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Distribuições Amostrais e Teorema Central do Limite

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DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS E TEOREMA
CENTRAL DO LIMITE
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Estatı́stica
Dada uma amostra aleatória X1, X2, ..., Xn de uma população X ,
definiremos uma estatı́stica T como qualquer função de
X1, X2, ..., Xn, ou seja T = f(X1, X2, ..., Xn).
Exemplo 7
A Média Amostral:
X =
1
n
(X1 +X2 + · · ·+Xn).
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Exemplo 8
A Variância Amostral:
S2 =
n∑
i=1
(Xi −X)2/(n− 1).
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Distribuição Amostral
Sendo X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória da variável X , uma
pergunta natural seria o que acontece com a estatı́stica T quando
retiramos todas as amostras de uma população conhecida segundo um
plano amostral adotado, ou seja, qual a distribuição de T quando
X1, X2, ..., Xn assume todos os valores possı́veis. Essa distribuição
será chamada de distribuição amostral da estatı́stica T .
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Distribuição Amostral
Exemplo 9
Considere uma população formada pelos seguintes elementos
{1, 3, 5, 5, 7}. Considere a variável X: valor assumido pelo elemento
na população. Assim, a distribuição de probabilidade de X é dada
por:
X = x 1 3 5 7
P (X = x)
Observações: (i) E(X) =? e (ii) V ar(X) =?
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Distribuição Amostral
Considere todas as amostras possı́veis de tamanho 2, com reposição,
da população cuja distribuição é dada no exemplo anterior. Além
disso considere X1 o número selecionado na primeira extração e X2 o
número selecionado na segunda extração. Assim, podemos construir a
distribuição de probabilidades conjunta de (X1, X2) e as distribuições
marginais de X1 e X2. Observe que X1 e X2 são independentes e têm
distribuições iguais à distribuição de X .
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Distribuição Amostral
Todas as amostras de tamanho dois.
(1,1) (1,3) (1,5) (1,5) (1,7)
(3,1) (3,3) (3,5) (3,5) (3,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(7,1) (7,3) (7,5) (7,5) (7,7)
Neste caso, podemos construir a distribuição de algumas estatı́sticas,
como por exemplo a distribuição de X =
1
n
(X1 +X2 + · · ·+Xn) ou
S2 =
n∑
i=1
(Xi −X)2/(n− 1).
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Distribuição Amostral da Média
(1,1) (1,3) (1,5) (1,5) (1,7)
(3,1) (3,3) (3,5) (3,5) (3,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(5,1) (5,3) (5,5) (5,5) (5,7)
(7,1) (7,3) (7,5) (7,5) (7,7)
↓
1 2 3 3 4
2 3 4 4 5
3 4 5 5 6
3 4 5 5 6
4 5 6 6 7
Determine a distribuição amostral para a média e calculeE(X) e V ar(X)
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Distribuição Amostral da Média
1) Note que E(X) = E(X1) = E(X2) = E(X) = 4, 2, e que
V ar(X) = V ar(X)/2 = 2, 08;
2) Podemos provar que E(S2) = 4, 16 = σ2.
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Distribuição Amostral da Média
Teorema
Seja X uma variável aleatória com média µ e variância σ2, e seja
(X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de X . Então, a distribuição
da média amostral (X) terá média e variância dadas, respectivamente
por
E(X) = µ
e
V ar(X) =
σ2
n
.
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Distribuição Amostral da Média
Atenção!
Um teorema bem mais forte do que este é o que se refere à
distribuição de probabilidade da variável X . Este teorema é
conhecido como o Teorema Central do Limite.
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Teorema Central do Limite
Teorema
Para amostras aleatórias (X1, X2, ..., Xn), retiradas de uma população
com média µ e variância σ2 finita, a distribuição amostral da média
X aproxima-se, para n suficientemente grande, de uma distribuição
normal, com média µ e variância σ2/n.
X ≈ N(µ, σ2/n)
Desta forma, temos que:
Z =
X − µ
σ/
√
n
≈ N(0, 1).
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Teorema Central do Limite
Atenção!
1. No teorema acima não fizemos nenhuma suposição sobre a
natureza das distribuições das variáveis X1, X2, ..., Xn, ou seja,
independentemente de como se comportam essas variáveis,
sejam elas discretas ou contı́nuas, o teorema continua válido.
2. Se as variáveis X1, X2, ..., Xn têm distribuição normal, então X
terá também distribuição normal e não apenas uma aproximação.
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Teorema Central do Limite
Exemplo 10
Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm resistência
média de 100 ohms e um desvio-padrão de 10 ohms. A distribuição
de resistências é normal. Encontre a probabilidade de uma amostra
aleatória de n = 25 resistores ter uma resistência média menor que 95
ohms. Dica: P (Z < −2, 5) = 0, 0062.
Questões Sugeridas do Capı́tulo 10
03,04,05,07,08,09,10.
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