Fundamentos Reologia polimeros

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APOSTILA DE PROCESSOS 4 
 
 
 
EMC 5744 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE 1: FUNDAMENTOS DE 
REOLOGIA DE MATERIAIS 
POLIMÉRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
PROFESSOR: GUILHERME BARRA 
 
 
SUMÁRIO Pg 
1.1 DEFINIÇÃO DE REOLOGIA 03 
1.2 FUNDAMENTOS DE POLÍMEROS 04 
1.3 DEFORMAÇÃO E MÓDULO PARA MATERIAL SÓLIDO 05 
1.4 DEFORMAÇÃO EM FLUIDOS IDEAIS 18 
1.5 FENÔMENOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONEANOS 16 
1.5.1 Fenômenos Newtonianos 19 
1.5.2 Fenômenos não Newtonianos 13 
1.5.2a Fenômenos Não Newtonianos Independentes do tempo 20 
 1.5.2b Fenômenos Não Newtonianos Dependentes do tempo 25 
1.5.2c Fenômenos Não Newtonianos Observados em Polímeros 27 
1.6 REOMETRIA E VISCOSIMETRIA 53 
1.6.1 MEDIDAS REOMÉTRICAS 53 
1.6.2 REÔMETROS DE CONE-PLACA E PLACA-PLACA 59 
1.6.3 REÔMETRO DE TORQUE 60 
REVISÃO 60 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 69 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69 
 
 
 
 
 3
CAPÍTULO 1 
 
FUNDAMENTOS DE REOLOGIA 
 
 
1.1 DEFINIÇÃO DE REOLOGIA 
 
A palavra Reologia é derivada do vocabulário grego, que significa: 
Rheo = Deformação 
 Logia = Ciência ou Estudo 
 
 De uma maneira geral a Reologia, pode ser definida como a ciência que 
estuda o escoamento da matéria. Entretanto, a forma mais conveniente e 
completa de defini-la seria como a ciência que estuda a deformação e o fluxo 
da matéria. 
A Reologia é uma área da física que analisa as deformações ou as 
tensões de um material provocadas pela aplicação de uma tensão ou 
deformação. O material pode estar tanto no estado líquido, gasoso quanto no 
estado sólido. A deformação de um sólido pode ser caracterizada por leis que 
descrevem a alteração do volume, tamanho ou forma, enquanto que o 
escoamento de um fluido que pode estar no estado gasoso ou líquido, é 
caracterizado por leis que descrevem a variação contínua da taxa ou grau de 
deformação em função da tensão aplicada. 
Em Reologia, a classificação entre um material sólido, líquido ou gasoso 
é determinada pelo número de Deborah (De). Este número estabelece a 
relação entre tempo de relaxamento do material, λr, e o tempo de duração da 
aplicação de uma deformação ou tensão, t. 
t
De rλ= ( 1 ) 
Onde: 
→ λr (tempo de relaxamento) - tempo necessário para ocorrer algum 
movimento molecular; 
→ De (Número de Deborah) - relação entre as forças elásticas e 
viscosas que atuam no material; 
→ t (tempo do experimento) - tempo de aplicação da tensão ou 
deformação. 
 4
 Os sólidos elásticos apresentam De →∞ e os fluidos viscosos possuem 
De→0. Materiais poliméricos apresentam ∞ < De < 0, os polímeros fundidos 
apresentam, por exemplo valores de λr, variando entre 1 e 1000s, dependendo 
de sua Massa Molar. No caso de soluções poliméricas diluídas o valor de λr = 
10-3s-1, enquanto que a água possui λr próximo de 10-12 s-1. 
Analisando a equação 1, pode-se concluir que um dado material pode 
ter características de um sólido por duas razões: 
i) porque seu λr → ∞ ou; 
ii) porque o tempo do processo de deformação é muito rápido (t → 
0) e portanto o material não terá tempo suficiente realizar 
movimentos moleculares. 
Líquidos com valores menores de λr podem comportar-se como sólidos 
em processos de deformação muito rápidos, em que o t<<λr. Este fato pode ser 
observado para óleos lubrificantes passando por entre engrenagens, isto é, 
quando as engrenagens estão paradas o material escoa como um fluido 
viscoso, porque t >> λr, porém, quando essas engrenagens estão em 
movimento o material comportar-se-á como um sólido (t<<λr). 
 
1.2 FUNDAMENTOS DE POLÍMEROS 
Polímeros são materiais constituídos de macromoléculas (moléculas 
longas de alto peso molecular) compostas por muitas unidades de repetição 
denominadas de meros. O elevado peso molecular das macromoléculas faz 
com que estas adquiram várias conformações, o que leva ao emaranhamento 
(entanglements) e desemaranhamento entre elas. 
Em um estado sem tensões, as cadeias poliméricas estarão em uma 
conformação aleatória ou enovelada, que também é denominada de “randon 
coil”. Normalmente, os polímeros em solução (sem agitação) ou no estado 
fundido (sem fluxo) apresentam esse tipo de conformação. Este estado é 
determinado por um parâmetro termodinâmico chamado entropia, que é uma 
medida do grau de desordem no interior de um sistema; a entropia aumenta 
quando há um aumento na desordem. À medida que um polímero é deformado, 
devido à aplicação de uma tensão, as cadeias ficam mais retilíneas, tornando-
se mais alinhadas, e o sistema se torna mais ordenado. Uma vez retirada esta 
 5
tensão, a cadeia do polímero tende a retornar ao seu estado de equilíbrio 
termodinâmico que neste caso é a conformação emaranhada. Esse 
emaranhamento não é um processo estático e permanente, e sim dinâmico, já 
que as macromoléculas estão em contínuo movimento. A intensidade e a 
duração desses emaranhados determinará o tempo de relaxação do material 
após a aplicação de uma tensão ou deformação, já que as macromoléculas 
sempre tenderão voltar ao seu estado de equilíbrio, ou seja, adquirir 
conformações aleatórias. 
A Figura 1 ilustra a conformação de uma cadeia polimérica, no estado 
não perturbado e perturbado. 
 
 
Figura 1 – Ilustração do estado não perturbado (A) conformação 
enovelada de uma cadeia polimérica amorfa (maior entropia), (B) 
conformação alongada (menor entropia). 
 
 Além de possuírem elevados pesos moleculares, os polímeros 
apresentam pesos e tamanhos diferentes entre si. Ou seja, os materiais 
poliméricos não possuem um único peso molecular e, sim, uma distribuição de 
pesos moleculares (DPM). O peso molecular médio pode ser determinado 
experimentalmente, levando-se em consideração a massa molar de cada 
molécula e o número delas, dando origem a diferentes medidas de peso 
molecular médio. Os pesos moleculares médios mais comuns são: 
 
i
ii
n N
MNM Σ
∑= (2) 
 6
ii
ii
w MN
MNM Σ
∑=
2
 (3) 
 
Onde: 
Ni → representa o número de moléculas i de peso molecular Mi; 
Mn → peso molecular numérico médio; 
Mw → é o peso ponderal médio. 
 
A razão Mw/Mn é conhecida como índice de polidispersividade e é um 
indicativo da distribuição de peso molecular do polímero. 
A Figura 2 ilustra uma curva característica de distribuição de peso 
molecular de um polímero. 
 
Figura 2 - Curva característica de distribuição de peso 
molecular de um polímero. 
 
 
O peso molecular e sua distribuição influenciarão a quantidade de 
emaranhamentos possíveis que as moléculas formam entre si. Por exemplo, 
quanto maior o peso molecular, maior será a probabilidade de ocorrer 
emaranhamentos; quanto maior a DPM, menor essa probabilidade. Portanto, 
esses parâmetros influenciarão o desenvolvimento das tensões e das 
deformações durante uma aplicação de tensão ou deformação. 
 
 
 
 7
1.3 DEFORMAÇÃO E MÓDULO PARA MATERIAL SÓLIDO 
Antes de apresentar um pouco mais sobre os fundamentos da Reologia 
em Polímeros, torna-se necessário recordar alguns conceitos básicos sobre 
deformações de materiais sólidos, uma vez que o material a ser analisado está 
sujeito a uma deformação. 
Os três modos principais pelos quais o material está sujeito a uma 
deformação são: 
¾ Tração 
¾ Cisalhamento 
¾ Compressão 
 
Estes três modos estão demonstrados na figura 3 e Tabela 1. 
 
Figura 3 – Deformação por (a) Tração, (b) cisalhamento 
e (c) compressão. 
 
Tabela 1 
 Tipos de módulo, em função da deformação sofrida pelo material. 
Tipo de 
Deformação 
Tensão Deformação Módulo 
Tração σ = F/AB ε = ΔC/C Elasticidade 
E = σt /ε 
Cisalhamentoσs = F/AB γ = Δx/C = tanθ Cisalhamento 
G = σs/γ 
Compressão P = F/A εc = -ΔV/Vo K = P/ε 
 
 8
 Observe que cada tipo de deformação dá origem a um tipo de módulo 
designado por letras distintas, uma vez que os valores de módulo variam em 
função do tipo de deformação aplicada ao material. 
 ⇒ E = Tração 
 ⇒ G = Cisalhamento 
 ⇒ K = Compressão 
 
 Para materiais isotrópicos, os módulos estão relacionados entre si pela 
seguinte equação (4). 
 
)21(3)1(2 υυ −=+= KGE (4) 
 Onde: 
→ υ é a razão de Poisson 
 
 Quando um material é estirado, a área de seção da reta varia, assim 
como o seu comprimento. A razão de Poisson (υ) é a constante que relaciona 
essas mudanças nas dimensões do corpo de prova durante a deformação. 
Assim, a razão de Poisson pode ser descrita na equação 5. 
 
CC
AA
/
/
Δ
Δ=υ (5) 
 
Onde: 
ΔA/A → variação na largura por unidade de largura; 
ΔC/C → variação no comprimento por unidade de comprimento. 
 
 Pode ser demonstrado que, se o volume do material permanece 
constante quando estirado, a razão de Poisson é 0,5. Em geral, os materiais 
aumentam de volume quando submetidos à tensão e, por isso, υ < 0,5. Para a 
maioria dos materiais, a razão do Poisson encontra-se na faixa entre 0,2 a 0,5. 
Para os elastômeros e líquidos, υ tende para 0,5. 
 
