pontenciação e radiciação

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Noções básicas de potenciação e 
radiciação
Aislan da Silva Nunes
Introdução
Neste tema, estudaremos a respeito dos conceitos básicos de potenciação e radiciação, suas propriedades e
aplicações. Esses conteúdos são muito utilizados na Matemática, nos estudos de funções, que são ferramentas
que ajudarão você em outras áreas do conhecimento, como a economia, administração e a contabilidade,
auxiliando nos conceitos de lucro, receitas, demanda, oferta e muitas outras aplicações.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• definir potência de expoente natural e inteiro negativo, aplicando suas propriedades;
• definir raiz enésima aritmética e potência de expoente racional, aplicando suas propriedades.
Noções básicas de exponenciação
Na Matemática, utilizamos anotações exponenciais quando queremos simplificar operações de multiplicações
que se repetem, como a multiplicação a seguir:
Podemos escrever, portanto, qualquer que seja o número que se multiplica por várias vezes com anotação
exponencial, que se trata de uma forma reduzida de se expressar a multiplicação de fatores semelhantes.
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•
FIQUE ATENTO
Quando nos referimos a operações com expoentes, em geral, estamos interessados em
simplificar operações de multiplicação, sendo comum confundirmos com
operações do tipo . Veja que pela definição podemos escrever que é a mesma coisa
que multiplicar o número 5 duas vezes, diferentemente de entender 2 vezes o número 5.
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Potência de números naturais
Qualquer que seja o valor que possa assumir dentro do conjunto dos números naturais, com exceção do zero,
ou seja, , podemos expressá-lo por meio da seguinte notação definida.
Figura 1 - Notação exponencial com expoente natural
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Utilizaremos como consequência da definição apresentada que todo número elevado a zero será igual a um; todo
número elevado a um é igual a ele mesmo. Observe!
Potência de números inteiros negativos
Podemos encontrar casos em que o expoente não seja um número natural, e sim um número que pertence ao
conjunto dos números inteiros, deparando-nos com um número negativo no expoente.
Figura 2 - Notação exponencial com expoente inteiro negativo
Fonte: Elaborado pelo autor a partir de PAIVA, 2010.
Essa propriedade é utilizada em situações em que o expoente é um número inteiro e negativo para conseguirmos
transformar o expoente em um número natural e seu resultado em um número racional.
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Propriedades das potências de expoentes de números 
inteiros
As operações que envolvem expoentes possuem algumas propriedades que servem para facilitar as operações
matemáticas, e, ao memorizar essas propriedades, os cálculos que podem surgir de determinadas situações-
problema poderão ser resolvidos facilmente.
Figura 3 - Propriedades das potências
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Propriedade I) .
Esta propriedade apresenta expoentes diferentes para bases iguais:
Propriedade II) 
Esta propriedade também apresenta as bases iguais e expoentes diferentes:
Propriedade III) 
Esta propriedade possui uma anotação exponencial entre parênteses ( ) e essa anotação está elevada a outro
número:
Propriedade IV) 
Nesta propriedade existem dois números diferentes entre os parênteses ( ) elevados a um terceiro número:
Propriedade V) 
Esta propriedade é similar à propriedade IV, com exceção de que esta é uma fração:
Noções básicas de radiciação
A radiciação é utilizada na Matemática quando queremos simplificar algumas expressões algébricas e
aritméticas, também muito utilizada na Matemática financeira.
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Qualquer que seja o valor que possa assumir dentro do conjunto dos números naturais, com exceção do zero,
ou seja, , podemos expressá-lo por meio da notação definida a seguir.
Figura 4 - Notação de radiciação com radical natural
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Raiz enésima aritmética
A mesma definição de radiciação cujo radicando for negativo dependerá do radical para determinar sua resposta:
Figura 5 - Notação de radiciação com radical natural e radicando negativo
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Veja exemplos:
, porque pela definição 
, porque pela definição 
FIQUE ATENTO
Tanto as propriedades exponenciais quanto as propriedades de radiciação são importantes
aplicações na Matemática, e compreendê-las o ajudará a passar por muitas situações de forma
mais serena. Dedique uma hora do seu dia para estudá-las de forma a entender suas aplicações.
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Potência de expoente racional
Assim como nas operações exponenciais, a radiciação possui propriedades que visam a simplificar cálculos e
operações matemáticas.
