Razões e Proporções

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AULA 6 
 
Razões 
 
Chama-se razão do número a para o número b (com b ≠ 0) ao quociente de a por b: 
baou
b
a
 
O número a é chamado antecedente e o número b é chamado consequente da razão 
b
a
. 
Exemplos: 
 A razão de 240 para 120 é 
120
240
, que é igual a 2. 
 De cada 100 jovens, 75 preferem música estrangeira. Isto é, 
4
3
100
75
 . Esta 
razão significa que de cada quatro jovens, três preferem música estrangeira. 
 
Razões inversas 
Duas razões são inversas quando o produto delas é 1. Ou seja: 
b
a
 e 
a
b
 são inversas pois 
b
a
.
a
b
=1. 
 
Exemplos: 
 
2
5
5
2
e são inversas, pois 1
10
10
2
5
5
2
 
 A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x? 
4
1
4 
x
y
y
x
 
Razão de duas grandezas da mesma espécie 
Exemplos: 
 Um terreno tem 750 m2 de área total e 500 m2 de área construída. Qual a razão 
entre a medida da área construída e da área livre? 
Solução: 
Temos que: área livre = área total – área construída. 
Logo, área livre = 750 m2 -500m2 = 250m2 . Assim a razão desejada é; 
2
250
500
2
2

m
m
ÁreaLivre
uidaÁreaConstr
 
Isto significa que a área construída é duas vezes a área livre. 
 
 Determine a escala utilizada em um mapa onde a distância de Fortaleza a São 
Paulo é de 4 cm, sabendo que a distância real é de 3035 Km. 
 
Escala é a razão entre uma dimensão num desenho e sua dimensão 
correspondente no tamanho real. 
Escala = 
realensão
desenhodoensão
dim
dim
 
 
Para resolver este problema precisamos igualar as unidades. 3035 Km = 
303500000 cm. Então temos: 
Escala = 
75875000
1
303500000
4

cm
cm
realocompriment
desenhodoocompriment
 
ou 1 : 75875000 
Cada centímetro no desenho corresponde a 75875000 cm = 758,75 Km na 
distância real. 
 
Razão entre grandezas de espécies diferentes 
Consumo Médio 
 Exemplo: 
Com 30 litros de combustível, o carro 266 consegue realizar o percurso de 255 Km de um 
rally. Qual o consumo médio desse carro nesse rally ? 
Razão: lKmlKm
l
Km
/5,8/
6
51
30
255
 ( lê-se: “8,5 quilômetros por litro”) 
Esta razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 8,5 Km. 
 
Velocidade Média 
Exemplo: 
A distância Madri-Barcelona é de 468 Km. De trem, esse percurso é feito em 6 horas. 
Qual a velocidade média desse trem? 
Razão: hKm
h
Km
/78
6
468
 ( lê-se: 78 quilômetros por hora) 
Esta razão significa que a cada hora foram percorridos em média 78 Km. 
 
Densidade demográfica 
Exemplo: 
Se um país tem uma área de 500.000 Km2 e uma população de 40.000.000 habitantes, 
qual a sua densidade demográfica? 
80
000.500
000.000.40
2

Km
hab
 hab/Km2 
Em cada Km2 existem em média 80 habitantes. 
 
 
Proporções 
 
Duas razões são iguais quando elas expressam quocientes iguais. Uma igualdade entre 
duas razões é chamada uma proporção. 
Exemplo: 
As razões 
6
18
4
12
e são iguais. Logo a igualdade 
6
18
4
12
 é uma proporção. 
 
Dados quatro números a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que formam nessa 
ordem uma proporção quando a razão 
b
a
 é igual a razão 
d
c
, ou seja: 
d
c
b
a
 (lê-se: “a está para b assim como c está para d”) 
a e d são os extremos e b e c são os meios. 
 
