RESOLUÇÕES DE EXERCÍCIOS SEÇÃO 7.5 LIVRO DO GUIDORIZZI

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Derivadas Trigonométricas 1
UM CURSO DE CÁLCULO VOL.1
HAMILTOM L. GUIDORIZZI
Exercícios Resolvidos
bit.ly/cicerohitzschky
Introdução
Neste documento irei resolver todos os exercícios da seção 7.4 do livro Um curso de cálculo
Vol.1. Este documento será o primeiro de vários que estarei publicando aqui com as resoluções
das seções deste livro de Hamiltom Luiz Guidorizzi. Espero que gostem, compartilhem e curtam!
Me motivando a fazer mais resoluções como esta. Para um contato mais direto tirar alguma
dúvida, clique no link acima e será direcionado ao meu instagram.
Nesta seção, são demonstradas, por definição, as derivadas das funções sen x, cos x e tg x.
Exercícios 7.5
1. Seja f(x) = sen x. Calcule.
(a) f ′(x)
Solução:
sen ′x = cos x
(b) f ′
(π
4
)
Solução:
Pelo item anterior f ′
(π
4
)
= cos
(π
4
)
= cos 45◦ =
√
2
2
.
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = sen x no ponto de abscissa 0.
Solução:
A equação da reta tangente no ponto p é dada por
y = f ′(p)(x− p) + f(p)
Como sen ′x = cos x, temos
y = cos 0 · (x− 0) + sen 0 = 1 · x+ 0 = x
Logo, a reta tange ao gráfico no ponto de abscissa 0 é y = x.
3. Seja f(x) = cos x. Calcule.
(a) f ′(x)
Solução: cos′ x = −sen x
(b) f ′(0)
Solução: Note que f ′(0) = −sen (0) = −0 = 0.
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(c) f ′
(π
3
)
Solução: f ′
(π
3
)
= −sen
(π
3
)
= −sen (60◦) = −
√
3
2
(d) f ′
(
−π
4
)
Solução:
f ′
(
−π
4
)
= −sen
(
−π
4
)
f ímpar
= −
(
−sen
(π
4
))
= sen (45◦) =
√
2
2
4. Calcule f ′(x) sendo
(a) f(x) = tg x
Solução: tg ′x = sec2 x
(b) f(x) = sec x
Solução: Antes de passarmos para a derivada de f(x) = sec x. Recorde que
cos a− cos b = −2 · sen
(
a+ b
2
)
sen
(
a− b
2
)
(1)
Além disso,
lim
h→0
sen h
h
= 1 (2)
Com isso, vamos provar que sec′ x = sec x · tg x.
Demonstração. Pela definição derivada
sec′ x = lim
h→0
sec(x+ h)− sec x
h
= lim
h→0
cos x− cos(x+ h)
cos(x+ h) · cos x
· 1
h
Usando (1), temos
lim
h→0
cos x− cos(x+ h)
cos(x+ h) · cos x
· 1
h
= lim
h→0
−2 · sen
(
2x+h
2
)
· sen
(
−h
2
)
cos(x+ h) · cos x
· 1
h
Sabemos que sen (−x) = −sen x ,pois a função seno é ímpar. Assim,
lim
h→0
−2 · sen
(
2x+h
2
)
· sen
(
−h
2
)
cos(x+ h) · cos x
· 1
h
= lim
h→0
2 · sen
(
2x+h
2
)
· sen
(
h
2
)
cos(x+ h) · cos x
· 1
h
= lim
h→0
2 · sen h
2
h
· lim
h→0
sen 2x+h
2
cos(x+ h) cos x
Adotando u = h
2
, podemos usar (2). Assim,
lim
h→0
2 · sen h
2
h
= lim
h→0
sen h
2
h
2
= lim
u→0
sen u
u
= 1
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Como
lim
h→0
sen 2x+h
2
cos(x+ h) · cos x
=
sen 2x+0
2
cos(x+ 0) · cos x
=
sen 2x
2
cos x · cos x
=
sen x
cos x · cos x
=
1
cos x
· sen x
cos x
= sec x · tg x
Daí, sec′ x = 1 · sec x · tg x = x = sec x · tg x.
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = tg x no ponto de abscissa 0.
Solução:
Como tg ′x = sec2 x, temos
y = sec2(0) · (x− 0) + tg 0 = 1 · x+ 0 = x
Logo, a reta tange ao gráfico no ponto de abscissa 0 é y = x.
6. Seja f(x) = cotg x. Calcule.
(a) f ′(x)
Solução: Lembre que
sen (a± b) = sen a · cos b± sen b · cos a (3)
Assim, pela definição de derivada, temos:
cotg x = lim
t→x
cotg t− cotg x
t− x
= lim
t→x
cos t
sen t −
cosx
sen x
t− x
= lim
t→x
sen x · cos t− sen t · cos x
sen t · sen x ·
1
t− x
= lim
t→x
sen x · cos t− sen t · cos x
sen t · sen x ·
1
t− x
= lim
t→x
sen x · cos t− sen t · cos x
t− x
· 1sen t · sen x
Usando (3), observamos que
lim
t→x
sen x · cos t− sen t · cos x
t− x
· 1sen t · sen x = limt→x
sen (x− t)
t− x
· 1sen t · sen x
Podemos fazer uma mudança de variável x = x− t. Com isso, usando (2), segue:
lim
t→x
sen (x− t)
t− x
· 1sen t · sen x = − limt→x
sen (x− t)
x− t
· lim
t→x
1
sen t · sen x
= − lim
u→0
sen u
u
· lim
t→x
1
sen t · sen x = −1 ·
1
sen x · sen x
= − 1sen 2x = −
(
1
sen x
)2
= −cossec 2x
(b) f ′
(π
4
)
Solução: Pelo item anterior,
f ′
(π
4
)
= −cossec 2
(π
4
)
= − 1
sen 2
(
π
4
) = − 1(√
2
2
)2 = −42 = −2
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7. Seja g(x) = cossec x. Calcule.
(a) g′(x)
Solução: Pela definição de derivada
cossec ′x = lim
h→0
cossec (x+ h)− cossec x
h
= lim
h→0
1
sen (x+h) −
1
sen x
h
= lim
h→0
sen x− sen (x+ h)
sen (x+ h) · sen x ·
1
h
Usando
sen x− sen y = 2 · sen
(
x− y
2
)
· cos
(
x+ y
2
)
Vemos que
cossec ′x = lim
h→0
2 · sen
(−h
2
)
· cos
(
2x+h
2
)
sen (x+ h) · sen x ·
1
h
= lim
h→0
−
2 · sen (h
2
)
h
· lim
h→0
cos 2x+h
2
sen (x+ h) · sen x
= −1 ·
cos 2x+0
2
sen (x+ 0) · sen x = −
cos 2x
2
sen x · sen x = −
cos x
sen x · sen x
= − 1sen x ·
cos x
sen x = −cossec x · cotg x
(b) g′
(π
4
)
Solução:
Usando o item anterior, g′
(π
4
)
= −cossec
(π
4
)
· cotg
(π
4
)
= −
√
2 · 1 = −
√
2
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