~riaobservada 
for assurr da c,zmo ~?ormal em cada populaqio (ver 
NBR 11 154). A NW 11 154 ab:~al:ga apenas o risco do ti- 
po I (ou ,:,v.s de slgnlfic8ncla). enquanto a presenta Nor- 
ma aborda o rIsco,do tlpo II e a potencia do teste. 
1 Objetivo 
Esta Norma especificaas tknicas para a determina$Zo da 
potencia de testes relacionados is mkdias e vori%lcias, 
complementando a NBR 11154. 
2 Documentos complementares 
Na aplmqc30 d&a Norma 6 necessSr10 cons~ltar: 
NBR 10536 Estatistica Terminologia 
NEJR 11154 InterpretaC~oestatis:icadedados -T&- 
4.201iscodo t,pol, dwgrwlo par U, Ba probaollidadede 
SB rejaitar. co cas3 dos testes bilateraik, a hip&se nula 
ij1 ?titasa sob l&e) quando esla for verdndeira ou, no ca- 
so dos testes urlllatwais. o valor mfiximo desta probabi- 
Iidade. Anao rejtl@o da hi@tzse nula condur. na prhtica, 
3 ;icwla~Cio 1~ Il!pstts~, sent que tsso s~yrlitiq~e que a hi- 
p3kse se@ ‘vardacleira (\“er NBR 17 154). Ua mesma for- 
ma. c r~sco do tlpo Il. desiyrlado par 1%. e a probablltdade 
de rn% se refeitar a hipdtese n~la quando esta for falsa. 0 
co~n,‘mnenro iii. ruobal,ll IladE. de iometer 0 err0 da se- 
Sundz. especie (1 Ii! e a ‘“FotWcia” do t&e (ver Anexo A). 
4.3 Enquanto o valor do risco do tlpo I 6 escolhido pelo 
coxumidor em fun@0 das conseq&ncias que poderiam 
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2 NBR 11157/l 990 
edvir deste risco (normalmente empregam-se OS valores 
a = 0.05 ou u = 0,Ol). o risco do tip0 II depend% da hipbte- 
se verdadeira (sendo falsa a hipdtese nula H& isto 8. 
depende da hipW%e alternativa B hipbtese nula. Na 
compara$W da m&die de uma popula@ corn urn dado 
valor m,, por exemplo. uma alternativa especifica 
conesponde a urn valor da media da popula$80 igual a 
m f rnO, sendo o desvio m - m, t 0. Como regra geral. em 
testes de compara@o de medies e varidncias. es 
altemativas sio definidas pelos valores que podem ser 
assumidos pela estatistica X.. 
4.4 A curve caracteristlca de operaq% de urn teste B a 
curve que mostra o valor IS do risco do tipa II coma uma 
fun@o do p&metro qua define a alternative; 13 6 lambkl 
depend&e do valor escolhido pare o risco do tipo I, do(s) 
tamanho(s) da(s) amostra(s) e da natureza do teste (bila- 
teral ou unilateral). Nos testes de compara~tio de mMas. 
[i B tambern dependente do desvio-padr&o da(s) po- 
pula~8o(bes).Ouandoestefordesconhecido,orisco~jn~o 
deve ser conhecido corn exatidio. 
4.5 As curves caracteristicas de opera~~o permitem que 
OS seguintes problemas sejam resolvidos: 
a) problema 1: pare uma dada alternativa e urn dado 
tamanho da amostra. determinar a probabilidade Ii 
de nSo rejeitar a hip6tese nula (rlsco do tip0 II): 
b) problema 2: pare uma dada alternativa e urn dado 
valor de 13, determinar o tamanho da amostra e 
selecionar. 
4.51 Embora urn8 Monica s&k de curva bastasse pare 
resolver ambos OS problemas. o Anexo B apresenta duas 
tiries de curves de forma a facilitar es aplica$&s pr8ticas: 
a) figuras de numera~80 lmpar (1. 3. 5. 25. 27). 
dando o risco Ii em fun& da alternativa. pare 
(1 = 0.05 ou II = 0.01 e pare diferentes valores de 
tama”ho(s) de amostra; 
b) figuras de numera+ par (2.46, ,26,26), dando 
o(s) tamanho(s) de amostra a ser(em) selec~ona- 
do(s) em fun@o da alternativa. pare u = 0.05 ou 
u = 0.01, e pare diferentes valores do risco 1). 
4.6 E importante o signlficado pratico da interpret&a de 
estatlsticasatravesdetestesdehip6tesesecurvas.Ouan- 
do se estb testando uma hip6tese corn0 m = m, (ou 
m, = m,), geralmente deseja-se saber se (, possivel con- 
cluir corn pouco risco de eno. que m nz%~ difere muito de 
m, (ou m, nk dlfere muito de m,). Al&m disso. pare o ris- 
co do tipo I associado ao teste. C arbitraria a escolha do 
valor u = 0.05 o” u = 0.01. ConseqUentemente. pode ser 
~t~lexam~“arqualseriaoresultadodotestecomvaloresde 
m pr6ximos de m0 (w valores da difererw D = m, rn; 
pr6ximos a zero). eventualmente utilizando ambos os 
velores do risco do tipo I, u = 0.05 e LL = 0.01, e. sob estas 
circu”st8ncias. avaliar, atravks das ~urvas caracteristicas 
de opera@. o risco 13 associado a diferentes alternativas. 
4.7AscurvasdadasnoAnexoBs~odescritasediscutidas 
na NBR 11154. ATabela 1, do Anexo C. apresenta de- 
talhadamente a correspond&ncia entre es diferentes s& 
ries de curves, OS problemas que estas permitem resolver 
e a rela$Ho entre OS capitulos desk Norma e as Figuras 
conespondentes de NBR 11154. 
5 Compara@o de uma media corn urn valor dado 
(varihcia conhacida) 
VW Figura 1 da NBR 11154. 