 9
Fatores que afetam o Módulo de Elasticidade e 
 Deformação de Polímeros no Estado Sólido 
 
¾ Efeito do Peso Molecular ou Massa Molar de Polímeros 
¾ Efeito da Temperatura 
¾ Efeito da Velocidade do Ensaio 
¾ Efeito da Cristalinidade 
¾ Efeito das Ligações Cruzadas 
¾ Efeitos Plastificantes 
 
 ⇒ Efeito do Peso Molecular ou Massa Molar de Polímeros 
 Em geral, à medida que o peso molecular de um polímero aumenta, sua 
resistência mecânica e seu módulo também aumentam. Esse aumento é 
acentuado para faixa de baixo peso molecular e aproxima-se de um valor 
constante à medida que a massa molar atinge um valor crítico, conforme 
ilustrado na figura 4. 
O aumento do peso molecular acarretará no aumento do número de 
emaranhamento “entanglements” do polímero (maior quantidade de contatos 
intermoleculares). O emaranhamento atua como pontos que ancoram a 
movimentação molecular. A restrição a esta movimentação contribui para o 
aumento do módulo e resistência mecânica, aproximando-se de um valor 
constante à medida que a massa molar atinge um valor crítico. 
 
Figura 4 – Variação das propriedades com o aumento do peso molecular. 
 10
 ⇒ Efeito da Temperatura 
Os polímeros podem sofrer mudanças estruturais que mudam suas 
propriedades físicas e mecânicas. Os principais fatores que podem influenciar 
os resultados obtidos nos ensaios mecânicos são os fatores externos, tais 
como: tempo, temperatura e condições ambientais do teste (umidade, líquidos 
agressivos, etc.) e a propriedade intrínseca do polímero como, por exemplo, 
cristalinidade, temperatura de transição vítrea e cristalina, permeabilidade a 
líquidos ou gases, etc. 
As propriedades mecânicas dos polímeros são mais dependentes da 
temperatura e da taxa de deformação do que as propriedades dos metais. A 
influência do tempo e temperatura no módulo de elasticidade dos plásticos 
advém das suas baixas forças de atração intermolecular e da flexibilidade das 
cadeias poliméricas, que lhes atribui um comportamento mecânico denominado 
de viscoelasticidade. 
A Figura 5 apresenta variações do comportamento mecânico com a 
temperatura para poliestireno. A propriedade mecânica medida é o módulo de 
relaxação (Er). Er é medido através de ensaios de relaxação de tensão (Mascia, 
1982). 
Região I - Abaixo de Tg (100oC) existe pouca movimentação molecular. O 
polímero age como um sólido frágil semelhante ao vidro. A deformação elástica 
é proveniente do estiramento da cadeia do polímero, (Fig. 6 (a)). 
Região II - O escorregamento entre pequenos segmentos da cadeia 
polimérica torna-se possível aumentando-se a temperatura pouco acima de Tg. 
Este é um processo auto-acelerado para polímeros amorfos. A partir do 
momento em que um ponto da cadeia se liberta dos emaranhados, de maneira 
que possa escorregar, torna-se mais fácil para que as regiões vizinhas da 
cadeia também se libertem. Desta maneira, o módulo decresce rapidamente 
com o aumento da temperatura, a partir de uma temperatura próxima a Tg. 
Acima de Tg, as cadeias poliméricas apresentam maior liberdade de 
movimentação, devido à quebra de ligações secundárias (Figura 6 (b)). Esta 
região representa o comportamento viscoelástico de polímeros. 
Região III - Com o aumento da temperatura, o escorregamento entre as 
cadeias torna-se progressivamente mais fácil para polímeros amorfos sem 
 11
reticulação (Figura 7 (a)). Para polímeros semicristalinos a movimentação 
molecular torna-se mais fácil, até acima de Tm, onde ocorre a fusão dos 
cristais (Figura 7(b)). O polímero comporta-se como um fluido viscoso. No caso 
de polímeros amorfos com ligação cruzadas, a movimentação molecular das 
cadeias é dificultada pelas ligações cruzadas, e o material não irá se comportar 
como um fluido viscoso. 
A Figura 7 apresenta curvas de tensão x deformação para o 
poli(metacrilato de metila) (PMMA), quando submetido a ensaios de tração. 
Este polímero é amorfo e sua Tg é de aproximadamente 100oC. As curvas de 
tensão x deformação nas temperaturas de 40, 68 e 86oC mostram um 
comportamento elástico frágil. Isto ocorre, porque abaixo da temperatura de 
transição vítrea, as moléculas do polímero apresentam pouca mobilidade e 
portanto, baixa tendência de se deslizarem umas em relação às outras, 
provocando concentração de tensão em determinadas regiões. Os valores de 
Tg variam muito de polímero para polímero. Por exemplo, para o polietileno Tg 
é igual à aproximadamente -120oC, enquanto que para o poliestireno é de 
90oC. 
 
Região I 
(B) 
 (A) 
Região II 
M
ód
ul
o 
de
 r
el
ax
am
en
to
 (l
b/
po
l2 )
 
Região III 
Figura 5 – Variação do módulo de relaxação do poliestireno para 
diferentes estruturas poliméricas (A) polímero amorfo, (B) Polímero 
semicristalino, (C) Polímero amorfo com ligações cruzadas. 
 12
Deformação elática
(A)
Deformação plástica (B) 
Figura 6 - Representações esquemáticas dos tipos de deformação de 
polímeros com cadeias longas (Eisenstadt, 1971). 
 
860 C
680 C
1040 C
1220 C
1400 C
- 400 C
Te
ns
ão
, l
b/
po
l2
Deformação, %
 
Figura 7 – Comportamento mecânico sob tração de amostras de PMMA 
submetido a diferentes temperaturas (Alfrey, 1948). 
 
O início de um comportamento dúctil (escoamento descontínuo) pode ser 
notado a 104oC, sendo mais pronunciado a temperaturas mais elevadas. À 
medida que a temperatura de ensaio aumenta, o fluxo molecular é 
incrementado, as ligações secundárias são quebradas e as tensões são 
aliviadas. Desta forma, o módulo de elasticidade e a resistência a tração 
 13
decrescem com o aumento da temperatura do ensaio. Pode-se notar que existe 
uma transição dúctil-frágil mais acentuada com o decréscimo da temperatura. A 
temperatura de transição é aproximadamente a Tg. 
O fenômeno do escoamento descontínuo mostrado pela Fig. 5 à 122oC e 
140oC é resultante da propagação de uma região estriccionada (região de 
deformação localizada) ao longo do comprimento da amostra. Neste caso, as 
moléculas começam a movimentar uma em relação às outras, ocorrendo uma 
deformação plástica (permanente). 
 
⇒ Efeito da Velocidade do Ensaio 
No caso do ensaio de tração, a velocidade do teste também exerce forte 
influência nos resultados obtidos. O efeito da velocidade do ensaio é oposto ao 
da temperatura.À medida que a velocidade do teste de tração aumenta, o fluxo 
molecular diminui e consequentemente o módulo de elasticidade e a tensão de 
escoamento aumentam. 
A Figura 8 apresenta a influência da velocidade de ensaio em função da 
tensão de escoamento de amostras de resina epoxídica. 
10
5
2 = V (mm/min)
1
0,5
0,1
20
Te
ns
ão
, M
Pa
Deformação, % 
Figura 8 – Curva de ensaio de tração até o limite de escoamento 
de amostras de resina epoxi submetidas ao teste de tração 
por diferentes velocidades de ensaio (Ishau, 1970). 
 
 
 
 14
⇒ Efeito da Cristalinidade 
Considerando-se um mesmo polímero, à medida que o grau de 
cristalinidade aumenta, o módulo elástico, a resistência ao escoamento e a 
dureza também aumentam. Esse efeito pode ser observado ao se comparar as 
propriedades mecânicas do polietileno de alta densidade PEAD e o polietileno 
de baixa densidade que tem graus de cristalinidade diferentes, conforme pode 
ser observado pela Figura 9. O efeito do grau de cristalinidade atua da mesma 
forma que os emaranhamentos (“entanglements” das moléculas), ou seja, os 
mesmos são pontos que restringem a movimentação molecular. 
 
Figura 9 – Curva de tensão x deformação em tração para o PEAD e PEBD. 
 
⇒ Efeito das Ligações Cruzadas 
Nos polímeros, a ação das ligações cruzadas é semelhante ao grau de 
cristalinidade e peso molecular. Isto é, por menor que seja a sua concentração, 
as ligações cruzadas inibem o escoamento das moléculas. Desta forma, quanto 
maior o grau das ligações cruzadas maior será o módulo e menor a 
deformação do material. 
O efeito da ligação cruzada na tensão de tração de polímeros é bastante 
peculiar, conforme pode ser observado pela Figura 10. Inicialmente, a 
resistência à tração aumenta à medida que a quantidade de ligações cruzadas 
é incrementada, atingindo um pico máximo, e posteriormente, ocorre um 
decréscimo rápido da tensão. 
 15
 
Figura 10 – Efeito da concentração de ligações cruzadas 
na resistência à tração de polímeros. 
 
⇒ Plastificantes 
Em alguns polímeros são acrescentados aditivos também conhecidos 
como plastificantes. Estes plastificantes diminuem o módulo e aumentam a 
deformação do material. Este é um caso típico do PVC com plastificante. Estes 
aditivos são adicionados a um polímero para reduzir a dureza no produto 
acabado, alterando fortemente seu comportamento mecânico. Os plastificantes 
diminuem a interação intermolecular das cadeias, resultando na diminuição do 
módulo e aumento da deformação plástica. 
 
1.4 DEFORMAÇÃO EM FLUIDOS IDEAIS 
Nos fluidos podem ocorrer formas de deformações semelhantes aos que 
ocorrem nos sólidos. A diferença entre um sólido e um fluido ideal está 
justamente na resposta ou comportamento de ambos quando submetidos a um 
esforço. Assim, nos fluidos ideais, diferentemente dos sólidos ideais, todas as 
deformações envolvem algum tipo de escoamento irreversível entre as 
moléculas ou entre as camadas. 
O tipo mais comum de deformação nos fluidos é por cisalhamento 
simples, que gera um escoamento caracterizado pelo movimento relativo das 
moléculas do fluido devido à ação de uma força externa. 
Uma das propriedades medida na deformação de fluidos é a 
viscosidade, que assim como o módulo (para sólidos) é um fator determinante 
para o uso e aplicações dos materiais fluidos. Além de ser uma medida direta 
da qualidade do fluido em serviço, a viscosidade pode fornecer importantes 
 16
informações sobre variações estruturais que ocorrem durante a aplicação de 
uma deformação ou tensão. 
A viscosidade pode ser definida como sendo a resistência ao movimento 
do fluir de um material. A discussão dos conceitos de tensão de cisalhamento e 
taxa de cisalhamento tornam-se importantes, para que se possa entender 
melhor o conceito físico e matemático da viscosidade. Considere, então um 
fluido entre duas placas, uma fixa e outra móvel. À medida que a placa móvel é 
deslocada, gera-se um gradiente de velocidade do fluido que vai desde zero na 
interface com a placa fixa até o valor máximo na interface da placa móvel. 
Quanto maior a força imposta na placa móvel, maior será o gradiente de 
velocidade do fluido. 
Figura 11 apresenta as forças atuantes no fluido, após a força de 
cisalhamento aplicada à placa móvel. 
 
