Aula 04 Ele

Prévia do material em texto

ELETRICIDADE 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Felipe Neves Souza 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Seja bem-vindo à nossa quarta aula de Eletricidade! 
Na análise de circuitos elétricos, o conceito fundamento baseia-se na 
transferência de carga de um ponto ao outro do circuito. Quando ligamos 
diferentes equipamentos em uma tomada, por exemplo, a demanda de carga 
exigida ou a corrente elétrica que irá fluir dependerá das especificações do 
equipamento. Quando ligamos um micro-ondas em uma tomada, essa tomada 
fornecerá uma corrente. Conectando um liquidificador nesta mesma tomada, a 
corrente será outra. Por isso, muitas vezes é necessário estudarmos o 
comportamento dos circuitos dependendo de suas variáveis. 
Existem formas de simplificar circuitos complexos e torná-los simples, 
para que uma análise do seu funcionamento com cargas diferentes possa ser 
realizada de forma direta. 
Nesta aula serão apresentados alguns dos principais teoremas de análise 
de circuitos. Estes teoremas complementam todas as leis, regras e métodos de 
análises apresentados nas aulas anteriores. 
Inicialmente será apresentado o teorema de transformação de fontes; com 
ele será possível realizar algumas simplificações nos circuitos, visando à 
facilitação da sua análise. 
Com o teorema da superposição, será possível simplificar circuitos com 
mais de uma fonte independente para circuitos com apenas uma. Além de nos 
permitir estudar a influência de cada uma destas fontes nas grandezas elétricas 
do circuito. 
Por fim, serão apresentados os teoremas de Thévenin e Norton, que 
realizam a simplificação de circuitos complexos para um circuito com uma fonte 
de tensão (Thévenin) ou corrente (Norton) conectada a um resistor. 
TEMA 1 – TEOREMA DE TRANSFORMAÇÃO DE FONTES 
Observamos que as combinações em série, paralelo e a transformação 
delta-estrela de resistores são procedimentos que nos auxiliam na simplificação 
de circuitos. 
A transformação de fontes é outro procedimento que pode nos auxiliar 
nesta tarefa, em que o conceito de equivalência se aplica. 
 
 
3 
Um circuito é equivalente quando a característica 𝑣-𝑖 é idêntica ao circuito 
original. Em outras palavras, a transformação de fontes é o processo de substituir 
uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor ou vice-versa. Na figura a seguir podemos observar 
uma transformação de fontes. 
Figura 1 – Transformação de fontes independentes 
 
Os dois circuitos acima são equivalentes, pois eles possuem a mesma 
relação tensão-corrente nos terminais a-b. Entretanto, para que esta 
equivalência seja real, é necessário que as relações a seguir sejam obedecidas: 
𝑽𝒔 = 𝑹. 𝑰𝒔 ou 𝑰𝒔 =
𝑽𝒔
𝑹
 
A transformação de fontes também pode ser aplicada às fontes 
dependentes, desde que a variável dependente seja cuidadosamente analisada. 
Na figura a seguir, podemos transformar uma fonte dependente de tensão em 
série com um resistor por uma fonte dependente de corrente em paralelo com 
um resistor. 
Figura 2 – Transformação de fontes dependentes 
 
 
 
Tal como a transformação delta-estrela, a transformação de fontes não 
altera a parte restante do circuito. Quando aplicável, a transformação de fontes 
é uma ferramenta poderosa que permite a manipulação do circuito para uma 
 
 
4 
análise mais simples. Entretanto, devemos considerar os seguintes pontos 
quando lidamos com a transformação de fontes: 
Nota-se que a seta da fonte de corrente é direcionada para o terminal 
positivo da fonte de tensão. A partir das equações de tensão e corrente 
mencionadas acima, nota-se que a transformação de fontes não é possível 
quando 𝑹 = 𝟎, o que é o caso de uma fonte ideal de tensão. Entretanto, na 
prática, as fontes de tensão são ideais (𝑹 ≠ 𝟎). De maneira similar, uma fonte de 
corrente ideal, 𝑅 = ∞, não pode ser substituída por uma fonte de tensão finita. 
Dado o circuito da figura 3, vamos utilizar a transformação de fontes para 
simplificar o circuito e calcular a corrente 𝑖 que circula na fonte de tensão de 30 
V. 
Figura 3 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
Podemos notar que a fonte de corrente de 5 A está em paralelo com o 
resistor de 4 Ω. Estes elementos podem ser transformados em uma fonte de 
tensão em série com um resistor de 4 Ω. O valor da tensão desta fonte 
equivalente é calculado utilizando a lei de Ohm: 
V = 𝑅. 𝐼 
 𝑉 = 5 . 4 = 20 𝑉 
Desta forma, o circuito resultante será o seguinte: 
 