5.1 Nota#io 
A nota+ utilirada 6: 
a) ” = tamanho da amostra; 
b) m = media da popula$io; 
c) m, = valor dada 
d) o = desvic-padrao da popula$Ho; 
e) u = ntimero de graus de liberdade: 
f) i. = estatistica para 0 t&e. 
5.2 Hip6tere sob teste 
Para urn teste bilateral, a hip6tese “ula 6 m = m,:,. corn a 
hip&es? alternatlva correspondendo a m z m,. Para urn 
t&e unilateral, a hipbtese nula 8: 
a) m 5 m,. corn a hip6tese alternativa corresponden- 
do a m > mu; ou 
b) m t m, corn a hip&ese altemativa corresponden- 
do am < m,. 
5.3 Problema 1: sendo dado n, determiner o risco Ij 
5.3.1 Pare diferentes valores de m, a hipbtese alternativa B 
definida pela estatistica j. (0 < i. < -). corn: 
a)j.= $5 Im-“,I 
(teste bilateral), 
(r 
hip&se alternativa m c mc: 
b)i= 1’” (m -~m,,J (teste unilateral, m 5 mrJ; 
n 
hipOk% alternativa m > ma; 
-yT;;(m-m,) 
c1i.= 
0 
(teste unilateral. m 2 mJ, 
hip6tese alternativa m < m,. 
5.92 De acordo corn o caso. a Figura a ser consultada B: 
a) Figura 1, do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (11 = 0.051: 
b) Figura 3, do Anexo B: (t&e bilateral) risco do ti- 
po I (U = 0.01): 
c) Flgura 5, do Anexo I3 (teste unilateralj risco do 11. 
po I((1 = 0.05): 
d) Figure 7. do Anew B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I((1 = 0~01). 
Equipe Auditora
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NBR 11157/l 990 3 
5.4 Problema 2: sendo dado p, determiner o temanho 
da amostra n 
E..&* Para os diferentes valores de m. a hipbtese slternati- 
va 6 definida pela estatista i. (0 c i. c -j. corn: 
a) i = 
Im-m,I 
(teste bilateral), 
Is 
hip6tese altemativa m f m,; 
blk.= rrna 
0 
(teste unilateral. Ill <IT”). 
hip6tese altemativa m > m,: 
m-m> 
C)j.E -~ (teste unilateral. m 2 m,). 
CT 
hip6tese altemativa m < m, 
e.4.2 De acordo corn o case. a figura a ser consultada 8: 
a) Figura 2. do Anew B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (U = 0,05); 
b) Figura 4. do Anexo B: (teste bilateral) risco do tl- 
po I (u = 0.01); 
c) Figura 6. do Anexo B: (testeunilateral) risco do II- 
po I (u = 0.05); 
d) Figura 0. do Anexo B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.01). 
tithada) que conesponde ao valor dada (3. 
5.5 Exemplo 
Urn fornecedor de fio de algodHo garante. para cada urn 
dos lotes que libera, uma carga de ruptura media igual ou 
superior a m, = 2.30 N. 0 consumidor concorda em acei- 
tar os lotes apenas ap& ter verificado. em peda~os de fio 
de urn dado tamanho. tirados de bobinas diferentes. se o 
teste unilateral. efetuado coma descrito na NBR 11154. 
n&o leva a rejei@o da hipbtese m 2 m0 = 2.30 N, escolhew 
do-se o valor de u E 0.05 para o risco do tipo I(<: 4 portan- 
to, aqui, o “risco do fornecedor”). 0 consumidor sabe, par 
experifincta. que a mCdia dos diferentes lotes pode variar. 
mas a dispersk das cargas de ruptura dentro de qual- 
quer late B praticamente constante. corn urn desvio-pa- 
dr&o o = 0.33 N. 
5.5.1 Oconsumidorpretendeselecionarn=lObobinaspor 
partida e quer saber a probabilidade de n& rejeitar 8 
hip6tese m 2 2,30 (e, portanto, aceitar 0 lote) quando na 
realidade B carga de ruptura m&dia seja m = 2.10. A figura 
a SRI consultada B a Figura 5. do Anexo B. 0 valor da 
estatlstica >. para m = 2.10 8: 
l= fi(m-~Q = mm i23O-‘L10) 
0 0.33 
5.5.1.1 A reta u = - dti para 100 1% o valor de.36. donde: 
f3 = 0.36 ou 36%. 
ux? Sendo este valor de p considerado muito grande pe- 
lo consumidor, este decide selecionar uma amostra corn 
tamanho suficiente para que o risco [i seja redurido a 0,lO 
(10%) se m = 2,lO. A figura a ser consultada 6 a Figura 6. 
do Anexo B. curva a = 0.10. 0 valor da estatistica h para 
m = 2.10 8: 
i. = m:rn, _ 2.30 - 2.10 =o,6, - 
” 0,33 
5.5.2.1 0 valor den, lidonas retas (linhas pontilhadas), para 
p=o.ioen=22. 
6 Compara@o de uma media corn urn valor dado 
(variancia desconhecida) 
Ver Figura 2 da NBR 11154. 
Notas: a, 0 ri%o do tlp0 II, P, depend0 do valor verdadeiro o do 
desvio-pad& da popuk@o. que B desconhecido. A4 
sim, (3 s6 pod-5 Ser cOnhecld0 apraximadamente. e isto 
desde que se disponha de “ma ordem de grandeza de 
n. Nz3 fdta de qu.+“er pr&ia i”fo”,,a@o “a,,de, toma- 
se. pare n. a estimdiva s obtida da anwstra. 
6.1 Notqio 
A nota@o utilizada 6: 
a) n = tamanho da amostra; 
b) m = mCdia da popula~?~ 
c) m, = valor dado: 
d)o=desvio-padr~odapopulaC~o(quedeveser 
substituido por urn valor aproxtmado); 
e) u = mimer0 de graus de liberdade = n 1; 
fl i = estatistica para 0 teste. 