Figura 11 – Fluido viscoso entre placas, cisalhado por 
uma força aplicada na placa móvel. 
 
 Tensão de cisalhamento - é a força por unidade de área cisalhante, 
necessária para manter o escoamento do fluido e é expressa segundo a 
equação 6. 
A
F=τ (6) 
Onde: F → Força necessária para provocar um deslocamento na chapa 
(para o fluido escoar); A → área exposta ao cisalhamento. As unidades usuais 
são: N/m2 ou pascal (Pa), dina/cm2 e lbf/ft2, nos sistemas internacional, c.g.s e 
inglês, respectivamente. 
 17
Taxa de cisalhamento – é o deslocamento relativo das partículas ou 
moléculas do fluido. A taxa de cisalhamento também pode ser denominada de 
grau de deformação ou gradiente de velocidade e pode ser descrita, 
matematicamente pela equação 7. A dimensão da taxa de cisalhamento é t-1 e 
sua unidade mais comum é s-1. 
ty
v
∂
∂=∂
∂= γγ (7) 
Onde: 
∂v → variação da velocidade entre as moléculas/partículas ou camadas 
do fluido. 
 ∂y → distância entre as camadas/moléculas/partículas. 
∂γ/∂t → variação da deformação em função do tempo. 
 
Matematicamente, a viscosidade pode ser descrita através da 
experiência realizada por Newton em que um fluido é cisalhado entre duas 
placas (uma móvel e outra estacionária), conforme a equação 8. Esta equação 
descreve o comportamento de fluidos viscosos ideais, a tensão de 
cisalhamento é proporcional à taxa de cisalhamento, onde a constante de 
proporcionalidade é, por definição, a viscosidade do fluido. 
y
v
∂
∂=ητ ou ηγτ = (8) 
Onde: 
→ η - a viscosidade, cuja unidade é expressa em Kg/(m.s) ou Pa.s, 
g/(cm.s) ou dina.s/cm2 (poise) e lbf.s/ft2, nos sistemas SI, c.g.s. e inglês, 
respectivamente. 
 
1.5 FENÔMENOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS 
A Lei de Newton para a viscosidade se restringe para um determinado 
número de fluidos. Entretanto, existem materiais que sob escoamento dirigido 
por cisalhamento, apresentam comportamento distinto do previsto por Newton. 
Em alguns fluidos, a viscosidade depende do cisalhamento aplicado ou 
do tempo de sua aplicação. Para estes fluidos, a viscosidade deixa de ser uma 
 18
constante para se tornar uma propriedade dependente das condições em que o 
fluido é deformado ou sob tensão. Neste caso, a viscosidade do fluido passa a 
ser denominada de “Viscosidade Aparente”. 
Desta forma, os fluidos viscosos podem ser classificados em função do 
seu comportamento de fluxo ou reológico. Este comportamento envolve a 
relação entre a resposta da viscosidade frente à taxa ou tempo de 
cisalhamento. 
Portanto, os fluidos podem ser classificados como: 
� Newtonianos 
�Não Newtonianos 
 
1.5.1 Fenômenos Newtonianos 
Os fenômenos Newtonianos são aqueles em que sua viscosidade é 
afetada pela temperatura e pressão. Entretanto, sua viscosidade não varia com 
o aumento da taxa ou tensão cisalhante, sendo esta denominada como 
viscosidade absoluta. 
A representação gráfica de um fluido Newtoniano está apresentado nas 
Figuras 12 e 13. Exemplos: ar, água, óleos “finos” e seus derivados, solução 
salina, mel, glicerina, etc. 
 
Figura 12 – Representação gráfica do fluido Newtoniano (A) curva de 
tensão de cisalhamento x taxa de cisalhamento e (B) curva de 
viscosidade x taxa de cisalhamento. 
 
 19
 
Figura 13 – Comparação de fluidos Newtonianos: (A) água, 
(B) óleoe (C) glicerina. Quanto maior a inclinação do gráfico 
tensão x taxa de cisalhamento maior será a viscosidade do material. 
 
1.5.2 FENÔMENOS NÃO NEWTONIANOS 
Os fenômenos não Newtonianos são divididos em três grandes classes: 
� Independentes do Tempo 
� Dependentes do Tempo 
� Viscoelásticos 
 
1.5.2 a – Fenômenos Não Newtonianos Independentes do Tempo 
⊗ Fenômeno da Potência 
⊗ Fenômeno da Dilatância 
⊗ Fenômeno da Pseudoplascitidade 
⊗ Fenômeno da Viscoplasticidade ou Fluidos de Binghan 
 
⇒ Fenômeno da Potência 
Ao examinar determinados fluidos sob escoamento cisalhante, Ostwald 
verificou que estes exibiam comportamentos diferentes dos previstos por 
Newton. Os fluidos observados por Ostwald apresentavam uma relação entre a 
tensão de cisalhamento (τ) x taxa de deformação (γ) não linear. Desta forma, 
Ostwald propôs um modelo que pode ser descrito matematicamente pela 
equação 9. Os fluidos que obedecem este modelo são conhecidos como 
fluidos da Lei das Potências. 
 20
n
aγητ = (9) 
Onde: 
ηa → é a viscosidade aparente e n é o índice da lei das potências. 
P/ n>1 → fluido dilatante 1 
P/ n=1 → fluido Newtoniano 2 
P/ n<1 → fluido pseudoplástico 3 
 
A figura 14 representa o comportamento do fluido das Leis de Potência. 
 
Figura 14 – Curvas de Fluxo de fluidos da potência 
1 - Dilatante, 2 Newtoniano e 3 - Pseudoplástico. 
 
 
⇒ Fenômeno da Dilatância 
O fluido dilatante apresenta comportamento de viscosidade aparente 
crescente com o aumento da taxa de cisalhamento. A dilatância é manifestada 
em sistemas com mais de uma fase, desde que uma delas seja constituída de 
partículas grandes e assimétricas, que dificultam o empacotamento, mesmo 
sob elevadas taxas de deformação. Exemplo: suspensões concentradas de 
PVC misturadas com líquidos plastificantes. 
Em situação de repouso as partículas estão bem separadas uma das 
outras. Segundo Reynolds, o aumento da taxa de cisalhamento, acarreta na 
aproximação das partículas, resultando no aumento da resistência ao fluxo, 
conforme pode ser ilustrado pela Figura 15. 
 
 
 21
 
Figura 15 – Hipótese de Reynolds para a dilatância. 
 
⇒ Fenômeno da Pseudoplasticidade 
Este é o fenômeno da Lei de Potência que ocorre com maior frequência. 
Nestes fluidos a viscosidade aparente diminui com o aumento da taxa de 
deformação. 
De acordo com o proposto por Brydson (1981), a pseudoplasticidade 
acorrerá com maior frequência em polímeros no estado fundido ou borrachoso, 
petróleo, espalhamento rápido de tintas, espumas, escoamento descontrolado 
de pastas, pasta de dente, etc. O comportamento pseudoplástico pode ser 
explicado por três razões: 
1 – Partículas assimétricas no repouso estão orientadas de forma 
aleatória e bem próximas uma das outras. Quando estas partículas são 
forçadas a se deslocarem (fluírem) em uma direção, elas assumem uma 
orientação preferencial na direção do escoamento, reduzindo assim, sua 
resistência a este escoamento, como representado na Figura 16. 
 
Figura 16 – Pseudoplascticidade em sistemas de partículas assimétricas. 
 
 22
2 – Existência de moléculas que em repouso se encontram altamente 
solvatadas. As moléculas têm as camadas de solvatação destruídas pela ação 
do cisalhamento, conforme ilustrado pela Figura 17. 
 
Figura 17 – Esquema ilustrativo da diminuição de viscosidade causada 
pelo aumento da taxa de cisalhamento (destruição da camada 
solvatada). 
 
 3 – Determinados sistemas poliméricos no estado fundido passam de 
uma estrutura altamente enovelada (enrolada) no repouso, para uma altamente 
orientada na direção do escoamento, assumindo a forma linear (Figura 18). 
 
Figura 18 – Redução da viscosidade de sistemas poliméricos devido ao 
aumento da taxa de cisalhamento. 
 
⇒ Viscoplasticidade ou Fluidos de Bingham 
Fluidos caracterizados pela existência de um valor de tensão residual de 
cisalhamento que deve ser excedida para que o material apresente um fluxo 
viscoso. Exemplo: sistemas com alta concentração em que a interação 
 23
partícula-partícula exerce um papel fundamental → lama e polpa de fruta. A 
equação 10 descreve o modelo matemático proposto por Bingham. 
 
Modelo de Bingham 
 
γηττ py += (10) 
Onde: 
τ → tensão residual: 
ηp → viscosidade plástica. 
 
De acordo com a equação 10 e Figura 19, quando τ > τy, não existe 
escoamento, significando que o sistema possui uma viscosidade infinita. 
 
Figura 19 – Curvas de fluxo dos fluidos Newtoniano e de Bingham. 
 
Modelo de Kerschel e Bulkley 
 
Herschel e Bulckley modificaram o modelo de Bingham com o objetivo 
de explicar o comportamento de compósitos particulados de alta concentração. 
No modelo matemático de Herschel e Bulckley, o termo de tensão residual é 
somado ao produto K(γ)n da lei de potência no lugar de ηp(γ), como pode ser 
observado pela equação 11. 
 
n
py γηττ += (11) 
 24
A Figura 20 apresenta um resumo gráfico do comportamento de fluidos 
independentes do tempos. 
 
Figura 20 - Curvas de fluxo de diferentes fluidos. 
 
1.5.2 b – Fenômenos Não Newtonianos Dependentes do Tempo 
⊗ Fenômeno da Tixotropia 
⊗ Fenômeno da Reopexia 
⊗ Fenômeno da Viscoelasticidade 
 
Fluidos dependentes do tempo são materiais em que a viscosidade varia 
em função do tempo a uma dada taxa de cisalhamento. 
 
