AD1-ALI-2009-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 13/08/2009 
Gabarito 
1ª Questão. (2,0) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, não é verdade que 
.2)( 222 BABABA ++=+ 
(a) Ache um exemplo de um par de matrizes que satisfaça essa condição. 
(b) Dê um exemplo de um par de matrizes que não satisfaça essa propriedade. 
Solução. 
(a) Considere .
11
11






−
−
== BA Temos que 
=+ 2)( BA 





=





−
−
=












−
−
+





−
−
00
00
22
22
11
11
11
11 2
2
. Por outro lado, =++ 22 2 BABA 






−
−
11
11






−
−
11
11
+2 





−
−
11
11






−
−
11
11
+ 





−
−
11
11






−
−
11
11
= 





00
00
. 
(b) 





−
=
10
01
A e 





=
01
10
B . Temos que 
=+ 2)( BA 





=





−
=












+





− 20
02
11
11
01
10
10
01 2
2
. Por outro lado, =++ 22 2 BABA 






−
=











+











−
+





−




− 22
22
01
10
01
10
01
10
10
01
2
10
01
10
01
. 
2ª Questão. (1,5) 
Sabendo que uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, ,0det ≠A encontre todos os valores 
de k para os quais a matriz 










=
kk
kk
kk
A
0
2
0
2 é inversível. 
Solução. Como [ ] [ ] [ ].22det 2232 kkkkkkkkA −−=−−= , A é inversível se, e somente se .2,1,0 −≠k 
 
3ª Questão. (1,5) Assuma que A e B sejam matrizes n x n com 3det =A e 2det −=B . Ache os 
determinantes indicados. 
(a) ABdet (b) 2detA (c) )det( 1AB− (d) )2det( A (e) )3det( TB (f) )det( TAA 
Solução. 
(a) 6det.detdet −== BAAB (b) 9detdet)det(det 2 === AAAAA 
(c) 
2
3
2
1
det
111 3.detdetdet)det( −−−− ==== AABAB
B
 (d) 3.2)2det( nA = 
(e) )2.(3det3det3)3det( −=== nnTnT BBB 
(f) .9)(detdet.detdet.det)det( 2 ==== AAAAAAA TT 
4ª Questão. (1,5) Considere a matriz










=
301
030
502
A . 
(a) Encontre sua inversa. 
(b) Usando a definição de matriz inversa, verifique que a matriz encontrada em (a) é a matriz 
procurada. 
Solução. 
(a) 
 →




















↔ 31
100
010
001
301
030
502
LL  →




















−↔ 1233
001
010
100
502
030
301
LLL
 →










−









−
↔ 23
1
2
201
010
100
100
030
301
LL
 →










−









−
−↔ 33
3
1
201
00
100
100
010
301
LL
 →










−









−↔ 3311
3
1
201
00
100
100
010
301
LLL










−
−










201
00
503
100
010
001
3
1 
Daí, a inversa da matriz 










=
301
030
502
A é a matriz 










−
−
=
201
00
503
3
1B . 
(b) Devemos verificar que AB = I. 










301
030
502










=










−
−
100
010
001
201
00
503
3
1 
5ª Questão. (2,0) Resolva, por escalonamento, os seguintes sistemas lineares. 
(a) 





−=−+−
=+−−
=+−−
3
3322
12
yxw
zyxw
zyxw
 
Solução. A matriz completa é 
 
 →





−




−−
−−
−−
−↔ 1222
3
3
1
0111
3122
2111
LLL  →





−




−−
−
−−
+↔ 133
3
1
1
0111
1100
2111
LLL
 →





−




−
−
−−
+↔ 2233
2
1
1
2200
1100
2111
LLL










−
−−
0
1
1
0000
1100
2111
. O sistema associado agora é 



=−
=+−−
1
12
zy
zyxw
 que tem infinitas soluções. 
Seu conjunto-solução é ( ){ }ℜ∈−−+= yxyyxyxS ,/1,,,3 . 
(b) 





−=+
=+
=+
152
74
32
sr
sr
sr
 
 
A matriz completa é 
 
 →





−



 ↔ 12
11
1
7
3
52
14
12
LL
 →





−




−↔
−↔
1233
14222
3
2
1
1
7
52
14
1
LLL
LLL





−




−
4
1
40
10
1 2
3
2
1
. O sistema associado agora é 





−=
=+
1
32
s
sr
 que tem como solução única o par (2,-1). 
6ª Questão. (1,5) Para que valor(es) de m, se houver, o sistema abaixo terá (a) nenhuma solução, (b) 
uma única solução e (c) infinitas soluções? 
 





=+−
=++
=+−
242
232
mzyx
mzyx
zyx
 
Solução. 
 →










−
−
−↔
−↔
1233
122
2
2
412
111
321
LLL
LLL
m
m  →





−
−





−
−
−
−↔ 233
2 4
2
2
230
230
321
LLL
m
m





−−
−





−
−
2
2
2
000
230
321
2 mm
m . O sistema associado é 





=−−
−=−
=+−
02
223
232
2 mm
mzy
zyx
 
Logo, 
(a) O sistema terá nenhuma solução para 2≠m e 1−≠m . 
(b) Não existe m de modo que o sistema admita uma única solução. 
(c) O sistema terá infinitas soluções se 022 =−− mm , ou seja, para m = 2 ou m = -1.