6.2 Hip6tese sob teste 
8.21 Para urn teste bilateral. a hip6tese nula B m = m,, corn 
a hip6tese alternatlva correspondendo am f m,. 
6.22 Para urn teste unilateral, a hipOtese nula 6: 
a) m 2 m,. corn a hipbtese alternetiVa correspondendo 
a m 2. m,: 0” 
b)rn~mo,comahipbtesealternativacorrespondendo 
am<m,. 
6.3 Problema 1: sendo dada n, determinar o risco p 
6.3.1 Para os diferentes valores de m, a hip&we altematl- 
va 6 dafirlida pela estatistica (0 < i. c -), corn: 
a) ;. = ?i,l!rn 5 ’ (teste bilateral) 
(3 
hipbtese alternativa m * m,3; 
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4 NBR 11157/l 990 
b)i= fi!!m-m,! (teste unilateral. m 1: m,). 
0 
hip6tese alternativa m > m,: 
c) j. = : I’i(ml% ) 
0 
(teste unilateral. m k m, 1, 
hip6tese altemativa m < m, 
6.3.2 De acordo corn o case, a figura a ser consultada B: 
a) Figura 1, do Anexo 6: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.05): 
b) Figura 3. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.01); 
c) Figura 5. do Anexo B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.05); 
d) Figura 7, do Anew 6: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.01). 
Nota: p 6 a order&a do ponto de abscissa i. da CUM II = n 1 da 
flgura aplic&vel. 
6.4 hoblema 2: send0 dado # determinar 0 tamanho 
da amostra n 
6.4.1 Paraosdiletentesvaloresdem. a hip6tesealtemativa 
B definida pela estatistica i. (0 < i. c -). corn: 
I “,- m, I 
a)?.= 0 (teste bilateral). 
hip6tes.e alternatlva m f m,: 
(m-m,) 
b)j,= (7 (teste unilateral. m < m, ). 
hip6tese altemativa m > m,: 
-(m-m,) 
C) i. = .J (taste unilateral, m 2 m, ). 
hipkese alternativa m cm, 
6.4.2 De acwdo corn o case. a figura a SW consultada 8: 
a) Figura 2. do Anexo B: (teste bilateral) risco do li- 
po I (II = 0.05); 
b) Figura 4. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
pc I (Cl = 0.01j; 
c) Figura 6, do Anero B: (tesle unilateral) r~sco do li- 
pa I ((1 = 0.05); 
d) Figura 6. do Anexo B: (teste unilateraO risco do ti- 
p I (u = 0.01). 
Nota: n 6 a ordenada do Pinto de abscissa A na cuwa que cor- 
res,Km% a0 “dor dad0 p. 
6.5 Exemplo 
OexemploBomesmoqueode5.5,masoconsumidorn~o 
sabe o valor exato do desvio-pad& das cargas de ruptu- 
ra. Ele sabe. entretanto. por experiElncia. que o desvio-pa- 
drio estd quase sempre dentro dos limites: 
o1 =0,30 e 0,=0.45 
6.5.1 Oconsumidor pretendeselecionarn = 10 bobiriaspor 
late; e deseja saber a probabilidade de n&z rejeit& a hi- 
pOtese m 2 2.30 (portanto. de aceitar 0 Me) quando, na 
realidade. a carga de ruptura mCdia for m = 2.10”~. A figu- 
ra a ser consultada B a Figura 5. do Anexo B. OS valores da 
estatistlca )., que correspondem aos valores extremes de 
(I. s30: 
jbq=fi(2.30-2.10~=2,. 
0.30 
, 
j. =fi(2,30-2.10)=,,4 
0 
0.45 
6.5.1.1 OS valores correspondentes de 100 B. lidos (por 
interp0laCLW para \i = 9. ~80 40 e 64. lsto 6: 
11, = 0.40 (OU 40%): 
Ii, = 0.64 (ou 64%). 
6.5.2 0 consumdor deseja, na hip&se mais desfavora- 
vel (o = o, = 0.45). que [j nHo exceda 0.10 (ou 10%) se 
m = 2.10. A flgura a ser consultada 4 a Figura 6, da Ane- 
xo B, c”rva Ij = 0.10. corn: 
j. = 
2.30 2.10 = o 44 
0.45 ’ 
6.5.2.1 Para [I = 0.10 e j. = 0.44. encontra-se n = 45. 
8.5.2.2 Se, ap6s inspeG& de diversos lotes. concluir-se 
que 0 desvio-pad&z est,$ estavel. 0 pode ser estlmado 
corn maior precis8o: 0 tamanho da amostra a ser retirada 
dos prbximos lotes pode provavelmente ser reduzido. 
senda mantidas as prote@es do fornecedor e do con- 
sumidor~ 
7 ComparaqQo de duas mbdias (varikcias co- 
nhecidas) 
Ver Figura 5 da NBR 11154. 
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Tamanho da amostra 
MBdia 
VarikWcia 
Desvio-padrk da diferen$a entre as media 
de duas amostras 
Ntimero de graus de liberdade 
7.2 Hip6teses sob teste 
I 
7.21 Paraumteste bilateral,ahip~tesenulaBm, =m2.com 
a hip&se altwnativa conespondendo a m, + rn2. 
7.22 Para urn teste unilateral. a hip6tese nula 6: 
a) m, s mZ, corn a hip6tesealternativa corresponden- 
do a m, > rn2; 0” 
b) m, 2 m,. corn a hipWs%alter”ativa corresponden- 
do a “I, <“I~. 
7.3 Problema 1: sendo dadoa n, e nz, determinar o ris- 
co B 
7.3.1 Para OS diferentes valores da difererya m, - m,. a hi- 
p&se alternativa C detinida pela estatistica i. (0 < ;. c -9, 
CM: 
a) i. = 
I m-m (teste bilateral) 
00 
hipbtese alternattva m, f n12: 
b) h = 
w 
Od 
(teste unilateral. m, 5 m2) 
hip&&e alternativa m, > m2; 
qi.= !T?c!x 
Od 
(t&e unilateral. m, > rn,) 
hipOtese alternativa m, < n12. 
