AD01-C2-2020-2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2020/2) – Gabarito 
 
   
1ª Questão  (3,5 pontos)  O gráfico da função  
3 2( ) 4 6f x x x x     e  as retas  2x    e   4x   limitam, 
junto com o eixo  x , a união de quatro regiões no plano. Determine o que se pede.
 
 
(a) Esboce o gráfico, indicando as regiões.   
(b) Determine a área de cada uma das quatro regiões.  
(c) Use o item (b) para calcular  
4
2
( )f x dx

 , interpretando o resultado em termos de áreas . 
(d) Use o item (b) para calcular  
4
2
( )f x dx

 , interpretando o resultado em termos de áreas. 
 
Solução da 1ª Questão (a) 
 
    
Por tentativa, pode‐se perceber que  1x   é uma raiz da função  3 2( ) 4 6f x x x x    , de modo que sua 
expressão pode ser fatorada por  
 
3 2 2( ) 4 6 ( 1).( 5 6) ( 1).( 2).( 3)f x x x x x x x x x x            . 
 
Sendo assim, o gráfico da função intersecta o eixo  x  nas abscissas  1x   ,  2x   e  3x  . 
 
Além disso,   3 2lim 4 6
x
x x x

        e    3 2lim 4 6
x
x x x

      
 
O gráfico da função  f  é mostrado na figura 1.1 a seguir, realçando cada uma das quatro regiões requeridas 
no enunciado: 
 
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Figura 1.1 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (b) 
 
 
Pelo  gráfico,  nota‐se  que  a  função  ( )f x   é  negativa  nas  abscissas    2 1x      e  2 3x  ,  as  quais 
correspondem às regiões  1R   e   3R , respectivamente, e é positiva nas abscissas 1 2x    e 3 4x  , as 
quais correspondem às regiões  2R   e  4R  , respectivamente. 
 
Desta forma, as áreas de cada uma das quatro regiões são dadas por: 
 
 
 
11 1 4 3 2
3 2
1
2 2 2
4
( ) ( ) 4 6 6
4 3 2
1 4 1 16 32 4 47 56 103
6 12 . .
4 3 2 4 3 2 12 12 12
x x x
A R f x dx x x x dx x
u a
 
  
 
             
 
                 
   
 
           (1) 
 
 
 
 
 
22 2 4 3 2
3 2
2
1 1 1
4
( ) ( ) 4 6 6
4 3 2
16 32 4 1 4 1 88 47 135
12 6 . .
4 3 2 4 3 2 12 12 12
x x x
A R f x dx x x x dx x
u a
  
 
          
 
                
   
 
                             (2) 
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 
33 3 4 3 2
3 2
3
2 2 2
4
( ) ( ) 4 6 6
4 3 2
81 108 9 16 32 4 81 88 7
18 12 . .
4 3 2 4 3 2 12 12 12
x x x
A R f x dx x x x dx x
u a
 
             
 
                  
   
 
       (3) 
 
 
 
44 4 4 3 2
3 2
4
3 3 3
4
( ) ( ) 4 6 6
4 3 2
256 256 16 81 108 9 128 81 47
24 18 . .
4 3 2 4 3 2 12 12 12
x x x
A R f x dx x x x dx x
u a
 
          
 
                
   
 
    (4) 
 
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (c) 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a proposição 2.2 do caderno didático e as identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 
 
 
 
2 41 3
4 1 2 3 4
2 2 1 2 3
1 2 3 4
2 1 2 3
( ) ( )( ) ( )
1 2 3 4
2 4 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A R A RA R A R
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx f x dx
A R A R A R A R
A R A R A R

  

 
    
   
         
   
    
   
    
   
  
 3( )
135 47 103 7 72
6
12 12 12 12 12
A R
           
   
 
 
Sendo assim, a integral       
4
2 4 1 3
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6f x dx A R A R A R A R

       representa a diferença entre a 
área total acima do eixo x e a área total abaixo do mesmo, mostrando que a área acima do eixo x supera a de 
baixo em 6 u.a. 
 