⇒ Tixotropia 
Fluidos tixotrópicos são aqueles caracterizados pela diminuição da 
viscosidade aparente do líquido com o tempo de aplicação a uma dada taxa de 
deformação. 
Este fenômeno é isotérmico e reversível sendo consequência da 
destruição gradual da “estrutura” construída pelas partículas da fase dispersa, 
cuja força de ligação não resiste à ação do cisalhamento imposto. Após a retira 
da força cisalhante, o sistema volta à sua conformação original, recuperando 
novamente a sua viscosidade aparente inicial. Para estes materiais, qualquer 
que seja a taxa de cisalhamento aplicado, existirá um tempo necessário para a 
 25
viscosidade cair e depois manter-se constante. O tempo necessário para que a 
viscosidade aparente se mantenha constante é denominado de “tempo de 
estabilização” (Te), e este é dependente da taxa de cisalhamento imposta ao 
fluido. 
Importante: Todo fluido tixotrópico é pseudoplástico, mas nem todo fluido 
pseudoplástico é tixotrópico. 
 
⇒ Reopexia 
Os fluidos que apresentam comportamento oposto aos fluidos 
tixotrópicos são denominados de Reopéxicos. Estes fluidos apresentam um 
aumento da viscosidade aparente com o tempo a uma dada taxa de 
cisalhamento. 
A Figura 21 apresenta o comportamento da viscosidade em função do 
tempo de cisalhamento. 
 
Figura 21 – Curvas de fluxo para fluidos reopéxicos e tixotrópicos. 
 
 
1.5.2 c – Fenômenos Não Newtonianos Observados em Polímeros: 
⊗ Efeito de Weissenberg 
⊗ Viscoelasticidade 
 
 
 
 26
⇒ Efeito de Weissenberg 
Este efeito pode ser observado quando gira-se um bastão no interior de 
um recipiente contendo um polímero fundido ou em solução, como ilustrado na 
Figura 22. No caso de um fluido Newtoniano, é observado um abaixamento no 
nível do fluido na região adjacente ao bastão, devido à força centrífuga. No 
caso de fluidos poliméricos, ocorre um deslocamento do material para o centro 
do recipiente e, consequentemente, o fluido sobe pelo bastão. Este fenômeno é 
chamado de efeito Weissenberg e ocorre devido ao surgimento de diferenças 
de tensões normais, estando associado à orientação molecular imposta pelo 
fluxo anelar. Como o polímero possui a tendência de retornar ao seu estado de 
equilíbrio (conformação enovelada), as moléculas exercem uma tensão na 
camada de fluido próxima a elas, contra o bastão.Figura 22 – Efeito Weissenberg: (A) Fluido Newtoniano e (B) Polímero. 
 
⇒ Viscoelasticidade 
A viscoelasticidade é um fenômeno dependente do tempo que, ao 
contrário dos demais fenômenos, só ocorre em sistemas poliméricos. 
Os materiais poliméricos em estado sólido, fundidos ou em solução, 
apresentam ao mesmo tempo características tanto de materiais sólidos como 
de fluidos. Esta propriedade é conhecida como “Viscoelasticidade”. 
Para entender melhor este fenômeno, observe o exemplo a seguir. 
Considere uma situação em que é utilizada uma prateleira de polímeros, fixada 
em duas extremidades para sustentar alguns livros, conforme apresentado na 
Figura 23. 
 27
 
Figura 23 – Esquema ilustrativo da deformação com o tempo de uma 
prateleira sujeita a uma força imposta pelo peso dos livros. 
 
Mesmo que o conjunto livro/prateleira seja mantido a uma temperatura 
constante, a prateleira tenderá a ceder, sofrendo uma deformação com o 
tempo, devido à ação de uma força constante (peso dos livros). No entanto, se 
os livros forem retirados dessa prateleira, observa-se que a mesma não voltará 
imediatamente à sua posição original (não deformada). A recuperação parcial 
ou total da prateleira será dependente do tempo. 
Em nível molecular, este processo pode ser descrito da seguinte forma: 
a massa polimérica pode ser vista no seu estado não deformado, como 
possuidora de cadeias enoveladas ou emaranhadas (Randon Coil). Quando 
esta estrutura emaranhada é sujeita à uma tensão constante, as moléculas 
exercem uma resposta retrativa a esta tensão para manter sua conformação 
mais estável (enovelada). Sob influência contínua da tensão aplicada com o 
tempo, as cadeias deslizam umas em relação às outras. Portanto, a estrutura 
emaranhada é deformada, passando para uma conformação alongada, ou seja, 
a prateleira irá se deformar. 
Após a remoção da tensão aplicada ao material, suas moléculas que 
estão em uma conformação alongada, tendem a voltar ao seu estado 
termodinâmico mais estável, ou seja, a conformação enovelada. Desta forma, o 
material tende a retornar à sua dimensão original. A Figura 24 ilustra o 
esquema, (A) conformação das moléculas no estado não perturbado 
(conformação enovelada), (B) sob tensão (confomação alongada) e (C) após a 
retirada a tensão (recuperação parcial da conformação enovelada). 
 28
 
Figura 24 – Esquema ilustrativo das cadeias nas diferentes 
conformações, (A) antes do carregamento (estado de equilíbrio, 
conformação enovelada), (B) durante o carregamento (conformação 
alondada) e (C) após o descarregamento (recuperação parcial da 
conformação alongada). 
 
 
Modelo de Viscoelasticidade Linear 
Para representar fisicamente o comportamento viscoelástico de um 
polímero, foram desenvolvidos modelos que podem ser tratados 
matematicamente. Desta forma, a viscoelasticidade pode ser representada por 
associações de molas e amortecedores. Estas associações recebem o nome 
de modelos mecânicos ou analogias mecânicas. 
 
Analogia Mecânica 
Os materiais apresentam diferentes tipos de deformações quando é 
aplicada uma força externa, como por exemplo, a tensão de tração. Os sólidos 
ideais apresentam deformação completamente elástica após a aplicação de 
uma força de tração. A deformação elástica é reversível e desaparece quando 
a tensão é removida. Quando a deformação é de natureza elástica, os átomos 
são deslocados de suas posições originais (de equilíbrio) pela aplicação de 
uma tensão externa. Porém, quando esta tensão é retirada, os átomos voltam 
às suas posições originais em relação aos seus vizinhos e o material recupera 
suas dimensões originais. 
 29
O comportamento de um sólido elástico ideal pode ser descrito através 
de um modelo simples, tal como uma mola. Imagine que uma das 
extremidades desta mola está fixada na parede, enquanto que a outra 
extremidade está presa em um peso. Este peso vai gerar uma deformação (ε) 
na mola. Se este peso for retirado, a mola recuperará imediatamente suas 
dimensões originais, conforme apresentado na figura 25. Este modelo tem 
comportamento Hookeano, ou seja, a deformação sofrida pela mola é 
diretamente proporcional à tensão aplicada. Esta situação pode ser 
matematicamente descrita através da equação 12. 
 
E.εσ = (12) 
Onde: 
σ → tensão; 
ε → deformação; 
E → módulo de elasticidade ou de Young. 
 
Figura 25 – Deformação (ε) de uma mola (elemento elástico ideal com 
módulo (E) como resposta a uma solicitação do tipo tensão 
(σ) na forma de onda quadrada). 
 
 
Por sua vez, a deformação permanente de fluidos ideais quando 
submetidos a uma tensão, pode ser melhor interpretado através do modelo de 
um amortecedor hidráulico (pistão), conforme ilustrado na Figura 26. Neste 
caso, o pistão está imerso em um fluido viscoso dentro de um cilindro 
 30
obedecendo à Lei de Newton. Agora, imagine que uma das extremidades deste 
amortecedor está fixada na parede, enquanto que a outra extremidade está 
presa em um peso. Este peso vai gerar uma deformação no pistão. Se este 
peso for retirado, o pistão não recuperará suas dimensões originais. Este 
modelo tem um comportamento de fluidos viscosos ideais que obedecem a Lei 
de Newton. Os fluidos viscosos apresentam deformações plásticas, isto é, 
permanentes, porque seus átomos se movimentam dentro da estrutura do 
material, adquirindo novas posições permanentes com respeito aos seus 
vizinhos. Esta situação pode ser matematicamente descrita através da 
equação 13. 
t∂
∂= εησ . (13) 
Onde: η → viscosidade do fluido; 
dε/dt → variação da deformação em função do tempo; 
σ → tensão aplicada. 
 
Figura 26 – Deformação (ε) de um amortecedor (elemento viscoso ideal 
com fluido Newtoniano de viscosidade η) como resposta de uma 
solicitação do tipo tensão (σ) na forma de onda quadrada. 
 
Dessa maneira, os modelos mecânicos de molas servem para melhor 
representarem o caráter reversível da deformação de sólidos elásticos ideais, 
enquanto que, os modelos de amortecedores representam o caráter irreversível 
da deformação viscosa de fluidos ideais. 
 
 31
Modelo de Maxwell 
Como um fluido viscoelástico apresenta por definição os dois 
componentes da deformação, um elástico e um plástico, Maxwell sugeriu que 
este pudesse ser representado por uma associação de uma mola e um 
amortecedor, como mostrado na figura 27. 
Ao se aplicar uma tensão constante (τ) durante um intervalo de tempo 
(t), obtém-se uma deformação (ε) que é dependente das características da 
mola (E) e do amortecedor (η). A curva resposta da deformação com o tempo é 
a soma do comportamento individual de cada um dos componentes. Assim, a 
deformação resposta desse elemento à uma tensão aplicada é: 
1 – Deformação elástica instantânea, referente à mola. 
 2 – Deformação plástica dependente do tempo, referente ao 
amortecedor. 
 3 – Recuperação elástica instantânea, referente à mola. 
 4 – Recuperação plástica residual irrecuperável, referente ao 
amortecedor. 
 
Figura 27 – Modelo de Maxwell com elementos em série de mola e 
amortecedor. 
 
Modelo de Voigt 
Outra maneira de compor os dois elementos básicos, mola e 
amortecedor, é a proposta de Voigt. Nesse modelo, a associação de 
amortecedor e mola é realizada em paralelo. Ao se aplicar uma tensão durante 
 32
um certo intervalo de tempo, obtém-se como resposta, uma curva da variação 
da deformação com o tempo, conforme na Figura 28. 
Neste modelo, a tensão total é iniciada no pistão, isto porque a mola não 
pode se deformar instantaneamente. Sob influência da tensão constante, o 
pistão começa a fluir transferindo parte da carga para a mola. Retirada a 
tensão,a amostra retorna, a sua forma original. 
Assim, a deformação resposta desse elemento à uma tensão aplicada é: 
1 – Deformação elástica retardada por um componente viscoso. 
 2 – Recuperação elástica retardada pelo mesmo componente 
viscoso anterior. 
 