Propriedade Fundamental 
Em toda proporção 
d
c
b
a
 o produto dos extremos (a.d) é igual ao produto dos meios 
(b.c). Ou seja: 
 
 
 
Exemplo: Calcule o termo desconhecido nas seguintes proporções: 
a) 
7
14
2

x
 
Pela propriedade acima devemos ter: 7x = 28. Logo x = 28/7 = 4. 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 
b) 
x
4
3
7
2
5
1
 
Pela propriedade acima temos: 
14
15
28
30
28
6
54
3
7
2
5
1
 x
x
x 
 
 
Propriedade 
Se 
d
c
b
a
 então 
d
c
db
ca
ou
b
a
db
ca






 
 
Se 
d
c
b
a
 então 
d
c
db
ca
ou
b
a
db
ca






 
 
 
Exemplo: 
Da proporção 
6
21
2
7
 decorre 
2
7
62
217



 ou seja 
2
7
8
28
 . 
 
Nota: A propriedade acima vale também quando temos mais de duas razões iguais. 
Por exemplo: Se 
f
e
d
c
b
a
 então 
.,,
f
e
fdb
eca
d
c
fdb
eca
b
a
fdb
eca









 
 
 
Números diretamente proporcionais 
 
 Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b 
e c, se: k
c
z
b
y
a
x
 , onde k é constante. 
k é chamado de fator (ou razão) de proporcionalidade. 
Exemplos: 
 2, 6 e 10 são diretamente proporcionais aos números 1, 3 e 5 e o fator de 
proporcionalidade é 2. 
 De fato, temos: 2
5
10
3
6
1
2
 
 6, 12 e 15 são diretamente proporcionais a 10, 20 e 25 e o fator de 
proporcionalidade é 
5
3
. 
De fato, temos: 
5
3
25
15
,
5
3
20
12
,
5
3
10
6
 logo 
5
3
25
15
20
12
10
6
 . 
 Marcelo, Luiz e Alex têm, respectivamente 7, 8 e 10 anos. Deseja-se repartir 
R$500,00 entre eles de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua 
idade. Como se deve fazer a divisão? 
Solução: 
Representaremos por x, y e z a quantia que Marcelo, Luiz e Alex vão receber, 
respectivamente. 
Assim: 






1087
500
zyx
zyx
 
Usando propriedades de proporções obtemos: 
20
25
500
10871087




zyxzyx
 
 O número 20 é o fator de proporcionalidade, então temos: 
 14020
7
 x
x
 
 16020
8
 y
y
 
 20020
10
 z
z
 
 Logo, Marcelo deve receber 140 reais, Luiz 160 reais e Alex 200 reais. 
 Regra de Sociedade 
Denominamos regra de sociedade o método utilizado para dividir entre os sócios de uma 
empresa seus lucros ou prejuízos. A divisão dos lucros ou prejuízos obtidos num período 
deve ser feita em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados por cada 
sócio. 
Por exemplo: Três pessoas formaram uma sociedade; o primeiro entrou com 60.000 reais, 
o segundo com 80.000 reais e o terceiro com 40.000 reais. Ao fim de seis meses houve 
um lucro de 36.000 reais. Quanto coube a cada um dos sócios? 
Solução: Representaremos por a, b e c, respectivamente, o lucro que coube ao 1º, 2º e 3º 
sócios. Assim temos: 






000.40000.80000.60
000.36
cba
cba
 
Usando propriedades de proporções obtemos: 
5
1
180
36
000.180
000.36
000.180000.40000.80000.60



cbacba
 que é a constante de 
proporcionalidade. 
Daí, 
000.12
5
000.60
5
1
000.60
 a
a
 
000.16
5
000.80
5
1
000.80
 b
b
 
000.8
5
000.40
5
1
000.40
 c
c
 
Logo os sócios receberam: 1º = R$12.000,00; 2º = R$16.000,00 e o 3º = R$8.000,00. 
 
 
Números Inversamente Proporcionais 
 
Os números x, y e z são inversamente proporcionais aos números a, b e c se: 
x . a = y . b = z . c = k, onde k é o fator de proporcionalidade. 
 
Note que isto equivale a afirmar: as razões (quocientes) de cada termo da primeira 
sucessão de números pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão são 
todos iguais: 
k
c
z
b
y
a
x

111
 
 
Exemplo: 3, 5 e 6 são inversamente proporcionais a 30, 18 e 15 com fator de 
proporcionalidade 90. 
De fato, temos: 3 . 30 = 90 , 5 . 18 = 90 e 6 . 15 = 90 
 ou 90
15
1
6
18
1
5
30
1
3
