Aula 02 - Algumas propriedades

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Alguns teoremas envolvendo as propriedades algébricas 
 
(1) Se 𝒛, 𝒂 ∈ ℝ tais que 𝒛 + 𝒂 = 𝒂 então 𝒛 = 𝟎 . 
 
 
 
 
(2) Se 𝒘, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒃 ≠ 𝟎 tais que 𝒘 ∙ 𝒃 = 𝒃 então 𝒘 = 𝟏 
 
 
 
(3) Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ e 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 então 𝒃 = −𝒂 
 
 
 
 
 
 
 2 
(4) Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎 e 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟏 então 𝒃 =
𝟏
𝒂
 
 
 
 
(5) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Então a equação 𝒂 + 𝒙 = 𝒃 tem a solução 
única 𝒙 = (−𝒂) + 𝒃 
 
 
(6) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Então a equação 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃 tem a solução 
única 𝒙 = (
𝟏
𝒂
) ∙ 𝒃 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
(7) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então 𝒂 ∙ 𝟎 = 𝟎 
 
 
 
(8) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então (−𝒂) = (−𝟏) ∙ 𝒂 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
(9) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então −(𝒂 + 𝒃) = (−𝒂) + (−𝒃) 
 
 
 
 
(10) Seja um elemento arbitrário 𝒂 ∈ ℝ, então −(−𝒂) = 𝒂 
 
 
 
 
(11) 
1)1()1( 
 
 
 
(12) Se 𝒂 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎 , então 
𝟏
𝒂
≠ 𝟎 e 
𝟏
(𝟏 𝒂⁄ )
= 𝒂 
 
 
 
 5 
 
 
 
(13) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então (−𝒂) ∙ (−𝒃) = 𝒂 ∙ 𝒃 
 
 
 
(14) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então a.(-b)=-(a.b) 
 
(15) Sejam elementos arbitrários 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, então (-a).b=-(a.b) 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Utilizaremos a Notação: 
 
baab 
 
 
aaa 2
 
 
aaa )( 23
 
 
Definição: Se 𝒏 ∈ ℕ, definimos 𝒂𝒏+𝟏 = (𝒂𝒏)𝒂 
 
 
Resultado: Por indução, concluímos que se 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ então 𝒂𝒎+𝒏 = 𝒂𝒎𝒂𝒏 
 
Notação: 
 
 
 
Escreveremos Para denotar 
ab 
 (-a)+b=b+(-a) 
a
b
 
)
1
()
1
(
a
bb
a

 
)0( a
 
1a
 
a
1
 
)0( a
 
na
 
na
1
 
)0( a