 
 
5 
Figura 4 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
É possível observar que os resistores de 4 Ω e 1 Ω estão em série e 
podem ser simplificados por um resistor equivalente de 5 Ω, conforme o circuito 
a seguir. 
Figura 5 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
No circuito anterior, nota-se que a fonte de tensão de 20 V está em série 
com o resistor de 5 Ω, podendo ser transformada em uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor de 5 Ω. A corrente desta fonte é calculada da seguinte 
forma: 
𝐼 =
𝑉
𝑅
=
20
5
 
𝐼 = 4 𝐴 
O circuito equivalente desta transformação é mostrado a seguir: 
 
 
 
6 
Figura 6 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
Neste circuito, os dois resistores de 5 Ω em paralelo, podendo ser 
substituídos por um resistor único equivalente de 2,5 Ω, resultando no circuito a 
seguir: 
𝑅𝑒𝑞 =
5 . 5
5 + 5
=
25
10
 
𝑅𝑒𝑞 = 2,5 Ω 
Figura 7 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
Neste circuito, podemos realizar outra transformação de fontes, pois há 
uma fonte de corrente em paralelo com um resistor, a qual pode ser substituída 
por uma fonte de tensão em série com este mesmo resistor. O circuito 
equivalente é mostrado a seguir e a forma de cálculo da tensão desta fonte é 
realizada da seguinte forma: 
𝑉 = 𝑅 . 𝐼 = 2,5 . 4 
𝑉 = 10 𝑉 
 
 
 
7 
Figura 8 – Circuito para aplicação da transformação de fontes 
 
Neste circuito, a corrente que flui pela fonte de 20 V passa pelos terminais 
do resistor de 2,5 Ω e faz com que uma tensão surja em seus terminais. Desta 
forma, a corrente que circula pelo resistor pode ser calculada utilizando a LCK. 
Adotando que a corrente flui no sentido anti-horário: 
−30 + 𝑉𝑅 + 10 = 0 
−30 + 2,5. 𝑖 + 10 = 0 
2,5. 𝑖 = 20 
𝑖 =
20
2,5
= 8 𝐴 
Portanto, a corrente que flui pelo resistor de 2,5 Ω é de 8 A. 
TEMA 2 – TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
Conforme já estudado, em um circuito com mais de uma fonte 
independente é possível determinar o valor de uma variável específica (tensão 
ou corrente) utilizando os métodos de análise nodal ou análise de malha. 
Porém, existem outras formas de resolver este problema e um deles é 
determinar as contribuições de cada fonte independente à variável e então somar 
todas as contribuições individualmente. Esta técnica é denominada de 
superposição. 
O teorema da superposição estabelece que, em circuitos lineares, a 
tensão em um elemento (ou a corrente através dele) é a soma algébrica da 
tensão (ou da corrente) do elemento devido a cada fonte independente atuando 
sozinha. 
 
 
8 
Este teorema nos auxilia na análise de um circuito com mais de uma fonte 
independente, calculando a contribuição de cada fonte independente 
individualmente. 
Para aplicar este princípio, devem ser levadas em consideração: 
 Uma fonte independente é analisada por vez, ou seja, as demais são 
desligadas. Isto significa que cada fonte de tensão deve ser substituídapor 0 V (curto circuito) e cada fonte de corrente deve ser substituída por 
0 A (circuito aberto). Desta forma, obtemos um circuito mais simples e de 
fácil manipulação; 
 Fontes dependentes são deixadas intactas, pois elas são controladas por 
variáveis do circuito. 
No circuito a seguir, vamos utilizar o princípio da superposição para 
calcular o valor da tensão sobre o resistor de 4 Ω, conforme indicado. 
Figura 9 – Circuito elétrico 
 
Neste circuito temos duas fontes independentes, sendo uma de corrente, 
cujo valor é de 5 A e outra de tensão, com valor de 30 V. Para solucionarmos 
este circuito pelo princípio da superposição, primeiramente devemos selecionar 
uma das fontes para desligar e em seguida, utilizar qualquer um dos métodos de 
análise já vistos para determinar o valor da tensão desejada. 
Primeiramente iremos “desligar” a fonte de corrente, ou seja, o valor da 
sua corrente será de 0 A, a qual pode ser considerada um circuito aberto, 
conforme a figura a seguir. Note que a tensão que se deseja calcular (𝑣) foi 
substituída por 𝑣′. 
 