 
Figura 28 – Modelo de Maxwell com elementos em série de mola e 
amortecedor. 
 
Modelo de Maxwell – Voigt 
Como cada um dos modelos acima, de modo individual, não representa 
bem todos os casos de comportamento real dos fluidos viscoelásticos, sugeriu-
se uma associação dos dois em série. 
Ao aplicar uma tensão constante por um certo intervalo de tempo, 
obtém-se como resposta uma curva de variação da deformação com o tempo, 
como demonstrado na Figura 29. 
 33
 
Figura 29 – Modelo de Maxwell-Voigt e curva resposta. 
 
 Nesse caso, cada porção da curva resposta (ε x t) é a função da 
ação conjunta dos dois elementos. 
 
Onde: 
1 → Resposta instantânea da mola. 
 2 → Deformação elástica retardada por dois componentes 
viscosos. 
 3 → Recuperação elástica instantânea da mola. 
 4 → Recuperação elástica retardada pelos componentes 
elásticos. 
 
Ensaios que Caracterizam a Manifestação Viscoelástica de Polímeros 
Uma das características mais marcantes dos polímeros é a dependência 
de suas propriedades mecânicas com o tempo. Esta dependência pode ser 
observada através dos seguintes ensaios: 
⊗ Fluência 
⊗ Relaxação de Tensão 
⊗ Ensaio Dinâmico-Mecânico 
 
→ Ensaio de Fluência: Neste ensaio a amostra é submetida a uma 
tensão constante e a deformação é medida em função do tempo. Este teste 
 34
pode ser realizado sob diferentes tipos de solicitações mecânicas, tais como: 
tensão de tração, cisalhamento e compressão. A Figura 30 ilustra os diferentes 
tipos de testes de fluência. 
Figura 30 – Testes de Fluência sob (A) Tração, (B) Compressão e 
(D) Cisalhamento. 
 
 
→ Ensaio de Relaxação de Tensão: Neste ensaio, a amostra é 
rapidamente deformada até uma determinada deformação, e a tensão para 
manter esta deformação constante é medida em função do tempo. A Figura 31 
mostra os testes de relaxação de tensão. 
 
Figura 31 – Testes de Relaxação de tensão sob (A) Traça e (B) 
Compressão. 
 
⊗ Solução Matemática para Relaxação 
 de Tensão e Fluência em Polímeros 
 35
 
1) Ensaio de Fluência (dσ/dt = 0). 
No ensaio de fluência as moléculas escoam uma sobre às outras devido 
à sua mobilidade natural, resultando em um aumento contínuo da deformação 
com o tempo. Para a visualização do fenômeno de fluência em polímeros, é 
conveniente utilizar o modelo de Voigt. Neste caso, a associação dos 
elementos feitos em paralelo fica submetida a uma mesma tensão (σ), isto é: 
amtotal σσσ += (14) 
amtotal εεε == (15) 
 
Logo a equação geral para a deformação do modelo de Voigt é: 
t
tEt ∂
∂+= εηεσ .)()( (16) 
 No caso de fluência σ(t) = σo e dividindo a equação (16) pela 
viscosidade (η), tem-se: 
t
E
∂
∂+= εη
ε
η
σ 0
 (17) 
 A relação entre o módulo (E) e a viscosidade (η) é definida como tempo 
de retardamento (τ), ou seja τ = η/E. A solução para a equação diferencial (17) 
é: 
))1exp(1( tτε −−= (18) 
 
 A Figura 32 ilustra a resposta deste modelo no ensaio de fluência. 
 36
 
Figura 32 – Curva de fluência descrita segundo o modelo de Voigt. 
 
2) Ensaio de Relaxação de Tensão (dε/dt = 0) 
No ensaio de relaxação de tensão, em razão da relaxação individual das 
moléculas, a tensão necessária para manter uma mesma deformação diminui 
com o tempo. Para este ensaio é mais conveniente usar o modelo de Maxwell. 
Neste caso os elementos mola e amortecedor são colocados em série, 
ou seja, a deformação total do sistema será igual a soma desses elementos, 
como descrito pela equação 19. 
amtotal εεε += (19) 
amtotal σσσ == (20) 
Portanto, a descrição matemática para a deformação total do modelo de 
Maxwell é representada pela equação (21). 
 
η
σσε 01 +∂
∂=∂
∂
Ett (21) 
 
Para a relaxação de tensão dε/dt = 0, então temos: 
η
σσ 010 +∂
∂=
Et (22) 
Reorganizando a e equação (22) temos: 
 37
tE ∂−=∂ ησ
σ
0
 (23) 
A relação entre o módulo (E) e a viscosidade (η) é definida como tempo 
de relaxação, ou seja λ = η/E. A solução para a equação diferencial (23) será: 
tt )1exp()( 0 λσσ −= (24) 
A Figura 33 ilustra a resposta do modelo de Maxwell para o ensaio de 
relaxação de tensão. 
 
Figura 33 - Relaxação de tensão analisada a partir do 
 modelo de Maxwell. 
 
Estes modelos são simples e não são adequados para representar o 
comportamento deformacional de polímeros. Neste caso, existem modelos 
mais complexos que se aproximam das condições mais reais das deformações 
destes materiais. Os modelos são: 
⊗ Modelo Generalizado de Maxwell-Weichert 
⊗ Modelo Generalizado de Voigt 
 
⇒ Modelo Generalizado de Maxwell – Weichert 
 
Este modelo pode representar de maneira adequada o fenômeno de 
relaxação de tensão. Neste modelo, vários elementos de Maxwell são 
distribuídos de acordo com a Figura 34. 
 38
 
Figura 34 – Modelo generalizado de Maxwell. 
 
⇒ Modelo Generalizado de Voigt 
Este modelo pode representar de maneira adequada o fenômeno de 
fluência. Nesse modelo, vários elementos de Voigt são acoplados de acordo 
com a Figura 35. 
 
 Figura 35 – Modelo generalizado de Voigt. 
 
→ Ensaio Dinâmico – Mecânico: Este ensaio é capaz de fornecer 
informações a respeito do comportamento viscoelástico do sistema, 
desmembrando o módulo em dois componentes: a contribuição elástica e 
 39
viscosa. Neste tipo de experimento, a tensão ou a deformação é uma função 
oscilatória, normalmente senoidal com uma frequência angular ω (= 2πf). 
Suponha que o equipamento aplique uma deformação senoidal do tipo γ = γ0 
sen (ωt) e meça a tensão resposta como uma função da variação da 
temperatura ou da frequência. Esta tensão resposta irá depender do 
comportamento do material. Matematicamente, é possível acompanhar como 
as informações a respeito das contribuições elástica e viscosa do material. 
Para melhor compreender o significado da deformação senoidal, 
compare o movimento que ocorre em ensaio estático e dinâmico para uma 
deformação tipo tração. No ensaio de tração estático, o corpo é deformado 
uma única vez e a tensão ou deformação é medida, conforme demonstrado na 
Figura 36-A. Em um ensaio de tração dinâmico, o ponto móvel representado 
pela Figura 36-b, faz um movimento de “vai e vem”. 
 
Figura 36 – Representação do movimento realizado durante um ensaio 
de tração (A) estático e (B) dinâmico. 
 
Se um corpo de comportamento elástico ideal, tal como uma mola, é 
submetida a uma deformação do tipo: 
)sen(0 tωγγ = (25) 
onde, γo é a amplitude máxima de deformação, a tensão resposta também será 
senoidal e estará em fase com a deformação, como mostra a equação (26). 
)sen(0 tωσσ = (26) 
 
como: 
 40
0
0
γ
σ=E (27) 
então a deformação resposta pode ser descrita como: 
)sen(0 tE ωγσ = (28) 
 
Para um corpo com comportamento viscoso ideal, tal como um 
amortecedor, a tensão resposta também será tipo senoidal, porém, estará a 
900 fora de fase com a deformação. Para este tipo de material, a tensão e a 
taxa de deformação estão relacionadas entre si pela viscosidade: 
γ
ση = (29) 
 
então, 
ηγσ = (30) 
 
Como a deformação aplicada é )sen(0 tωγγ = , então: 
)cos(0 tt
ωωγγγ =∂
∂= (31) 
 
e a tensão resposta é: 
)cos(0 tωηωγσ = (32) 
 
Para um corpo de comportamento viscoelástico linear, a tensão resposta 
será do tipo senoidal e estará defasada da deformação por um certo ângulo 
(0 ≤ δ ≤ π/2), isto é:)sen(0 tωγγ = (33) 
então: 
)sen(0 δωσσ += t (40) 
 41
A equação da tensão resposta pode ser desenvolvida aplicando-se a 
regra de sen (A+B) = senA x cosB + senB x cosA, então: 
 
δωσδωσσ sen)cos(cos)sen( 00 tt += (41) 
 A equação 41 mostra que a tensão resposta pode ser resolvida em duas 
componentes: 
δωσ cos)sen(0 t - que é a componente em fase com a deformação e está 
relacionada à energia elástica armazenada; 
δωσ sen)cos(0 t - que é a componente 90o fora de fase com a 
deformação e está relacionada à energia viscosa dissipada. 
 
 Dividindo-se cada um desses componentes da tensão resposta pela 
deformação senoidal aplicada, obtêm-se dois componentes em termos de 
módulo: 
δωγ
ωσ cos
)sen(
)sen(
0
0´
t
tE = (42) 
 
δωγ
ωσ sen
)sen(
)cos(
0
0''
t
tE = (43) 
 O módulo oriundo da componente da tensão resposta em fase com a 
deformação, E’, é denominado de módulo de armazenamento. E o módulo 
oriundo da componente de tensão resposta 90o fora de fase com a 
deformação, E’’, é denominado módulo de perda. Assim um material 
viscoelástico será caracterizado por dois valores de módulo E’ e o E’’. 
 Matematicamente é comum representar o módulo do sistema de E*, 
como um número complexo composto por duas componentes: 
'''* iEEE += (44) 
 
onde a parte real do número complexo constitui-se do módulo de 
armazenamento e a parte imaginária do módulo de perda. 
 42
 A razão entre os valores de módulo de perda, E’’, e o módulo de 
armazenamento, E’, define uma grandeza denominada tangente de perda, 
tanδ, isto é: 
'
''tan
E
E=δ (45) 
 A tangente de perda ou fricção interna ou amortecimento, é a razão 
entre a energia dissipada por ciclo e a energia potencial máxima armazenada 
durante o ciclo. Esta relação é muito útil na caracterização de sistemas 
poliméricos. Assim, materiais mais rígidos irão apresentar valores de tanδ 
menores e, do mesmo modo, materiais mais flexíveis irão apresentar valores 
de tanδ maiores. 
 A Figura 37 representa as funções senoidais da deformação aplicada e 
da tensão resposta para materiais (a) elásticos lineares, (b) viscosos lineares e 
(c) viscoleásticos. 
 