7.3.2 De acordo corn 0 case. a figura a ser consultada.6: 
aj Figura 1. do Anexo B: (t&e bilateral) risco do.ti- 
po I ((1 = 0.05): 
b) Figura 3, do Anexo B: (t&e bilateral) risco do ti- 
pcl I (u = O,OlL 
c) Figura 5, do Anexo B: (t&e unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0,05j; 
d) Figura 7. do Anexo 6: (t&e unilateral) risco do ti- 
po I((1 = 0.01). 
Popula@o rl” 1 
I 
Popula~ao “” 2 
“1 “2 
m, m2 
O: 0: 
,, = - 
7.3.3 Quando o tamanho total das duas amostras tlver si- 
do fixado,“, t r$ =2n, amelhor efici~ncia(~~minlmojgob- 
tida corn: 
“, - 2” a7 
“I +m 
2n 0, 
“7 m +oz 
0, + G2 
j,= 21; 
I m, - m, I 
n 
7.4 Problema 2: sendo dado 13, determinar OS 
tamanhos “, e n2 
7.4.1 Usando. conforme o case. as Figuras 1. 3. 5 ou 7. a 
cwva 1) = - permite resolver 0 problema no case gwal. A 
ordenada (3 corresponde ao ponto de abscissa i. nesta 
curva. e qualquer par (n,, nJ B adequado sob a condi@o 
de qua. 
7.4.2 A amastra rmais ecanbmica (n, + n2 minim@ 6 tsl que: 
!?=!2 
a1 01 
EGWT:Equipe Auditora
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6 NBR11157/1990 
7.4.3 No case particular de oI = o2 = o, nI = nz = n, B mais 
adequado definir a hip&ese alternativa, para OS diver- 
SOS valores da diferenv m, - m2. atravks da estatistica 
A(O<i<-),com: 
I m, -Ill, I 
a)i= -~~ 
v- 
(teste bilateral). 
(J 2 
hip6tese alternatwa m, f m,; 
m, -m2 b)h= ~ ~~ 
ofi 
(t&e unilateral, m, 5 m,) 
hip6tese alternatlva m, > m2; 
C) i = 
vm, 
of2 
(teste unilateral, m, 2 m,) 
hip6tese alternativa m, < m,. 
7.4.4 De acordo corn o case. a figura a ser consultada C: 
a) Figura 2. do Anexo 6: (teste bilateral) r~sco do ti- 
po I((1 = 0.05); 
b) Figura 4. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I((1 = 0.01); 
c) Figura 6, do Anexo B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (11 = 0.05): 
d) Figura 8. do Anew B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.011. 
t~lhada) que corresponde ao valor dada B. 
7.5 Exemplo 
Urn fomecedot de fio de algodao modificou se” proces- 
so. mas. de acordo corn ?.“a declara+o, a carga de rup- 
tura mCdia permanece a mesma (m, = mJ correspon- 
dwdo m, ti antiga media e rn2 & nova. 0 consumidor 
concorda em aceitar o nova processo. parem deseja 
verificar a declara@o do fornecedor, aplicando a peda- 
px de fio de urn dado tamanho. tirades de boblnas 
diferentes, o teste bilateral da hip&ese m, = m, corn0 
desaitonaNBR11154,usando~r=0,05comovalordoris- 
co do tipo I (a B portanto. aqui. o risco do fomecedor). 0 
consumidot sabe, por experkncia, que, pata toda a pro- 
du@o do fornecedor, a dispers@ da carga de ruptura B 
praticamente constante B caracterizada por “m desvio- 
padre0 Q = 0.33. 
7.5.1 0 consumidor pretend0 selecionar 10 bobinas de 
urn late de cada urn dos dois processes. e deseja saber 
a pfobabilidade de nHo rejeitar a hipbtese m, = m, (e. 
portanto. aceitar o late do nova processo) quando na 
realidade Im, m21 for igual a 0.30. A figura a ser consulta- 
da B a Figura 1, do Anexo B. corn: 
;i= Im,-m2I 
Od 
Im.,-m,l=0.30 
7.5.1.1 A cwva u = - da Para 100 II 0 valor 47, donde 
p = 0.47 0” 47%. 
7.52 Sendo este valor conwderado yuito alto pelo 
consumidor, ele decide selecionar amostras de tama- 
nho suficiente para q”e o risco Ij seja reduzido a 0,lO 
(ou 10%) quando m, mi = 0.30. A figura a ser consultada 
B a Figura 2. do Anexo q . corn: 
j.= 
Im,-m,I 0.30 
.fii 
= 0.64 
0.33v-T 
7.5.2.1 0 valor de II, para este I, lido na reta (linha ponti- 
Ihada) para 13 = 0.10. 6” = 26. 
8 Comparasao de duas mCdias (varihcias 
desconhecldas, mas que podem ser assumidas 
coma iguais) 
8.1 Notayo 
A nota@ “tilizada 8: 
Tehmfo da amostr~ 1 ;; 1 
VariGncia (que deve ser substituida par sua estimativa) 
“2 
5 
02 
/continua 
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NBR11157/1990 7 
Popula.$o rlQ 1 
Nirmero de gnus de liberdade 
(2 (fl 1). se “1 = “? = n) 
Desvio-padrso da diferenqa entre as m& 
dias das duas amostras 
8.2 Hip6tese sob teste 
8.2.? Paraum testebilataral. a hipfksenula Bm, =rn2. corn 
a hip&ese alternativa correspondendo a m, f m2 
8.2.2 Para urn teste unilateral, a hip6tese nula 8: 
a) m, s m,. corn a hip&e%? alternativa corresponden- 
do a m. > rn2; ou 
b) m, 2 rn2, corn a hip6tese alternatka conesponden- 
do a m, < m2 
8.3 Problema 1: sando dados n, e n,, determinar o 
risco p 
8.3.1 Para OS diversos valores da diferencn m, ml. 3 hi- 
p6tes.e alternativa 6 definida pela estatistica ;\ (0 < I. < -), 
CXXll: 
a) i = 
Im,-m,l 
~ (t&e bilateral) 
hip6tese alternative m, s m,: 
hip&we alternativa m, > m2: 
c) i = 
m2-m. 
