[Resolvida] Lista de exercícios - Limites

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Renato da Silva Viana
Resoluções
1)
Para x 6= 1:
x2 − x
x2 − 1
=
x(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)
=
x
x+ 1
Logo, f(x) admite a igualdade:
f(x) =
{ x
x+ 1
, se x 6= 1
1, se x = 1
Nas vizinhanças de x = a = 1, a função é tal que f(x) =
x
x+ 1
. Portanto:
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x
x+ 1
=
1
1 + 1
=
1
2
Assim sendo, f é descontínua, pois:
lim
x→1
f(x) 6= f(1)
1
2
6= 1
1
Renato da Silva Viana
2)
Para x nas vizinhanças de 0, f(x) = x sin
(
1
x
)
, e, pela definição da função f , tem-se f(0) = 0.
Assim, o limite pedido é tal que:
lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0
= lim
x→0
x sin
(
1
x
)
− 0
x
= lim
x→0
sin
(
1
x
)
Dessa forma, o limite não existe, pois @ lim
x→0
sin
(
1
x
)
.
2
Renato da Silva Viana
3)
Fatorando numerador e denominador, observa-se:
y =
x2 + x− 6
x2 + 2x− 8
y =
(x+ 3)(x− 2)
(x+ 4)(x− 2)
y =
x+ 3
x+ 4
,∀x 6= −4 e x 6= 2
Com isso, x = −4 é uma assíntota vertical, pois:
lim
x→−4−
x+ 3
x+ 4
= +∞
e
lim
x→−4+
x+ 3
x+ 4
= −∞
3
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4)
lim
x→
√
2
f(x) pode não existir. Sobre esse limite nada se pode concluir, já que está indefinido o
comportamento de f nas vizinhanças de x =
√
2.
4
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5)
Primeiro limite:
lim
x→0
x2
sinx
= lim
x→0
x
x
sinx
=
(
lim
x→0
x
)(
lim
x→0
x
sinx
)
= 0 · 1
= 0
Segundo limite:
lim
y→0
sin y
sin 2y
= lim
y→0
(
2y
2y
sin y
sin 2y
)
=
1
2
lim
y→0
(
2y
sin 2y
sin y
y
)
=
1
2
(
lim
y→0
2y
sin 2y
)(
lim
y→0
sin y
y
)
=
1
2
· 1 · 1
=
1
2
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6)
Desenvolvendo o limite:
lim
x→0
√
ax+ b− 2
x
= lim
x→0
((√
ax+ b− 2
)
x
(√
ax+ b+ 2
)(√
ax+ b+ 2
))
= lim
x→0
ax+ b− 4
x
(√
ax+ b+ 2
)
= lim
x→0
(
a√
ax+ b+ 2
+
b− 4
x
(√
ax+ b+ 2
))
= lim
x→0
a√
ax+ b+ 2
+ lim
x→0
b− 4
x
(√
ax+ b+ 2
)
Para que o limite do segundo termo do membro direito da igualdade exista, é preciso escolher
a e b que satisfaçam. Escolhendo b = 4, tal limite fica definido e igual a zero. Logo:
lim
x→0
a√
ax+ b+ 2
+ lim
x→0
b− 4
x
(√
ax+ b+ 2
) = lim
x→0
a√
ax+ 4 + 2
+ lim
x→0
4− 4
x
(√
ax+ 4 + 2
)
= lim
x→0
a√
ax+ 4 + 2
+ lim
x→0
0√
ax+ 4 + 2
= lim
x→0
a√
ax+ 4 + 2
+ lim
x→0
0
= lim
x→0
a√
ax+ 4 + 2
=
a√
a(0) + 4 + 2
=
a√
4 + 2
=
a
4
De modo que o limite seja igual a 1, tem-se:
a
4
= 1⇒ a = 4
Portanto, a = b = 4.
6
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7)
Dessa forma, sendo D a distância horizontal do observador ao balão e h a altura do balão, o
ângulo θ de visão do observador é tal que:
tan θ =
h
D
Derivando ambos os membros em relação ao tempo:
d
dt
(tan θ) =
d
dt
(
h
D
)
dθ
dt
1
cos2 θ
=
1
D
dh
dt
Em que ω =
dθ
dt
é a taxa de variação instantânea do ângulo de visão e v =
dh
dt
é a velocidade de
subida do balão. Além disso, o cosseno do ângulo é cos θ =
D√
D2 + h2
. Substituindo, obtém-se:
ω
1(
D√
D2 + h2
)2 = 1Dv ⇒ ω = vDD2 + h2
Para v = 30m/min, D = 20m e h = 60m, encontra-se:
ω =
(30)(20)
(20)2 + (60)2
rad/min = 0,15 rad/min ≈ 8,6◦/min
Bons estudos!
7