Figura 37 - Representação das funções senoidais da deformação 
aplicada (γ) e da tensão resposta (σ) para materiais (a) elásticos ideiais, 
(b) fuidos viscosos lineares e (c) viscoelásticos. 
 
 43
Princípio da Superposição Tempo – Temperatura 
A caracterização experimental dos princípios da viscoelasticidade 
representados pelos ensaios de fluência, relaxação e dinâmico-mecânico é, por 
muitas vezes, um trabalho demorado e complexo. Isto acontece mesmo 
quando são solicitados esforços cíclicos onde os resultados são mais 
rapidamente obtidos do que os ensaios estáticos. 
Em alguns casos, como por exemplo, a variação do módulo de 
relaxação com o tempo para uma dada temperatura, demanda muito tempo 
para a obtenção de uma curva desejada. 
A partir do desenvolvimento de métodos analíticos, conhecidos como 
“Princípios de Superposição”, tornou-se possível a construção de curvas 
capazes de mostrar claramente a dependência do módulo em função do tempo 
ou da temperatura, sem a necessidade de se realizar ensaios em longos 
períodos. Tais curvas são denominadas de “Curvas-Mestra”. 
O princípio da superposição para a construção de uma curva-mestra é 
bastante útil para projetos que levem em consideração o desempenho do 
material ao longo do tempo, em determinadas temperaturas, sob diversos 
estágios de carregamento. 
 
9 Construção da Curva-Mestra 
A construção da curva-mestra é baseada em dois princípios: 
1- Curvas de módulo em função da temperatura são semelhantes às 
curvas de módulos em função do tempo. 
2- A variação acentuada do valor de módulo em função do tempo está 
intimamente relacionado à Tg do material. 
 
O ensaio seja ele estático ou dinâmico, é realizado a uma temperatura 
fixa em um tempo hábil (pré-determinado). Os valores do módulo em função do 
tempo são armazenados. Estes ensaios são repetidos várias vezes com 
temperaturas diferentes e por isso são realizadas várias curvas em função do 
tempo. Para a construção da curva-mestra, uma temperatura de referência é 
escolhida e o fator de deslocamento (at) de cada curva a uma dada 
temperatura (T) e um dado tempo (t) é calculado graficamente ou 
matematicamente. 
 44
Para polímeros amorfos o fator de deslocamento (at) é calculado 
matematicamente pela equação 46, de Willian, Landel e Ferry (WLF). 
)(
)(log
02
01
ttC
ttCat −
−−= (46) 
Onde: 
gf
C
303,21
β= (47) 
Onde: 
β → é uma constatnte e fg é o volume livre fracional na Tg 
t
gfC α=2 (48) 
Onde: 
αt → coeficiente de expansão térmica do volume livre fracional 
acima da Tg do polímero. 
 
A equação de Arrhenius é usada para calcular o fator de deslocamento 
de uma variedade de polímeros, tanto amorfos como semicristalinos. 
)/1/1(
exp
0TTr
Hat −
Δ= (49) 
Onde: 
ΔH → a entalpia de ativação da relaxação; 
R → a constante dos gases. 
 
O fato essencial é que a medida que a temperatura aumenta, o valor do 
tempo de relaxação naquela temperatura diminui, de modo que todos os efeitos 
viscoelásticos ocorrem mais rapidamente. 
Em princípio, a superposição permite a realização de experimentos em 
tempos curtos de análise, a uma temperatura elevada, para fornecer 
informações sobre as propriedades de um material as quais, a uma 
temperatura mais baixa poderiam requerer muito tempo para serem medidas. 
A Figura 38 ilustra a construção de uma curva mestra para o 
Poliestireno. 
 45
 
Figura 38 – Representação da construção de uma curva mestra. 
 
A Tabela 2 mostra um resumo das características e as equações de 
estado elástico fluido viscoso ideal. 
 
Tabela 2 
Resumo das Características e Equações de 
Estado Elástico Fluido Viscoso Ideal 
 
Sólido Elástico Ideal Fluido Viscoso Material Viscoelástico 
O material sob tensão se 
deforma elasticamente. Após 
a retirada da tensão, o 
material recupera suas 
dimensões originais. 
♦ Memória Perfeita. 
A tensão aplicada induz a 
deformação do fluido que se 
deforma permanentemente, 
dissipando energia e calor. 
 
♦ Sem Memória 
Material com comportamento 
simultâneo de sólido, elástico 
e fluido. 
 
 
♦ Memória Falha 
O parâmetro de medida 
principal é a deformação. 
 
 
ε = ΔL/Lo
O parâmetro principal de 
medida é a taxa de 
cisalhamento ou gradiente de 
velocidade. 
γ=dv/dy=dγ/dt 
O parâmetro de medida pode 
ser tanto a taxa de 
cisalhamento com a 
deformação 
Equação de Estado ou 
Tensão 
σ = Eε 
Equação de Estado ou Fluido 
 
τ = ηγ 
Existem vários modelos 
matemáticos que descrevem a 
equação de estado ou 
fluxo/tensão. 
Em testes oscilatórios, a 
tensão e deformação, do 
modelo mola (sólido ideal), 
estão em fase, isto é δ = 0 
 
Em testes oscilatórios, a 
tensão e deformação para o 
modelo de amortecedor (fluido 
ideal) estão fora de fase de 
um ângulo de δ = 90º
Em testes oscilatórios, o 
ângulo de defasagem entre as 
curvas de tensão e 
deformação com o tempo está 
entre 0º < δ <90º 
 
 46
 
Regimes de Escoamento de Fluidos 
Na teoria clássica do escoamento de fluidos, são conhecidos dois 
regimes: o regime “Permanente” e o regime “Transiente ou Transitório”. 
1- Regime Permanente ou Estado Estacionário: o escoamento é 
perfeitamente estável e a velocidade pontual do fluido não varia com 
o tempo. 
2- Regime Transiente ou Transitório: o escoamento apresenta uma 
velocidade pontual variável com o tempo. 
 
Fluxo Laminar 
No fluxo laminar, as moléculas ou camadas de fluido se deslocamatravés de linhas de corrente. Sabe-se que a distribuição de velocidades é a 
parabólica no interior de tubos circulares. A velocidade é máxima no eixo axial 
e nula na parede do tubo. A distribuição de tensão é linear ao longo da seção 
do tubo, sendo máxima na parede e nula no centro, conforme pode ser 
observado pela Figura 39. 
 
Figura 39 – Ilustração da distribuição (A) de velocidades e (B) de 
tensões em fluxo laminar no interior de tubo circular de seção uniforme. 
 
Fluxo Tampão 
O fluxo tampão é um caso particular de escoamento laminar, no qual 
não existe deslizamento relativo entre as camadas ou moléculas do fluido 
numa certa região. Nesse escoamento, existe deslocamento relativo próximo 
às paredes do recipiente, mas a região central do fluido se move como se fosse 
um corpo sólido, sem apresentar deslocamento relativo no centro. O 
 47
escoamento tampão normalmente ocorre em fluidos não ideais que possuem 
uma tensão limite para iniciar o cisalhamento. 
A Figura 40 ilustra o fluxo tampão de um fluido no interior de um duto 
circular. 
 
Figura 40 – Esquema representativo da distribuição de (A) de 
velocidade e (B) de tensões de cisalhamento. 
 
Fluxo Turbulento 
O fluxo turbulento caracteriza-se pelo deslocamento caótico de massas 
ou partículas do fluido ao longo do canal de fluido. Esse deslocamento 
turbulento provoca uma mistura entre as moléculas ou camadas. Neste tipo de 
fluxo, as partículas ou massas do fluido se movem ao acaso e através de 
trajetórias acentuadamente curvas. Desta maneira, as velocidades pontuais 
mudam de valor e direção. Entretanto, como a amplitude das oscilações das 
partículas é pequena e o deslocamento macroscópico se dá em uma direção 
definida, o fluxo turbulento pode ser considerado como permanente em média. 
A Figura 41-A apresenta um esquema ilustrativo do fluxo turbulento 
através de um conduto cilíndrico, enquanto que a Figura 41-B ilustra a variação 
da velocidade em um ponto em função do tempo e esboça uma curva que 
representa o cálculo da velocidade média. 
 48
 
Figura 41 – (A) Perfil das velocidades médias em fluxo turbulento, no 
interior de tubo circular de seção uniforme, (B) Variação da velocidade 
pontual, em função do tempo para o fluxo turbulento. 
 
A relação que define o regime de fluxo é conhecida como “Número de 
Reynolds”, conforme pode ser observado pela equação (50). Esta relação 
independe dos sistemas de unidades, isto é, ela é adimensional. 
 
η
ρ méd
r
DVN = (50) 
Onde: 
ρ → massa específica do fluido, 
D → dimensão do canal de escoamento, 
vméd → velocidade média de fluxo. 
 
O escoamento laminar para fluidos Newtonianos através de tubos lisos, 
geralmente acontece quando o número de Reynolds é menor que 2100. A 
transição do fluxo laminar para o turbulento ocorre para o número de Reynolds 
no intervalo de 2100 a 3000. Acima de 3000, o regime é turbulento. Da 
equação 50, conclui-se que o escoamento tende a ser turbulento quando a 
velocidade do fluxo aumenta, ou se a viscosidade do material diminui. Para 
uma determinada velocidade e viscosidade, o fluxo tenderá a ser turbulento se 
a dimensão do canal de fluxo aumentar. 
A Tabela 3 mostra o número de Reynolds praticados no escoamento de 
fluidos usuais da indústria de petróleo. 
 
 
 
 
 49
Tabela 3 
Perfil das Velocidades Médias em Fluxo Turbulento Número de Reynolds 
crítico no escoamento dos fluidos. 
 
Nº de Reynolds Crítico Tipo de Fluxo Tipo de Fluido 
100 Tampão Não Newtoniano 
2100 Laminar Newtoniano 
3000 Turbulento Newtoniano 
3000 – 8000 Turbulento Não Newtoniano 
 
Escoamento no interior de tubos 
O processamento de materiais poliméricos é realizado, na maioria dos 
casos, em equipamentos de geometria complexa, como é o caso da extrusão e 
da injeção. Desta maneira, o fluxo desenvolvido pelo polímero nestes 
equipamentos também é bastante complexo. Entretanto, normalmente são 
realizadas aproximações dessas situações complexas para situações mais 
simples. Outro fator adicional para a necessidade de estudar casos mais 
simples, é o fato de que a maioria das propriedades reológicas de polímeros é 
obtida experimentalmente através de medidas em equipamentos com 
geometria simples, como por exemplo o reômetro capilar e de cone com placas 
 
Fluxo de um fluido Newtoniano através de um tubo 
Escoamento Laminar 
A figura 42 mostra o esquema de um modelo adotado para fluxo laminar 
através de um tubo longo de seção circular de raio R e comprimento L. Essa 
situação pode ser encontrada, por exemplo, em canais de alimentação de um 
molde de injeção e capilar de um reômetro. 
 