(teste unilateral, m1 > m,) 
04 
hip&se alternativa m, < m,. 
8.3.~ De acordo cam o case. a figura a ser consultada 6: 
a) Flgura 1, do Anexo 8: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (u = o,osj; 
b) Figura 3, do Anew B: (teste bilateral) r~sco do tl- 
po I (u = 0.01): 
c) Figura 5. do Anexo 6: (teste unilateral) risco do ti- 
po I((1 = 0.05); 
d) Figura 7. do Anexo B: (teste unilateral) risco do.& 
po I(u = 0.01). 
,, = n., 4 n2 2 do con,unto adequado. 
8.3.3 Quando o tamanho total das duas amostras tiver 
sido fixado, n, + n2 = 2n, a melhor efici6ncia (15 minimo) 
6 obtida corn n, = n2 = n. Tern-se. ent8o: 
8.4 Problema 2: sendo dado p. determinar o tamanho n 
cornurn das amostras 
84.1 Para OS dlversos valores da diferenqa m, m2. a hi- 
pbtese alternativa 6 definida pela.estatistica j. (0 c i. c -), 
corn: 
a) i. = 
Im, -m21 
ofi 
(t&e bilateral), 
hipotese alternativa m, t m,: 
b) ;. = 
m, - Ill2 
af5 
(teste unilateral. m, 5 m,). 
hip&se alternativa m, ) m,: 
c) i. z 
m,-m, 
a’2 
(t&e unilateral. m, 2 m2 j. 
h!pOtese alternativa m, c m2. 
8.4.2 De acordo corn 0 case. a figura a ser consultada 6: 
a) Figura 2. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (II = 0.05): 
b) Figura 4. do Anexo B: (t&e bilateral) risco do ti- 
po I(11 = 0.01); 
c) Figura 6. do Anexo 8: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (II = 0.05): 
d) Figura 8. do Anexo 8: (t&e unilateral) risco do ti- 
po I ((1 = 0.01). 
responde ao “alw dad0 ,I 
8.5 Exemplo 
0 exemplo 6 0 mesmo de 7.5, mas o consumidor nGo sa- 
be o valor exato do desvio-pad& das cargas de ruptura. 
Ele assume, corn base em evld&lcias hiskricas. que a 
variabilidade seja a mesma para OS dois lotes (0, = 02). 
8.5.1 0 consumidor pretende selecionar 10 bobinas de urn 
lot8 de cada urn dos dois processes e deseja saber a 
probabilidade de nSa se rejeitar a hip&se tn, = rn2 (e. 
portanto, aceitar o lote do processo nova). quando na 
realidade Im, - m21 for igual a 0.30’*~. 
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a NBR11157/1990 
8.5.1.1 As medi@es efetuadas nas duas amostras can- 
duziram aos seguintes resultados: 
a)l”lote:ji,=2.176 1 (x1 X, )* = 1.2563; 
b) 2Y Iota i$ = 2.520 z (3 -ii)*= 1.3897. 
8.5.~2 A pequena diferenqa entre as duas scmas dos 
quadrados B perfeitamente compativel corn a hipdtese 
formulada de q”e $ = w? (VW NBR 11154). 
6.5.1.3 A estimatw da vari&ncia cornurn I+ Para os dois 
lotes 8: 
1.2563 + 1.3697 2.6460 
lJ2= 10+10-2 = 18 
- = 0.15 
8.5.1.4 0 limite superior de oz. ao nivel de confianqa 
1 -U = 0.95. (, (vef figura correspondents da NBR 11154). 
2 6460 $ = 2.6460 = L = 033 
s 
x,,,(l~) 9.39 
8.5.1.5 C, portanto. pwco prov(lvel que 0 seja maior que: 
o* = fO.26 = 0.53 
8.5.1.6 A figura a ser consultada B a Figura 1, do Anexo B. 
Corn: 
0.30 
i., = 
n Im,-m,l J 2 OS = 4- TX 0.53 = 1,3 
8.5.1.7 Para u = 16. encontra-se (pw interpola~B0) que 0 
valor carespondente de 100 p est.$ pr6ximo a 60: 0 limite 
superior do risco do tipo II est8 em torno de 0.60 (60%). 
8.~ 0 consumidor deseja. na hip6tese mais desfavor& 
vel(o=o,= 0.53). que (3160 exceda 0,2O(ou 20%). qua”- 
do Im, mJ = 0,30. A figura a ser consultada C a Figura 2, 
do Anexo B. curva 13 = 0,20. corn: 
i= 
I Ill, - Ill2 I 0.30 
= 0.40 
a.?5 = 0.53-C? 
8.62, Para p = 0.20 e ;. = 0,40. encontra-se ” = 49. 
8~2.2 As 2 x 50 = 100 mediGees permitem uma estima- 
$Ho b&ante exata de LT. corn base na qual a Figura 1, do 
Anexo B. deve dar urn valor aproximado do risco do tips 
II associado B altemativa m, - m, = 0.30. 
9Compara@odeumavarihcia, oudeumdesvio- 
padGo, corn urn valor dado 
Ver Figura 9 da NBR 11154. 
9.1 NotagHo 
A notaCio utilizada 8: 
a) n2 = tamanho da amostra; 
b) c+’ = vari~ncia da popula@o (o = desvio-padGo da 
populap80); 
c) c,’ = valor da vari&ncia ((TV = valor dado do desvio- 
pad&), 
9.2 Hip6tese sob teste 
8.2.1 Para urn teste bilateral, a hip6tes.e nula C 02 = 0,’ 
(o = o,, ). corn a hipdtese alternativa correspondendo a 
02 f o. (a T 00’ I. 