Figura 6 - Propriedades da radiciação
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Propriedade I)
Esta propriedade apresenta o mesmo número no radical e números diferentes no radicando:
Propriedade II) 
Esta propriedade apresenta o mesmo número no radical e números diferentes no radicando em forma de fração:
Propriedade III) 
Esta propriedade apresenta números diferentes no radical em um mesmo radicando:
Propriedade IV) 
Nesta propriedade, o radical o passa a dividir o expoente do radicando:
Propriedade V) 
Nesta propriedade, a primeira parte é a mesma operação da propriedade IV; na segunda parte, note que o
dividendo da fração passa a se tornar a base, e o expoente inverte seu sinal:
Todas essas propriedades são aplicadas às operações matemáticas, no entanto, uma em especial é aplicada
constantemente na Matemática.
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Aprender com nossos erros é uma das formas de garantir uma aprendizagem significativa e superar a
aprendizagem mecânica, reflita, reveja, e analise suas resoluções, busque aprender com o que está errado.
Radiciação de expoente racional
Sendo um número real positivo e os números inteiros pertencentes ao conjunto dos números naturais,
com exceção do zero, temos a seguinte definição:
Figura 7 - Radiciação com expoente racional
Fonte: Elaborada pelo autor, baseado em PAIVA, 2010.
Destacaremos esta propriedade neste tema porque ela é muito utilizada em funções, operações com
exponenciação, na Matemática aplicada, como é o exemplo da Matemática financeira.
Vale ressaltar que todas as propriedades podem ser transformadas no seu inverso, por exemplo, , assim
como . Não se apavore com as propriedades que foram apresentadas neste tema e abdique de seu
tempo para resolver alguns exercícios aplicando as propriedades estudadas. Você verá o quanto irá fluir as
resoluções das atividades e a facilidade em operar com elas.
Podemos perceber que o estudo de exponenciação e radiciação é muito importante na Matemática e suas
SAIBA MAIS
Para conhecer mais sobre este assunto, leia “Análise de erros em questões de potenciação”, de
Rodrigues, Vitelli e Vogado (2013), em que fazem uma análise dos principais erros em
questões sobre operações com exponenciação. Leia atentamente o artigo e procure identificar
os erros mais comuns cometidos pelos estudantes sobre esse conteúdo e aprenda com esses
erros.
EXEMPLO
A exponenciação é muito utilizada no dia a dia para o cálculo de áreas. Por exemplo, quando
quer determinar a quantidade de piso para comprar e colocar em uma residência, um pedreiro
multiplica seus lados para determinar a sua área. Se a área for um quadrado, basta efetuar uma
operação de exponenciação. Assim acontece com o cálculo de área de paredes e todas as outras
figuras planas.
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Podemos perceber que o estudo de exponenciação e radiciação é muito importante na Matemática e suas
propriedades auxiliam na resolução de cálculos sobre esse conteúdo. Uma das maneiras de identificarmos a
resolução desse conteúdo é com uma calculadora, que, quando bem utilizada, pode ser uma ferramenta muito
útil.
Fechamento
Neste tema, pudemos estudar sobre a potência de expoente natural e inteiro negativo, aplicando suas
propriedades. Além disso, estudamos sobre a raiz enésima aritmética e potência de expoente racional com a
aplicação de suas propriedades.
Referências
DEMANA, F. D.et al. . São Paulo: Addison Wesley, 2009.Pré-Cálculo
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. – Conjuntos e Funções. São Paulo: Atual,Fundamentos de Matemática Elementar
2013.
PAIVA, M. R. . São Paulo: Moderna, 2010. v. 1.Matemática
	Introdução
	Noções básicas de exponenciação
	Potência de números naturais
	Notação exponencial com expoente natural
	Potência de números inteiros negativos
	Notação exponencial com expoente inteiro negativo
	Propriedades das potências de expoentes de números inteiros
	Propriedades das potências
	Noções básicas de radiciação
	Notação de radiciação com radical natural
	Raiz enésima aritmética
	Notação de radiciação com radical natural e radicando negativo
	Potência de expoente racional
	Propriedades da radiciação
	Radiciação de expoente racional
	Radiciação com expoente racional
	Fechamento
	Referências