Figura 42 – Esquema ilustrativo do fluxo laminar de um fluido no interior 
de um tubo cilíndrico longo com seção circular. 
 50
A análise do fluxo laminar é de amplo domínio da matemática e bastante 
abordado nos livros de mecânica dos fluidos. Para descrever o fluxo do fluido 
em cada ponto, dentro de um tubo cilíndrico de seção circular, são realizadas 
as seguintes considerações: 
♦O fluxo laminar; 
♦ A velocidade do fluxo na parede do tubo é zero; 
♦ O fluido incompreensível; 
♦ O escoamento é permanente; 
♦ O fluido é Newtoniano. 
Para que haja escoamento na geometria mostrada na Figura 42 é 
necessária a aplicação de uma pressão externa numa dada direção. Suponha 
que a pressão P1 > P2 o fluido irá se movimentar com uma dada velocidade (V). 
Em contraposição a ação da pressão aplicada existirá uma tensão de 
cisalhamento que ocorre devido a resistência do fluido ao escoamento. 
 
Fluxo de Pressão 
O fluxo de pressão é aquele em que um gradiente de pressão é aplicado 
ou imposto ao sistema. Para o escoamento, o perfil de velocidade é gerado 
pela aplicação de um gradiente de pressão externa ΔP no fluido. A pressão 
diferencial que atua numa camada de fluido da Figura 42, resulta em uma força 
expressa por: 
 (51) 
22
12 )( rPrPPFc ππ Δ=−=
Onde: 
Fc → a força cisalhante, 
ΔP → diferença de pressão que provoca o deslocamento, 
r → raio a uma distância qualquer do centro. 
 
Resistência do Fluido 
A resistência viscosa do fluido ao fluxo, devido a tensão cisalhante que 
atua através da área superficial da camada do fluido, é descrita pela equação 
(52). 
 51
rlF rc πτ 2= (52) 
 
Onde: 
Fr → força viscosa resistente do fluido, 
τr → tensão cisalhante a uma distância r, 
r → raio a uma distancia qualquer do fluido, 
l → comprimento da camada do fluido. 
 
No equilíbrio dinâmico, as duas forças (Fluxo de pressão e Resistência 
do Fluido), se igualam resultando em: 
lr 2
PrΔ=τ (53) 
Considerando que a diferença de pressão uniforme ao longo do 
comprimento do duto (L), onde o escoamento se encontra perfeitamente 
desenvolvido , então: 
Lr 2
PrΔ=τ (54) 
A equação 54 fornece o perfil de cisalhamento para o escoamento no 
duto circular. A partir deste perfil é possível afirmar que no centro do tubo, o 
cisalhamento é nulo e que nas paredes do tubo a tensão de cisalhamento 
assume seu valor máximo, τmáx, dado por: 
L
PR
máx 2
Δ=τ (55) 
Onde: 
τmáx → tensão de cisalhamento máxima na parede do tubo, 
R → raio interno do tubo, 
L → comprimento do tubo. 
A equação 55 mostra que a tensão de cisalhamento, em qualquer ponto, 
varia linearmente com a posição radial, sendo nula no centro e máxima na 
parede do duto. 
 52
A taxa de cisalhamento ou gradiente de velocidade na parede de um 
condutor é dada pela seguinte equação: 
3
4)
2
(
R
Q
r
V
wmáx πγ =
∂= (56) 
Onde: 
dV/dr → gradiente de velocidade do fluido, 
Q → vazão do fluxo. 
 
Para Fluidos que obedecem a Lei de Newton, tem-se:como: 
máxc
máx
γ
τη =
 (57) 
 
Substituindo (57) em (56), tem-se: 
LQ
RP
8
4πη Δ=
 (58) 
 
Para fluidos não Newtonianos a solução da equação 56 será: 
 
)4)(
4
13( 3R
Q
n
n
máx πγ
+=
 (59) 
 
nn
a R
Q
n
n
L
PR )4()
4
13(
2 3πη
+=Δ (60) 
 
Onde: 
ηa →viscosidade aparente do fluido. 
 
 
 
 53
1.6 REOMETRIA E VISCOSIMETRIA 
 
1.6.1 MEDIDAS REOMÉTRICAS 
 
Quando se medem propriedades reológicas em laboratório, fala-se que 
estão realizando ensaios de reometria. Estes ensaios são realizados em 
equipamentos que permitem investigar o comportamento reológico sob 
condição de fluxo pleno e determinar o comportamento viscoelástico de um 
certo fluido. 
 
Reometria Capilar 
A reometria capilar é a técnica mais utilizada para o estudo das 
propriedades reológicas de polímeros fundidos. Esta técnica mede a vazão em 
um tubo em função da pressão e é realizada em um reômetro capilar. 
 
Princípio de medida de vazão por um Reômetro Capilar: 
O polímero fundido é forçado a atravessar um orifício capilar de área 
transversal circular. Mede-se a força exercida pelo pistão sobre o fluido, para 
que este escoe a uma velocidade constante. A vazão do fluido também é 
calculada. A Figura 43 ilustra o reômetro capilar. 
 
Figura 43 – Esquema ilustrativo de um reômetro capilar: (A) Capilar, (B) 
Barril, (C) Pistão, (D) célula de carga, Db diâmetro no barril, 
e Dc é o diâmetro do capilar. 
 
 
 
 54
O fluxo que ocorre em um capilar é o mesmo apresentado 
anteriormente, para condutos de seção circular. No reômetro capilar é 
considerado que o fluxo está em regime permanente de cisalhamento, então, 
as equações (55), (58), (59) e (60) são válidas para este caso. 
Lembre que as equações (59) e (60) apresentam a solução matemática 
de fluxo de vazão para Fluidos Não Newtonianos (polímeros). 
 
)4)(
4
13( 3R
Q
n
n
máx πγ
+= (59) 
 
nn
a R
Q
n
n
L
PR )4()
4
13(
2 3πη
+=Δ (60) 
 
Se fizermos um gráfico de L
PR
2
log Δ versus nR
Q )4( 3π obteremos uma 
linha reta, cuja interseção e inclinação permitirá calcular ηa e n, 
respectivamente. 
 
Correção de Rabinowitsch 
Quando é realizado um experimento em um reômetro capilar, utilizando 
fluidos que não obedecem a Lei das Potências e a Lei de Newton, a curva de 
fluxo do L
PR
2
log Δ versus nR
Q )4( 3π não segue um comportamento linear 
(Figura 44). Para este caso utiliza-se um fator de correção, chamado de 
correção de Rabinowitsch. Desta maneira, a taxa de cisalhamento na parede 
do capilar, para fluidos que não seguem a Lei das Potências, é calculada a 
partir da equação 61. 
)
4
3)(4( 3
b
R
Q
damáxcorrigi
+= πγ (61) 
 
Onde: 
b → está relacionado com o raio do capilar, comprimento do 
capilar e fluxo de vazão do fluido. 
 55
 
 
Figura 44 – Curva de tensão de cisalhamento da parede do capilar x 
taxa de cisalhamento aparente para (a) Fluido Newtoniano, (b) fluido 
Não Newtoniano que obedece a Lei das Potências e (c) fluido Não 
Newtoniano que não obedece a Lei das Potências. 
 
Correções na entrada do capilar 
A queda de pressão teórica através de um capilar pode ser expressa 
pela equação (62). 
cb PPP −=Δ (62) 
Onde: 
Pb → pressão no barril, 
Pc → pressão na saída do capilar. 
 
 A equação (62) é válida para um fluido Newtoniano, de baixo peso 
molecular e o fluxo está plenamente desenvolvido. Porém na prática, quando 
as propriedades reológicas de polímeros fundidos são medidas, observa-se 
uma queda da pressão na entrada do capilar. Assim, torna-se necessário 
corrigir esta diferença na pressão de entrada, já que seu valor afetará 
diretamente no valor de τmáximo e na viscosidade, η. 
 56
Correção de Bagley 
A correção de Bagley é um procedimento utilizado para corrigir a 
diferença de pressão da entrada do capilar, que consiste em calcular o 
comprimento do capilar necessário para obter um fluxo completamente 
desenvolvido. Assim pode-se expressar a tensão de cisalhamento corrigida na 
parede do capilar, segundo a equação (63). 
A Figura 45 ilustra a pressão de um capilar de comprimento de 
(Lc + eRc). 
)(2. cc
c
corrigidamáxc eRL
PR
−
Δ=τ (63) 
Onde: 
O produto eRc→ representa o comprimento do tubo capilar 
necessário para obter fluxo plenamente desenvolvido, com uma 
queda de pressão igual à queda de pressão extra resultante dos 
efeitos da entrada do capilar, 
Rc → raio do capilar, 
Lc → comprimento do capilar. 
 
 
Figura 45 – Pressão através de um tubo capilar. 
 
Experimentalmente, e é calculado, através da utilização de vários 
capilares com diâmetros 2Rc similares, mas com comprimentos Lc diferentes. 
 57
São construídas curvas de ΔP em função de Lc/Rc. A correção de Bagley, na 
entrada do capilar é então determinada por extrapolação dessas curvas até 
pressão igual a zero, isto é, a interseção das retas com o eixo horizontal 
corresponde ao valor de e, conforme ilustrado pela Figura 46. 
 
 
Figura 46 – Curvas para determinar a correção de Bagley. 
 
Procedimento para determinação da viscosidade em um reômetro 
capilar 
Em um reômetro capilar, o pistão desce a uma velocidade constante Vxh, 
e o polímero exerce uma força F contra o pistão. Logo, as tensões e as taxas 
de cisalhamento são calculadas a partir das seguintes expressões: 
))(( 2.
c
c
b
máxc L
D
D
F
πτ = (64) e )()15
2( 3
2
. D
Dv bxhmáxc =γ (65) 
Onde: 
F → força exercida pelo material no pistão (Kgf), 
Db = 2Rb → diâmetro do barril (cm), 
Dc = 2Rc → diâmetro do capilar (cm), 
Vxh → velocidade de descida do pistão (cm/min). 
 