9.2.2 Para urn teste unilateral. a hip6tese nula B: 
a) a* c 4 (o < oo), corn a hipdtese alternativa 
correspondendo a n2 > no’@ > “,,); ou 
b) a2 2 00’ (0 2 oo), corn a hipbtese alternativa 
correspondendo a a’ < 00 (a < o,>). 
8.23 Em qualquer dos cases, a hip5tes.s alternativa C 
definida pela estatistica: 
i. = dcro. 
Sendo: 
0 < i. < -, para 0 teste bilateral; 
1 <J.<-=.para 0 teste unilateral I$ 5 0; (a ; oo): 
0 < i. c 1, para 0 teste urlilateral o2 :- a$ (0 z aC ) 
9.3 Problema 1: sendo dad0 n, determlnar o risco p 
9.3.1 De nccfdo corn o case, a figura a ser consultada c: 
a) Figura 9. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (11 = 0.05); 
bj Figura 11, do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
PO I (u = 0,01); 
c) Figura 13. do Anexo B: (teste unilateral, o2 c $1 
rrsco do t,po I (u = 0.05). 
d) Flgura 15, do Anexo 8: (testa unilaterai. n2 c: 0; ) 
r~sco do tipo I (u = 0.01); 
e) Figura 17, do Anew 8: (teste unilateral. 02 2 of ) 
risco do tipo I (u = 0.05); 
f) Figura 19. do Anexo B: (teste unilateral. 02 z? a;) 
nsco do tipo I (u = 0.01). 
9.3.2 IJ 6 a ordenada do ponta de abscissa i- na curva (n) 
da conjunto aplc&vel. 
9.4 Problema 2: sendo dada p, determlnar o tamanho 
de amostra n 
9.4.1 De acordo corn 0 case; a figura a ser Consultada e: 
aj Figura 10. do Anexo B: (teste bilateral) r~sco do ti- 
po I (CL = 0.05): 
b) Figura 12. do Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
pa I ((I = 0.01): 
cl Figura 14. do Anexo B: (teste unilateral. o2 1 0:) 
risco do tip0 I ((I = 0.05): 
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NBR11157/1990 9 
d) Figura 16. do Anexo B: (teste unilateral, o2 S 0,‘) 
risco do tipo I (u = 0.01): 
e) Figura 1.3. do Anexo B: (teste unilateral, o2 > ~2) 
risco do tipo I (u = 0.05); 
f) Figura 20. do Anew 6: (teste unilateral. oi 5 0: ) 
risco do tipo I (a : 0,Ol). 
9.4.2 n B a ordenada do ponto de abscissa i. “a curva que 
corresponde ao valor dado 15. 
9.5 Exemplo 
Urn fornecedor de fio de algod& declara ter melhorado a 
qualidade de seu processo atrav& de uma redu@o “a 
dispersao das cargas de ruptura que era anteriormente 
caracterizada por urn desk-padrso o. = 0.45 (0; = 0,20). 
Urn possivel consumidor concorda em pagar urn prew 
mais alto por esta melhora desde que ela exista realmen- 
te, mas deseja incorrer apenas em urn risco reduzido de 
achar uma falsa melhora. Decide efetuar urn teste unilate- 
ralo*>00~0,20(a~0.45),comodescr~to”aNBR11154, 
tomando LX = 0.05 ccmo risco do tipo I (II 6 portanto, aqui. 
o “risco do consumidor”). 
9s.j 0 consumidor pretend0 selec~onar n = 12 bobinas 
de urn late do process0 “OYO e deseja saber a probabili- 
dade de n8o rejeitar a hip6tese o > 0.45 (e, portanto, “80 
achar “ma melhora). quando “a realidade 0 desvio-pa- 
dreo tenha sido efetivamente reduzldo ao valor (T = 0.30. 
~~51.1 A flgura a ser consultada C a Figura 17. do Ane- 
xo B. corn a estatistica i. corn o valor de 
j. = 5 = E = 0.67 
9.5.1.2 NW CU,VW n = 12. encontra-se para 100 Ij. urn va- 
lor de aproximadamente 51, donde 15 = 0,51 w 51%. 
9.5.2 0 ccasumidor reconhece que ele cure urn risco alto 
de “80 revelar uma melhora efetivamente interessante. 
Decide, portanto, selecionar urn tamanho da amostra 
suficientemente grande para que o valor de I+ sejo redu- 
zido a 0,lO (ou 10%) para o = 0.30. 
EC?.I A figura a ser consultada C a Figura 18. do Ane- 
xo B, onde, para IJ = 0,lO e i. = 0.67, acha-se n = 29. 
IO Compara@o de duas variancias ou de dois 
desvios-padrao 
Ver Figura 11 da NBR 11154 
10.1 Nota+ 
A not&a utilizada 8: 
a) Vari&ncia da popula$tio W 1: 0: (desvio:padrGo 0,): 
b) Variancia da popula@o “‘2: nf(desvio-padtao 02): 
c) Tamanho da amostra rlC 1: “1 = II; 
d) Tamanho da amostra n”2: nz = n. 
10.2 Hipbtese sob teste 
10.2.1 Para urn teste bilateral, a hipbtese nula 4 & = o$ 
(aI = 02), corn a hip6tese alternativa correspondendo a 
0: #as (0, to,). 
10.2.1.1 As hip6teses alternativas Go definidas peia 
estatistica: 
a) ). = a/o,. para a hip(ltese alternativa o1 < 02; ou 
b) i. = ~,/a~ para a hip6tese alternativa 0, > oz. 