  
 
 
 
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Solução da 1ª Questão (d) 
 
Avaliando o sinal da função em cada intervalo e utilizando a proposição 2.2 do caderno didático além das 
identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição 
 
 
   
2 41 3
4 1 2 3 4
2 2 1 2 3
1 2 3 4
2 1 2 3
( ) ( )( ) ( )
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
103 135 7 47
12 12 12 12
A R A RA R A R
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx f x dx
A R A R A R A R

  

 
    
   
        
   
   
   
    
   
  
292 73
12 3
 
 
 
 
 
Sendo assim, a integral   
4
1 2 3 4
2
73
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
f x dx A R A R A R A R

       representa a área total da 
região delimitada pelo gráfico, pelo eixo x e pelas retas dadas. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão  (3,0 pontos)   
Considere    
 24
. ( )( ) 2
x
G xF x  , sendo   4
( )
( )
3sen( )
a x
b x
t dtG x   , com  
3 2arccos( ) xa x   e   3( ) arcsenb x x . 
Apresente a expressão de  ' ( )G x  simplificando‐a ao máximo e  determine 
3
2
F
 
  
 
 e 
3
'
2
F
 
  
 
. 
 
 
Solução da 2ª Questão 
 
 
 
Usando o TFC e a regra da cadeia, temos: 
 
 
   4 3 4 3'( ).sen ( ) '( ).sen ( )'( ) b x b x a x a xG x   
 
Notemos que  
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(i) 3( ) 2arccosa x x ,   3( ) arcsenb x x  
 
(ii)     44 3 4sen ( ) sen arcsenb x x x     
 
(iii) 
       
 
4 44 3
4 22 4 2
sen ( ) sen 2arccos 2sen arccos cos arccos
2 1 . 16 1
a x x x x
x x x x
       
    
 
 
 
 
 
(iv)    
3
2/3 2/3
2 2
1 2 2 1
. 2arccos . arccos .
3 31 1
'( ) x x
x x
a x  
   
     
    
  
 
(v)    2/3 2/3
2 2
1 1 1 1
. arcsen . arcsen .
3 31 1
'( ) x x
x x
b x  
   
   
    
  
 
 
Portanto: 
 
     
3 22/3 2/34 4 2
2 2
1 1 2 1
arcsen . . arccos . .16 1
3 31 1
'( ) x x x x x
x x
G x  
    
            
  
 
     
4
22/3 2/3 23
2
arcsen 16. 2 arccos . 1
3 1
'( ) x x x x
x
G x       
        (*) 
 
Cálculo de 
3
2
F
 
  
 
: 
 
3 3 3
arccos 2arccos
2 6 2 2 3
a
      
             
     
 
 
3 3
arcsen
2 3 2 3
b
    
        
   
 
 
Portanto 
 
 
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6	
   
3
4 4
3
32
3
2
3 33 0
2
sen sen
a
b
t dt t dtG


 
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 
        
 
Consequentemente: 
 
3
0
3 3 3
.
2 2 2
02 GF F

     
          
     
 

 
 
     
   
2 2 2
2 2
4 4 4
4 4
. . .
. .
' '
( ) ( ) '( )
8 . ln2. ( ) '( )
'( ) 2 2 2
2 2
x x x
x x
G x G x G x
x G x G x
F x
   
   
   
   
  
 

 
 
 
 
3 3
0
3 3 3 3 3
. . .
2 2 2 2 2
8. . ln 2. ' 8 '' 2 2G G GF

         
                  
         
 

        
 
Cálculo de 
3
2
'G
 
  
 
: 
Usando a expressão (*), temos 
     
4
22/3 2/3 23
2
arcsen 16. 2 arccos . 1
3 1
'( ) x x x x
x
G x       
 
 
 
         
 
 
2/3 2/3 2 2/3 2/3
3 3
2/3 2/33
2/3 2/3 2/3 2/3 2/33 3
2/3 23
3 9 16 1 3
16. 2 . 2
2 3 6 4 8 3 613 4
3. 3 9. 93 9 3
3 2 6 . 1 2. 2 .
8 88. 8.
G    
 
 
   
 
                                                   
                

 
 
Portanto 
2/3
3 3 3
. 9.
2 2
8 '' GF

                  
  
 
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3ª Questão    (3,5 pontos)   Considere a  região R  do plano,  limitada pelas curvas  3xy    ,  1 0x y     , 
2yx   e   2 9 12 44 0x x y    . Faça o que se pede a seguir.(dado:  (1,3)  e  (4, 2)  são pontos das interseções entre as curvas.) 
 
     a) Esboce a região R . 
     b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  x . 
     c) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  y . 
     d) Encontre a área da região R  (Use a representação mais conveniente). 
 