 
 
9 
Figura 10 – Circuito elétrico com a fonte de corrente substituída por um circuito 
aberto 
 
Analisando este circuito, temos uma malha na qual aplicaremos a LTK. 
Foi adotada uma corrente no sentido anti-horário para que a polarização dada 
inicialmente fique de acordo com o sentido adotado. 
−30 + 𝑣1 + 𝑣
′ = 0 
8. 𝑖1 + 4. 𝑖1 = 30 
𝑖1 =
30
12
= 2,5 𝐴 
Calculado o valor da corrente i1, podemos calcular o valor de 𝒗’. 
𝑣′ = 4. 𝑖1 
𝑣′ = 4 . 2,5 = 10 𝑉 
Agora que calculamos o valor da tensão 𝒗′ com a fonte de corrente 
desligada, precisamos calcular o valor desta tensão 𝒗′′ com a fonte de tensão 
desligada, a qual terá uma tensão de 0 V, ou seja, um curto circuito, conforme a 
figura abaixo. 
 
10 
Figura 11 – Circuito elétrico com a fonte de tensão substituída por um curto-
circuito 
Analisando este circuito, temos um nó em que aplicaremos a LCK: 
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 
5 =
𝑣′′
8
+
𝑣′′
4
5 = 0,125. 𝑣′′ + 0,25. 𝑣′′ 
𝑣′′ =
5
0,375
13,33 𝑉 
Logo, pelo método da superposição, a tensão 𝒗 no circuito será a soma 
algébrica das contribuições de cada fonte, individualmente: 
𝑣 = 𝑣′ + 𝑣′′ 
𝑣 = 10 + 13,33 
𝑣 = 23,33 𝑉 
Dessa forma, a tensão total sobre o resistor de 4 Ω será de 23,33 V. 
TEMA 3 – TEOREMA DE THÉVENIN 
O Teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear de dois 
terminais pode ser substituído por um circuito equivalente composto por 
uma fonte de tensão (VTh) em série com um resistor (Rth) 
11 
Figura 12 – Circuito equivalente de Thévenin 
Considere um circuito elétrico da figura 12 (a) conectado a um resistor 
com resistência variável RV entre os terminais a e b. Para cada valor de 
resistência do resistor variável, é necessário realizar a análise do circuito 
novamente, mas para simplificar, podemos aplicar o Teorema de Thévenin entre 
os terminais a e b, no qual o circuito será representado por uma fonte de tensão 
em série com um resistor, conforme ilustrado na figura 9(b). 
Figura 13 – Circuito elétrico com uma carga variável (a) circuito simplificado 
com o equivalente de Thévenin (b) 
(a) (b) 
Desta forma, para cada valor de resistência do resistor RV, a análise do 
circuito pode ser realizada de forma direta, visto que o circuito foi simplificado 
para uma fonte conectada a dois resistores em série. 
O procedimento para a obtenção do circuito de Thévenin é o seguinte: 
12 
1. Removemos a parte que se deseja realizar o circuito de Thévenin (neste
caso, o resistor de resistência variável entre os terminais a e b);
2. Calculamos o valor de Vth retornando a ligar todas as fontes e
determinamos a tensão entre os terminais a e b do circuito, no qual
removemos o dispositivo desejado;
3. Calculamos o valor da resistência entre os pontos a e b (Rth) desligando
todas as fontes independentes do circuito (as fontes de tensão viram um
curto circuito e as fontes de corrente viram um circuito aberto);
4. Desenhamos o circuito equivalente de Thévenin e recolocamos entre os
terminais a e b do circuito o elemento que foi retirado.
Dado o circuito da figura 10, vamos determinar o circuito equivalente de
Thévenin para o elemento ligado entre os terminais a e b do circuito abaixo para 
calcular a corrente 𝒊. 
Figura 13 – Circuito para aplicação do Teorema de Thévenin 
Primeiramente, removemos temporariamente o elemento conectado entre 
os terminais a e b do circuito, resultando no circuito da figura 11, em que a tensão 
Vab será a tensão da fonte do circuito de Thévenin (Vth). Para calcularmos o valor 
de Vth, podemos utilizar qualquer um dos métodos de análises apresentados. 
Neste exemplo será utilizada a análise nodal. 
13 
Figura 14 – Circuito com o componente entre os terminais a e b removidos 
Aplicando a LCK temos: 
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 
Mas: 
𝑖2 =
𝑉1 − 12
6
𝑖3 =
𝑉1
6 + 4
=
𝑉1
10
Substituindo 𝑖2 e 𝑖3 na equação da LCK, teremos: 
2 =
𝑉1 − 12
6
+
𝑉1
10
2 =
𝑉1 − 12
6
+
𝑉1
10
2 =
5. 𝑉1 − 60 + 3. 𝑉1
30
8. 𝑉1 = 120
𝑉1 =
120
8
= 15 𝑉 
Uma vez calculado o valor de 𝑉1, temos como calcular 𝑖2 e 𝑖3: 
𝑖2 =
𝑉1 − 12
6
= 0,5 𝐴 
𝑖3 =
𝑉1
10
= 1,5 𝐴 
14 
Calculado o valor de 𝑖3, temos como calcular 𝑉𝑡ℎ: 
𝑉𝑡ℎ = 4. 𝑖3 
𝑉𝑡ℎ = 6 𝑉 
Para calcularmos o valor de RTh, temos que desligar as fontes de tensão 
e corrente, as quais serão substituídas por um curto circuito e um circuito aberto, 
respectivamente, conforme o circuito da figura a seguir: 
Figura 15 – Circuito com as fontes independentes removidas 
Com este circuito, percebe-se que os dois resistores de 6 Ω estão em 
série e podem ser substituídos por um resistor equivalente de 12 Ω, o qual estará 
em paralelo com o resistor de 4 Ω. Desta forma, o cálculo de RTh será o seguinte: 
1
𝑅𝑡ℎ
=
1
4
+
1
(6 + 6)
=
1
4
+
1
12
𝑅𝑡ℎ = 3 Ω 
Desta forma, o circuito equivalente de Thévenin será dado por uma fonte 
de tensão de 6 V em série com um resistor de 3 Ω. Os elementos removidos 
devem ser reconectados entre os terminais a e b, resultando: 
Figura 16 – Circuito equivalente de Thévenin 
 