102.2 Para urn teste unilateral. a hipbtese “ula 8: 
a) d s o$ (o, < oJ, corn a hipdtese alternativa 
correspondendo a 0: > o$ (a, > 02) e sendo defi- 
nida pela estatistica = o,/o> (i, z. 1): ou 
b) o! > C$ (a_ 2 oJ, corn, a hip6tese alternativa 
correspandendo a o? < o$ (a. < c$ e sendo defi- 
nida pela estatistica ;. = 02in, 0. > 1). 
10.3 Problema 1: sendo dado n. determinar o risco p 
103.1 De acordo corn 0 case. a flgurn a ser consultada 6: 
a) Figura 21. da Anexo B: (teste bilateral) risco do ti- 
PO I((1 = 0.05): 
b) Figura 23. do Anexo B: (teste bilateral) risco do 11. 
po I (II = 0.01): 
c) Figura 25. do Anexo B: (teste unilateral) risco do ti- 
po I ,,I = 0,05): 
d) Figura 27, do Arlexo 6: (teste unilateral) risco do ti- 
po I@= 0.01). 
vu.2 b B a ordenada do ponto de abscissa ;. “a curva 
(n) da figura aplicavel. 
10.4 Problema 2: sendo dado p, determinar o 
tamanho n 
10.4.1 De acordo corn o case. a figura a ser consultada 8; 
a) Figura 22, do Anexo B: (teste bilateralj risco do ti- 
p” I(L1 = 0.05); 
b) Figura 24. do Anexo 8: (teste bilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.01); 
c) Figura 26. do Anexo B: (teste unilateral) risco do 11. 
po I (u = 0,05): 
d) Figura 26. do Anexo 8: (teste unilateral) risco do ti- 
po I (u = 0.01). 
10.4.2 ” & a ordenada do ponto de abscissa i. “a curva 
que corresponde ao valor dado 13. 
10.5 Exemplo 
Urn fornecedor de fio de algodao oferece dois lotes a urn 
possivel consumidor, send0 o pre~o do late 1 urn pouco 
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10 NBR 111570990 
mais alto pa ter. Segundo o fomecedor, uma dispersHo 
menor em sues cargas de ruptura. 0 consumidor con- 
corda em escalher o lote ntimero 1. desde que sue dis- 
persk seja realmente menor. porem ele deseja correr 
apenas urn pequeno risco de encontrar o, c oz quando na 
realidade o, 2 ol. 0 consumidor decide entao efetuar o 
teste unilateral o? > c6 (aI t a2). coma descrito na 
NBR 11154, tomando u = 0.05 coma deco do tip0 I (por- 
tanto u 8. aqui. ‘0 risco do consumidor”). 
10.5.1 0 consumidor pretende selecionar n = 20 bobinas 
de cede tote e deseja saber a pfobabilidade de n.So re- 
jeitar a hip6tese o, 2 o2 (e. porlanto. n&o determinar que o 
late nQ I tern uma dispersfio menor do que o lote ny 2) 
quando. na realidade, o = (213) oz. A figura a ser con- 
sultada 6 a Figura 25, do Anexo B. corn a estatistica: 
10.5.1.1 Para n = 20. encontra-se (pa interpola~?io) que 0 
valor correspondent% de 100 13 6 pr6ximo a 48, donde: 
II = 0.48 0” 48%. 
10.5.2 0 consumidor percebe que esta correndo urn alto 
rlsco de n&o reveler uma melhora efetivamente interes- 
Sante. Decide, enGo, selecionar de cada late uma amos- 
tra suficientemente grand@ pare que o valor de [I seja 
reduzido a 0.10 (ou 10%). quando o,/~~ = 2/3. A figura a 
ser consultada 6 a Figura 26. do Anexo B. 
10.5.2.1 Para 1% = 0,lO e j. = 1,5. encontra-se n = 55. 
/ANEXOS 
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ANEXO A - Nota hist6rica 
A-l OS conceitos de ‘risco do tipo I” e “risco do tipo II’ 
foram introduzidos por J. Neyman e E.S. Pearson em urn 
artigo publicado em 1928. Logo ap6s esses autores 
consideraram que o complemento da probabilidade de 
cometer urn erro da segunda espkie o qua1 eles 
chamaram de “pot8ncia” do test0 por sua capacidade de 
revelar coma significante uma altemativa especificada & 
hipdtese nula (hipbtese sob teste) - era em geral urn 
conceit0 mais fkil pare o entendimento dos usu~rlos. E 
essa pot&xia. ou a probabilidade de revelar urn dado 
desvio da hipdtese nula, que eles designaram atraw% do 
simbolo p, Al&n disso. n8o 6 necessbrio introduzir o ter- 
mo ‘pot8ncis”. Pode-se simplesmente falar da pro- 
babilidade de que urn teste estatistico, aplicado a uma 
amostra, corn urn nivel de significancia (I, revele que urn 
paremetro A da popula~Bo difere (quando verdadeira- 
mente for este case) de pelo menos uma dada quantida- 
de do valor especificado i., ou. em rela@ a ele. de “ma 
razio pelo menos igual a urn nirmero dada. 
A-2 A mudanca de nota@o foi provavelmente introduri- 
da nos Estados Umdos por usukos de aplicaq6es 
industriais da estatistica. de forma que o “risco do 
consumidor”. quando designado por 8, fosselevado em 
considera&% Simultaneamente corn 0 *‘risco do produ- 
to, - u”. 
A-3 0 simbolo Ii foi ad&do para risco do tipo II na 
ISO3534enaNBR11154,e, por isso. adatadocomomes- 
mo significado nesta Norma. Entretanto, coma este slm- 
bole 6. e sem dirvida continua sendo. usado corn ambos 
0s signlficados na literatura estatistica. 6 aconselh&vel 
determinar-se. em cads exemplo de use. o slgnificado 
atrituido a ele. 
