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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância Cálculo II – AD1 (2020/2) – Gabarito 1ª Questão (3,5 pontos) O gráfico da função 3 2( ) 4 6f x x x x e as retas 2x e 4x limitam, junto com o eixo x , a união de quatro regiões no plano. Determine o que se pede. (a) Esboce o gráfico, indicando as regiões. (b) Determine a área de cada uma das quatro regiões. (c) Use o item (b) para calcular 4 2 ( )f x dx , interpretando o resultado em termos de áreas . (d) Use o item (b) para calcular 4 2 ( )f x dx , interpretando o resultado em termos de áreas. Solução da 1ª Questão (a) Por tentativa, pode‐se perceber que 1x é uma raiz da função 3 2( ) 4 6f x x x x , de modo que sua expressão pode ser fatorada por 3 2 2( ) 4 6 ( 1).( 5 6) ( 1).( 2).( 3)f x x x x x x x x x x . Sendo assim, o gráfico da função intersecta o eixo x nas abscissas 1x , 2x e 3x . Além disso, 3 2lim 4 6 x x x x e 3 2lim 4 6 x x x x O gráfico da função f é mostrado na figura 1.1 a seguir, realçando cada uma das quatro regiões requeridas no enunciado: Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 2 Figura 1.1 Solução da 1ª Questão (b) Pelo gráfico, nota‐se que a função ( )f x é negativa nas abscissas 2 1x e 2 3x , as quais correspondem às regiões 1R e 3R , respectivamente, e é positiva nas abscissas 1 2x e 3 4x , as quais correspondem às regiões 2R e 4R , respectivamente. Desta forma, as áreas de cada uma das quatro regiões são dadas por: 11 1 4 3 2 3 2 1 2 2 2 4 ( ) ( ) 4 6 6 4 3 2 1 4 1 16 32 4 47 56 103 6 12 . . 4 3 2 4 3 2 12 12 12 x x x A R f x dx x x x dx x u a (1) 22 2 4 3 2 3 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) 4 6 6 4 3 2 16 32 4 1 4 1 88 47 135 12 6 . . 4 3 2 4 3 2 12 12 12 x x x A R f x dx x x x dx x u a (2) Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 3 33 3 4 3 2 3 2 3 2 2 2 4 ( ) ( ) 4 6 6 4 3 2 81 108 9 16 32 4 81 88 7 18 12 . . 4 3 2 4 3 2 12 12 12 x x x A R f x dx x x x dx x u a (3) 44 4 4 3 2 3 2 4 3 3 3 4 ( ) ( ) 4 6 6 4 3 2 256 256 16 81 108 9 128 81 47 24 18 . . 4 3 2 4 3 2 12 12 12 x x x A R f x dx x x x dx x u a (4) Solução da 1ª Questão (c) Utilizando a proposição 2.2 do caderno didático e as identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 2 41 3 4 1 2 3 4 2 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 2 3 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 4 2 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A R A RA R A R f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A R A R A R A R A R A R A R 3( ) 135 47 103 7 72 6 12 12 12 12 12 A R Sendo assim, a integral 4 2 4 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6f x dx A R A R A R A R representa a diferença entre a área total acima do eixo x e a área total abaixo do mesmo, mostrando que a área acima do eixo x supera a de baixo em 6 u.a. Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 4 Solução da 1ª Questão (d) Avaliando o sinal da função em cada intervalo e utilizando a proposição 2.2 do caderno didático além das identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 2 41 3 4 1 2 3 4 2 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 2 3 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 103 135 7 47 12 12 12 12 A R A RA R A R f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A R A R A R A R 292 73 12 3 Sendo assim, a integral 4 1 2 3 4 2 73 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f x dx A R A R A R A R representa a área total da região delimitada pelo gráfico, pelo eixo x e pelas retas dadas. 2ª Questão (3,0 pontos) Considere 24 . ( )( ) 2 x G xF x , sendo 4 ( ) ( ) 3sen( ) a x b x t dtG x , com 3 2arccos( ) xa x e 3( ) arcsenb x x . Apresente a expressão de ' ( )G x simplificando‐a ao máximo e determine 3 2 F e 3 ' 2 F . Solução da 2ª Questão Usando o TFC e a regra da cadeia, temos: 4 3 4 3'( ).sen ( ) '( ).sen ( )'( ) b x b x a x a xG x Notemos que Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 5 (i) 3( ) 2arccosa x x , 3( ) arcsenb x x (ii) 44 3 4sen ( ) sen arcsenb x x x (iii) 4 44 3 4 22 4 2 sen ( ) sen 2arccos 2sen arccos cos arccos 2 1 . 16 1 a x x x x x x x x (iv) 3 2/3 2/3 2 2 1 2 2 1 . 2arccos . arccos . 3 31 1 '( ) x x x x a x (v) 2/3 2/3 2 2 1 1 1 1 . arcsen . arcsen . 3 31 1 '( ) x x x x b x Portanto: 3 22/3 2/34 4 2 2 2 1 1 2 1 arcsen . . arccos . .16 1 3 31 1 '( ) x x x x x x x G x 4 22/3 2/3 23 2 arcsen 16. 2 arccos . 