 
15 
Por fim, a corrente 𝒊 é calculada utilizando a lei de Ohm: 
𝑖 =
6
3 + 1
= 1,5 𝐴 
TEMA 4 – TEOREMA DE NORTON 
O Teorema de Norton estabelece que um circuito linear de dois terminais 
pode ser substituído por um equivalente. Este equivalente é constituído por uma 
fonte de corrente (𝑖𝑁) em paralelo com um resistor (𝑅𝑁). O valor da fonte de 
corrente do equivalente de Norton será a corrente de curto circuito entre os 
terminais a e b. Enquanto que a resistência equivalente de Norton será a 
resistência de entrada do circuito, ou equivalente aos terminais a e b quando 
todas as fontes independentes estiverem desligadas. 
Figura 17 – Circuito equivalente de Norton 
 
No circuito abaixo, podemos simplificar e obter o circuito equivalente de 
Norton entre os terminais a e b. 
Figura 18 – Circuito elétrico com uma fonte variável 
 
A representação simplificada pelo Teorema de Norton será dada pelo 
seguinte o circuito: 
 
 
 
16 
Figura 19 – Circuito equivalente de Norton 
 
 O procedimento para a obtenção do circuito de Norton é o seguinte: 
1. Removemos a parte que se deseja realizar o circuito de Norton (neste 
caso, o resistor de resistência variável entre os terminais a e b); 
2. Calculamos o valor de iN retornando a ligar todas as fontes e 
determinamos a corrente de curto circuito entre os terminais a e b do 
circuito, no qual removemos o dispositivo desejado;3. Calculamos o valor de 𝑅𝑁 desligando todas as fontes independentes do 
circuito (as fontes de tensão viram um curto circuito e as fontes de 
corrente viram um circuito aberto); 
4. Desenhamos o circuito equivalente de Norton e recolocamos entre os 
terminais a e b do circuito o elemento que foi retirado. 
Considerando o circuito da figura 20, vamos determinar o equivalente de 
Norton para o elemento conectado entre a e b. 
Figura 20 – Circuito para aplicação do equivalente de Norton 
 
Primeiramente removemos temporariamente o elemento conectado entre 
os terminais a e b do circuito, resultando no circuito a seguir. 
 