 58
Após a obtenção de F em função de Vxy é adotado o seguinte 
procedimento para calcular a viscosidade e a taxa de cisalhamento: 
1- Calculam-se as tensões e taxas experimentais de acordo com as 
equações 64 e 65. 
2- Faz-se um gráfico dos dados experimentais de log τmáx x γmáx. Se o 
gráfico obtido for uma linha reta, calcula-se a sua inclinação a qual 
corresponderá ao valor de n. Se n=1, o fluido é Newtoniano e 
nenhuma correção precisa ser feita. Caso a curva seja uma reta e 
n>1 ou <1, então corrige-se a taxa de cisalhmanento(γmáx) utilizando a 
equação 59. Caso os dados experimentais não produzam uma linha 
reta, deve-se fazer a correção de Rabinowistsh para a obtenção da 
taxa de cisalhamento corrigida, segundo a equação 61. 
3- Se necessário, deve-se também fazer a correção de Bagley obtendo-
se a tensão de cisalhamento corrigida (τmáx), de acordo com a 
equação 63. 
4- Calcula-se o valor da viscosidade (η) = τmáx/ γmáx (interseção com o 
eixo y). 
 
1.6.2 REÔMETROS CONE-PLACA E PLACA-PLACA 
O Reômetro cone-placa é constituído por um corpo de forma cônica e 
outro de plano em forma de placa circular. O ângulo do corpo cônico é, em 
geral, muito pequeno, isto é, menor que 0,0174 rad (α=1o). A Figura 47 
apresenta o esquema dos reômetros: (A) cone-placa e (B) placa-placa. 
 
 
Figura 47 – Esquema do reômetro tipo (A) cone-placa e (B) placa-placa. 
 59
A tensão de cisalhamento no reômetro pode ser calculada pela seguinte 
expressão: 
3. 2
3
c
q
r
T
πτ = (66) 
Onde: 
 Tc → tensão de cisalhamento no cone; 
 Rc → raio externo do cone ou da placa circular; 
 Tq → torque a ser medido 
Considerando o raio definido, a equação 66 pode ser reescrita como: 
qc Tb1. =τ (67) 
A expressão que calcula a taxa de cisalhamento para o Reômetro de 
cone-placa é: 
N
tgcp
)
30
(
)( α
π
α
ωγ == (68) 
Onde: 
 γcp → taxa de cisalhamento do fluido noreômetro cone-placa, 
 ω → velocidade angular, 
α → ângulo do cone, 
N → velocidade de rotação. 
 
A taxa de cisalhamento do reômetro de placa-placa é dependente do 
raio externo da placa rotatória, desta maneira a expressão que calcula a taxa 
de cisalhamento para este equipamento será: 
N
e
rp
pp )30
(
πγ = (69) 
Onde: 
γpp → taxa de cisalhamento do fluido no reômetro placa-placa, 
rp → raio da placa circular, 
e → distância entre as placas, 
N → velocidade de rotação. 
 60
Considerando que no reômetro cone-placa, o ângulo do cone é 
constante, e no reômetro placa-placa, o fator (rp/e) é constante, tem-se que: 
Nb2=γ (70) 
Logo, a viscosidade para os reômetros Cone-Placa e Placa-Placa é 
expressa pela equação (71). 
)(
N
T
b q=η (71) 
 
1.6.3 REÔMETRO DE TORQUE 
No processamento de polímeros, as propriedades reológicas dependem 
dos parâmetros operacionais (temperatura, pressão, vazão) e estruturais (peso 
molar, DPM, etc.). Assim, é recomendável medir as propriedades como a 
viscosidade, nas condições mais próximas ou similares das condições de 
processamento. O reômetro de torque é um equipamento que reproduz, em 
escala menor, as geometrias dos equipamentos usados industrialmente e 
aproxima-se das condições reais de processamento. 
O reômetro de torque é constituído por um misturador interno de pás 
giratórias. Nesse reômetro, a amostra é colocada dentro do misturador a uma 
velocidade pré-determinada. O torque necessário para fundir, misturar e 
homogeneizar a amostra é então medido. Desta forma, obtém-se um gráfico de 
torque x tempo. A temperatura dentro do sistema é continuamente controlada. 
Também podem ser obtidas curvas de temperatura x tempo. 
 
Figura 48 – Curva de torque obtida em um reômetro de torque, 
 utilizando um sistema misturador. 
 61
REVISÃO 
 
Parâmetros que Afetam a Viscosidade dos Polímeros 
 
� Taxa de Cisalhamento 
� Efeito da Temperatura 
� Efeito da Massa Molar e Distribuição 
� Grau de Ramificação 
� Pressão 
 
⇒ Taxa de Cisalhamento 
Alguns polímeros quando fundidos podem ter um comportamento de um 
fluido da Lei da Potência. Este é um comportamento típico destes materiais, 
mas não o único. 
Na figura 49, pode-se observar que a viscosidade de um determinado 
polímero fundido é uma função da taxa de cisalhamento, decrescendo à 
medida que esta aumenta. Nesta figura também é possível observar que, em 
alguns processos de transformação de polímeros, como moldagem por 
compressão, as taxas de cisalhamento são baixas, enquanto em outros, como 
extrusão e moldagem por injeção, as taxas de cisalhamento são altas. Assim, 
dependendo da magnitude da taxa de cisalhamento do processo, o polímero 
poderá ter um comportamento Newtoniano ou não-Newtoniano. 
Para baixas taxas de cisalhamento, como é no caso de moldagem por 
compressão, o material apresenta um comportamento Newtoniano. O aumento 
da taxa de cisalhamento, acarreta na orientação das moléculas, reduzindo 
assim a resistência do fluido ao fluxo, isto é, ocorre a diminuição da 
viscosidade do material (fluido pesudoplástico). 
No processamento de injeção, quando a taxa de cisalhamento é muito 
elevada o polímero pode votar a apresentar um comportamento Newtoniano. 
Neste estágio, as moléculas moléculas do polímero estão completamente 
orientadas e a viscosidade do material não é mais afetada pelo aumento da 
taxa de cisalhamento. 
 62
A Figura 50 apresenta a influência da viscosidade com o aumento da 
taxa de cisalhamento para alguns polímeros, quando fundidos. 
 
 
Figura 49 – Curva de viscosidade x taxa de cisalhamento para um 
polímero fundido a uma dada temperatura. 
 
 
Figura 50 – Curva de viscosidade x taxa de cisalhamento para vários 
polímeros fundidos a uma dada temperatura. 
 
 
⇒ Efeito da Temperatura 
A viscosidade dos materiais também sofre alterações com a variação da 
temperatura. De uma forma geral, o aumento da temperatura irá promover um 
incremento na movimentação molecular que acarretará uma diminuição da 
viscosidade do material. 
 63
A Figura 51 mostra a influência da temperatura na viscosidade de alguns 
polímeros. 
 
 
Figura 51 – Influência da temperatura na viscosidade de alguns polímeros. 
 
A dependência da viscosidade em relação à temperatura pode ser 
explicada pela teoria do volume livre em polímeros. Essa teoria assume que a 
uma dada temperatura To≅ (Tg - 52ºC), em que Tg é a temperatura de transição 
vítrea, não existe volume livre entre as macromoléculas; porém, esse volume 
livre aumentará linearmente com o aumento da temperatura. Na Tg, o volume 
livre assumirá um valor finito a fg. Assim, um coeficiente de expansão do 
volume livre αf, pode ser descrito como: 
)( gfg TTff −+= α (72) 
 
Onde: 
 F é o volume livre e fg volume livre na tg 
fg = 0,025 
αf = 4,8 x 10-4
 
Pela Teoria de Willians, Landel e Ferry (WLF), a viscosidade η a uma 
dada temperatura (T), está relacionada com a viscosidade, na temperatura de 
transição vítrea ηg pela seguinte relação: 
 64
 
gg
g
r
g
TT
C
TTC −+−=
2
1 )()log(η
η
 (73) 
 
onde C1 e C2 são: 
44,17
303,2
1
1 == gg fC (74) 
e 
6,51
303,2
1
12 == fgg CC α (75) 
 
No caso de polímeros fundidos, normalmente a dependência de η à 
temperatura pode ser expressa por uma relação do tipo Arrehnius 
Tbae /−=η (76) 
 
Onde: 
a → constante; 
T → temperatura absoluta. 
 
B pode ser expressa por: 
R
Eb a= (77) 
 Onde: 
Ea → energia de ativação de fluxo (barreira energética que dever 
ser vencida para que haja escoamento). 
R → Constante dos gases 
T → temperatura em absoluto. 
 
Para o melhor entendimento do efeito da temperatura nas propriedades 
dos polímeros é necessário lembrar que a viscosidade também varia com a 
taxa de cisalhamento. Considerando uma determinada temperatura, se a taxa 
de cisalhamento é pequena, o polímero estará preferencialmente emaranhado. 
 65
Em temperaturas mais elevadas, ocorre o aumento da movimentação 
molecular, e resultando em um desemaranhamento das cadeias. O 
desemaranhamento molecular resultará na diminuição das forças 
intermoleculares (pontos de contato) e, conseqüentemente a viscosidade 
diminui. 
 
⇒ Efeito da Massa Molar e Distribuição 
Assim como o módulo, a viscosidade também é influenciada pelo peso 
molecular (PM). O aumento do PM aumenta a viscosidade do polímero devido 
ao aumento dos “entanglements” emaranhamentos. A relação de Mark-Howlink 
expressa a dependência da viscosidade com Mw. 
Quase todos os polímeros lineares como o HDPE, o PP e o PS podem 
ter sua viscosidade η relacionada ao peso molecular. Esta relação é conhecida 
como “Relação de Mark-Howlink”: 
 
a
wKM=0η (78) 
 
Onde: 
K e a → são as constantes para um dado polímero 
 
Até um valor crítico de Mw, a é igual a 1, acima desse valor, chamado 
Mc, a varia entre 3,4 e 3,5. Esse valor corresponde à aproximadamente 
Mc=15.000 e, teoricamente, equivale ao peso molecular no qual os 
emaranhamentos moleculares começam a exercer efeitos significantes na 
viscosidade. 
A figura 52 mostra o efeito do peso molecular médio na viscosidade de 
um polímero. 
 66
 
Figura 52 – Curva de viscosidade x peso molecular médio, mostrado o 
peso molecular crítico. 
 
A Figura 53 mostra a influência de Mw nas curvas de viscosidade x taxa 
de cisalhamento. 
 
Figura 53 – Curva de viscosidade x taxa de cisalhamento, mostrando a 
influência de Mw na viscosidade. 
 
A distribuição de peso molecular também exerce forte influência na 
viscosidade do material. Quanto mais