1 3 1 '( ) x x x x x G x (*) Cálculo de 3 2 F : 3 3 3 arccos 2arccos 2 6 2 2 3 a 3 3 arcsen 2 3 2 3 b Portanto Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 6 3 4 4 3 32 3 2 3 33 0 2 sen sen a b t dt t dtG Consequentemente: 3 0 3 3 3 . 2 2 2 02 GF F 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 . . . . . ' ' ( ) ( ) '( ) 8 . ln2. ( ) '( ) '( ) 2 2 2 2 2 x x x x x G x G x G x x G x G x F x 3 3 0 3 3 3 3 3 . . . 2 2 2 2 2 8. . ln 2. ' 8 '' 2 2G G GF Cálculo de 3 2 'G : Usando a expressão (*), temos 4 22/3 2/3 23 2 arcsen 16. 2 arccos . 1 3 1 '( ) x x x x x G x 2/3 2/3 2 2/3 2/3 3 3 2/3 2/33 2/3 2/3 2/3 2/3 2/33 3 2/3 23 3 9 16 1 3 16. 2 . 2 2 3 6 4 8 3 613 4 3. 3 9. 93 9 3 3 2 6 . 1 2. 2 . 8 88. 8. G Portanto 2/3 3 3 3 . 9. 2 2 8 '' GF Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 7 3ª Questão (3,5 pontos) Considere a região R do plano, limitada pelas curvas 3xy , 1 0x y , 2yx e 2 9 12 44 0x x y . Faça o que se pede a seguir.(dado: (1,3) e (4, 2) são pontos das interseções entre as curvas.) a) Esboce a região R . b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de x . c) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de y . d) Encontre a área da região R (Use a representação mais conveniente). Solução da 3ª Questão (a) A região é esboçada na figura 3.1 a seguir. Figura 3.1 Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 8 Solução da 3ª Questão (b) Neste caso, verificamos que é necessário dividir a região em duas sub‐regiões, como mostra a figura 3.2 a seguir . Figura 3.2 Na figura anterior, as funções já aparecem expressas em termos da variável x. Temos portanto: ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 4 2 2 0 1 ( ) ( ) 9 44 ( ) 3 1 log 12 x A R A R x x A R x dx x dx æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - - + -çç ÷÷çç ÷ ÷ççè øè øò ò Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 9 Solução da 3ª Questão (c) Para representar a área da região R em termos de y , precisamos dividi‐la em três sub‐regiões , como mostra a figura 3.3 a seguir, além de expressar x como função de y . Na parábola 2 9 12 44 0x x y , completando quadrados temos 2 2 2 9 81 81 12 2. 44 2 4 4 2 4 9 95 12 12 2 4 2 4 9 95 9 95 y x x x x y x y æ ö÷ç= - + - + = +÷ç ÷çè ø æ ö÷ç - = - = -÷ç ÷çè ø - o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que 9 2 x ³ e 9 2 x£ . No caso em questão, estamos interessados no trecho 9 2 x£ , portanto 9 95 12 2 4 x y= - - . Nas demais funções, isolar a variável x é mais simples. As funções estão apresentadas na figura 3.3. Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 10 Figura 3.3 Temos portanto: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21 3 1 2 3 3 3 0 1 2 ( )( ) ( ) 9 95 ( ) 2 1 2 log 12 log 2 4 y y A RA R A R A R y dy y dy y y dy æ öæ ö ÷ç ÷ç ÷÷ç= - - + - + - - -ç ÷÷çç ÷÷÷çç ÷è øè ø ò ò ò Ou ainda ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 3 0 0 1 2 9 95 ( ) 2 1 log 12 2 4 yA R dy y dy y dy y dy æ ö÷ç ÷= + - - + - -ç ÷ç ÷÷çè øò ò ò ò Solução da 3ª Questão (d) Em ambas as expressões obtidas nos itens (b) e (c) , é preciso calcular a primitiva de uma função logarítmica. Entretanto, com o conteúdo visto até o momento, não podemos obter tal primitiva ( esta função exigirá o uso do método da Integração por Partes). Para fugir deste problema, poderíamos considerar a divisão da região mostrada na figura 3.4 a seguir. Figura 3.4 Cálculo II AD01 – Gabarito 2020/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Pá gi na 11 Neste caso, a área pode ser obtida por uma mescla de integrações relativas à variável x e à variável y: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 4 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 4 2 0 0 1 2 9 44 ( ) 3 1 2 1 2 12 9 20 3 1 2 1 12 3 ln 3 2 x y A R A R A R x x x x x A R x dx dy dx x x x dx dx dx x æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - - + - + - =çç ÷÷çç ÷ ÷ççè øè ø æ ö- + ÷ç ÷= + - + - + =ç ÷ç ÷çè ø = + ò ò ò ò ò ò 1 2 43 2 0 0 1 2 3 5 ln 2 36 8 3 3 1 1 4 1 64 48 20 1 3 5 1 2 ln 3 2 ln 3 ln 2 ln 2 36 8 3 36 8 3 2 1 ln 3 2 x x x x x x é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú- + - + - + =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û é ù é ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú ê ú ê ú= + - - + - - + - + - - + =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú ê ú ê úè ø è ø è ø è ø è ø è øë û ë û ë û æ = - è 3 9 2 3 11 2 . . 4, 77 . . ln 2 8 ln 3 ln 2 8 u a u a ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ - + = + - »÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çø è ø è ø
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