 
17 
Figura 21 – Circuito com os elementos entre a e b removidos 
 
 
Para calcularmos o valor de 𝑅𝑁, devemos desligar as fontes 
independentes do circuito, substituindo a fonte de tensão por um curto circuito e 
a fonte de corrente por um circuito aberto, conforme a figura a seguir. 
Figura 22 – Circuito com as fontes independentes removidas 
 
Nota-se que os resistores de 5 e 7 Ω estão em paralelo e podem ser 
substituídos por um resistor equivalente, o qual estará em série com os resistores 
de 3 e o de 8 Ω, conforme a figura a seguir. 
Figura 23 – Associação de resistores para obtenção do RN 
 
 
 
 
 
18 
Desta forma, a resistência equivalente de Norton será dada por: 
𝑅𝑁 = 3 + 2,917 + 8 
𝑅𝑁 = 13,917 Ω 
Para calcularmos o valor de 𝑖𝑁, devemos religar as fontes independentes 
e curto circuitar os terminais a e b para calcularmos a corrente que circula neles, 
conforme a figura abaixo, em que já se encontram ilustradas as correntes do nó 
para aplicarmos a LCK. 
Figura 24 – Aplicação do método de análise nodal para determinar iN 
 
Aplicando a LCK no nó, teremos: 
𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖𝑁 
Mas: 
𝑖1 =
10 − 𝑉1
5
 
𝑖2 = 2 
𝑖3 =
𝑉1
7
 
𝑖𝑁 =
𝑉1
3 + 8
=
𝑉1
11
 
Substituindo 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3 e 𝑖𝑁 na equação da LCK, teremos: 
10 − 𝑉1
5
+ 2 =
𝑉1
7
+
𝑉1
11
 
2 − 0,2. 𝑉1 + 2 = 0,148. 𝑉1 + 0,091. 𝑉1 
0,4338. 𝑉1 = 4 
 
 
19 
𝑉1 =
4
0,4338
= 9,22 𝑉 
Uma vez calculado o valor de 𝑉1, temos como calcular 𝑖𝑁: 
𝑖𝑁 =
𝑉1
11
 
𝑖𝑁 = 0,838 𝐴 
Desta forma, o circuito equivalente de Norton será o seguinte: 
Figura 25 – Aplicação do método de análise nodal para determinar iN 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram abordadas formas de simplificar circuitos para 
realização da sua análise. Na disciplina de eletricidade e em diversas outras 
disciplinas de Engenharia Elétrica e Engenharia da Computação, os conceitos 
aqui apresentados serão necessários para a continuidade do curso. É muito 
importante que você não fique com dúvidas a respeito deste assunto. Continue 
estudando e aumentando o seu conhecimento não só com esta aula, mas 
praticando exercícios do livro texto. 
Para entender melhor esta aplicação, considere que você precise calcular 
a corrente elétrica que está sendo fornecida à geladeira da sua casa e que, para 
isso, deve considerar todo o sistema de geração, transmissão e distribuição de 
energia. Isso incluiria calcular as turbinas hidrelétricas, passando pela 
subestação elevadora, linhas de transmissão, subestação abaixadoras, 
distribuição dos postes, até a tomada em nossa residência. Realizar esses 
cálculos seria muito complexo ou até mesmo inviável. 
Por outro lado, este circuito por completo pode ser simplificado por um 
circuito equivalente de Thévenin, por exemplo, em que a fonte de tensão possui 
 
 
20 
o valor da tensão das tomadas da nossa casa (127 V ou 220 V dependendo da 
região) e o valor da resistência RTh possui um valor baixo devido aos materiais 
utilizados nas ligações, que não são ideais. Os pontos a e b são os dois pontos 
da tomada residencial e desta forma, para qualquer equipamento eletrônico que 
ligarmos na tomada, a análise do circuito será de forma simples, diferentemente 
caso fossemos considerar todos os elementos do circuito elétrico complexo 
desde a usina hidroelétrica até a nossa residência. 
 
 
 
 
21 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON J.W.; RIEDEL, S.A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.