/ANEXO B 
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ANEXO B - Figuras 
-b) 
Figura 1 - Testes bilatenis de compararaph de m6dias (rho do tlpo, a= 0,05) 
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Im, - m,l 
x’-zJT- 
“, = “e * n ltamcti ccm”nl dB# duas 
amcafml 
Figura 2 -Testes bilaterais de compra@o de medlas (rlsco do tlpo I, 0: = 0,05) 
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Figura 3 -Testes bilaterals de comparaph de mbdias (risco do tip0 I, u= 0.01) 
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” =n = n ltamanllo conwIll das duas 
am~lrasl 
I 
Figura 4 -Testes bilaterais de compara@o de m6dias lrisco do tipo I, cr= 0.01) 
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16 NBR 111570 990 
Figura 5 -Testes unilaterais de compar-qh de m&liar, (risco do tipa I, (I= 0,05) 
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Figura 6 -Testes unilaterair de cmnpara@o de medias (riaco do tlpa I, u= 0.05) 
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Figura 7 - Testes unilaterais de comparapio de m6dias (rirco do ttpo I. u = 0.01) 
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NBR 11157l1990 19 
n, i nt = n (tomnbo cornurn da* duar 
amwtmr) 
Figura 8 -Testes unilaterais de compara@o de m6dias (risco do tlpo I, a= 0,Ol) 
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20 NBR 11157/1990 
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NOR 
impress 
1 115711 
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150 21 
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22 NBR11157/1990 
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Nf3Rll 167/l WICJ 23 
I 
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4 NBR11157/1990 
-PI 
ngura 13 - feste unilateral para compara@o de “ma VariPncia corn urn valor dado (risco do tipo I, u = 0,os) 
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NBH 11157/l 990 25 
Figura 14 - Testc unilateral para compara$Ao de uma varihcia corn urn valor dado (risco do tipo I, II = 0.05) 
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26 NBR 11157/1990 
Figura 15 - Teste unilateral para comparaqh de umavad8ncia corn valor dada (risco do tip0 I, u = o,rJj) 
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N6R11157/199O 27 
Figura 16 - Teste unilateral psra compara#io de umo varikcia corn urn villor dodo (risco do tipo I, u = 0.01) 
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28 NBR11157ll990 
Figura 17 - Teste unilateral para compara@o de uma VariPncia corn urn valor dado (risco do tipo I, a = 0.05) 
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NBR 11157/i 990 29 
Figura 18 - Teste unilateral para compara$Bo de uma variancia corn urn valor dado (risco do tipo I, u = 0.05) 
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30 Nl3R11157/1990 
(1 -9) 
Figur ‘a 19 - Teste unilateral para compara@o de uma varikwh corn urn valor dada (risco do tipo I. a = 0,Ol) 
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NBR 11157/1990 31 
Figura 20 - Teste unilateral para compara@o de uma variincia corn urn valor dado (risco do tipo I, u = 0,Ol) 
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” 
” 
a 
lo 
00 
70 
w 
80 
40 
w 
ID 
W 
. 
* 
, 
32 NBR11157/1990 
Flgura 21 - Teste bilateral de compara~o de varihzla (risco do upo I, a = 0,05) 
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NBR11157/1990 33 
Figura 22 - Teste bilateral de comparaqk de varihcia (rho do tipo I. u = 0.05) 
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34 NBR 11157/l 990 
Flgurs 23 - Teste bilateral de compara#kn de var!Ancla (rlsco da tlpo I. a = 0.01) 
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NBR 11157/l 990 35 
Figura 24 - Teste bilateral de comp8raqh de varihcia (risco do tipo 1. u = 0.01) 
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36 NBR 11157/1990 
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NBR 11157/l 990 
Figura 26 - Teste unilateral de comparaqk de varikcia (risco do tipo I, u = 0,051 
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Figura 27 -To&e unilateral de cornpan+ de varkincia (risco do tipo I, a= 0,Ol) 
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39 NBR 11157/l 990 
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NBR11157/1990 39 
Figura 2.9 - Teste unilateral de comparaqh de varikcia (rirco do tipo I, a = 0.01) 
IANEXO C 
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40 NBR11157/1990 
Capitulo Referencias 
d&a As figuras da 
Norma NBR 11154 
9 
10 11 
9 
ANEXO C - Tab&s 
Tabela 1 - ReferOnciar Ps tiguras do Anexo B 
Teste 
CcmpaqHo de media 
m = m,: o conhecido 
m = m,: o desconhecido 
rn: = rn2; 0.. o2 conhecidos 
m. = m2: o. = o2 desconhecidos 
m 5 m,. m 2 m,; G conhecido 
m j m,. m 2 m,: o desconhecido 
m, j m2. m, 2 m2; oI. oz conhecidos 
m, 5 m2, m, 2 m2; G(, o,desconheci 
dos 
Compara@o de urna variancia ou de 
urn desvio-pad& corn urn valor dadc 
Compara@o de duas variaq&s 
ou de dois desvios-padGo 
Risco do 
Tlpo I 
0.05 
0.01 
0.05 
0.01 
0.05 
0.01 
0.05 
0.01 
0.05 
0.01 
0.05 
0.01 
0,05 
0.01 
l- 
f 
Refer&cias Bs figuras do Anexa B 
Problema 1 CA) Problema 2 @I 
1 
3 
5 
7 
9 
11 
13 
15 
17 
19 
21 
23 
25 
27 
2 
4 
6 
a 
10 
12 
14 
16 
16 
20 
Equipe Auditora
C6pia impressa pelo Sistema CENWIN 
NBR 11157/l 990 41 
Tabela 2 - Escalas das figuraa do Anexo B 
l- 
1. 3. 5. 7, 13. 15. 21. 23, 25, 27 LIIXW Normal 
14, 16. 22. 24, 26. 26 
17,19 
Linear Logaritmica 
Logaritmica 
2. 4. 6. 6. 16. 20 Logaritmica Logaritmica 
9. 11 Logaritmica para ;. c 1 Normal 
Linear para i. a 1 Normal 
10.12 
Abscissa Ordenada 
Logaritmfca 
Logaritmica 
Equipe Auditora
	licenca: Cópia não autorizada