Solução da 3ª Questão (a) 
 
 
 
A região é esboçada na figura 3.1 a seguir. 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 
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Solução da 3ª Questão (b) 
 
 
 
Neste caso, verificamos que é necessário dividir a  região em duas sub‐regiões, como mostra a 
figura 3.2 a seguir .  
 
 
 
Figura 3.2 
 
 
Na figura anterior, as funções já aparecem expressas em termos da variável x. 
 
Temos portanto: 
 
 
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 4 2
2
0 1
( ) ( )
9 44
( ) 3 1 log
12
x
A R A R
x x
A R x dx x dx
æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - - + -çç ÷÷çç ÷ ÷ççè øè øò ò 
 
 
 
 
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Pá
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Solução da 3ª Questão (c)  
 
 
 
Para representar a área da região R  em termos de y  , precisamos dividi‐la em três  
sub‐regiões , como mostra a figura 3.3 a seguir, além de expressar   x  como função de  y  .  
Na parábola 
2 9 12 44 0x x y    , completando quadrados temos 
 
2
2
2
9 81 81
12 2. 44
2 4 4 2 4
9 95
12 12
2 4 2 4
9 95
9 95
y x x x
x y x y
æ ö÷ç= - + - + = +÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç - = -  =  -÷ç ÷çè ø
-
 
o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que 
9
2
x ³   e 
9
2
x£ .  
No caso em questão, estamos interessados no trecho 
9
2
x£ , portanto 
9 95
12
2 4
x y= - - . 
Nas demais funções, isolar a variável x é mais simples. As funções estão apresentadas na figura 3.3.  
 
 
 
 
 
 
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gi
na
10
	
 
Figura 3.3 
 
 
Temos portanto: 
 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
21 3
1 2 3
3 3
0 1 2
( )( ) ( )
9 95
( ) 2 1 2 log 12 log
2 4
y y
A RA R A R
A R y dy y dy y y dy
æ öæ ö ÷ç ÷ç ÷÷ç= - - + - + - - -ç ÷÷çç ÷÷÷çç ÷è øè ø
ò ò ò
 
 
 
 
Ou ainda 
 
  ( ) ( ) ( )
2 1 3 3
3
0 0 1 2
9 95
( ) 2 1 log 12
2 4
yA R dy y dy y dy y dy
æ ö÷ç ÷= + - - + - -ç ÷ç ÷÷çè øò ò ò ò
 
 
 
 
Solução da 3ª Questão (d) 
 
Em ambas as expressões obtidas nos itens (b) e (c) , é preciso calcular a primitiva de uma função 
logarítmica. Entretanto, com o conteúdo visto até o momento, não podemos obter tal primitiva 
( esta função exigirá o uso do método da Integração por Partes). 
 
Para fugir deste problema, poderíamos considerar a divisão da região mostrada na figura 3.4 a 
seguir. 
   
Figura 3.4 
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Pá
gi
na
11
	
 
Neste caso, a área pode ser obtida por uma mescla de integrações relativas à variável x e à variável y: 
 
 
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
1 2 4 2
0 0 1
( ) ( ) ( )
1 2 4 2
0 0 1
2
9 44
( ) 3 1 2 1 2
12
9 20
3 1 2 1
12
3
ln 3 2
x y
A R A R A R
x x
x
x x
A R x dx dy dx
x x
x dx dx dx
x
æ öæ ö- + ÷ç ÷ç ÷÷= - - + - + - =çç ÷÷çç ÷ ÷ççè øè ø
æ ö- + ÷ç ÷= + - + - + =ç ÷ç ÷çè ø
= +
ò ò ò
ò ò ò
  
1 2 43 2
0 0 1
2 3 5
ln 2 36 8 3
3 1 1 4 1 64 48 20 1 3 5
1 2
ln 3 2 ln 3 ln 2 ln 2 36 8 3 36 8 3
2 1
ln 3 2
x x x x
x x
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú- + - + - + =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û
é ù é ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú ê ú ê ú= + - - + - - + - + - - + =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú ê ú ê úè ø è ø è ø è ø è ø è øë û ë û ë û
æ
= -
è
3 9 2 3 11
2 . . 4, 77 . .
ln 2 8 ln 3 ln 2 8
u a u a
ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ - + = + - »÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çø è ø è ø