0523 - PE-2020 04 16-Distribuição Binomial

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Centro Universitário da Grande Fortaleza
Curso Superior em Análise e Desenvolvimento de Sistemas
0523 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Prof. Dr. Hitalo Joseferson Batista Nascimento
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Rubens Souza Simplício – 201820300
18/04/2020
Fortaleza – Ceará
 
1. Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4 alternativas.
Suponha que o aluno escolha as respostas ao acaso. Qual é a probabilidade
de que ele acerte:
P (X=x) = (
n
x) ⋅ p
x
⋅ (1 − p)
n−x
=
n!
x! ⋅ (n − x)!
⋅ p
x
⋅ (1 − p)
n−x
, n = 12 , p =
1
4
, 1 − p =
3
4
.
(a) Exatamente uma questão?
x = 1
P (X=1) = ( 121 ) ⋅ (
1
4 )
1
⋅ ( 34 )
11
=
12!
1! ⋅ (12 − 1)!
⋅
1
4
⋅
177147
4194304
;
P (X=1) =
12 ⋅ 11!
11!
⋅
1
4
⋅
177147
4194304
=
531441
4194304
= 0,126705408 ;
P (X=1) ≈ 12,67% .
<http://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html>
(b) Nenhuma questão?
x = 0
P (X=0) = ( 120 ) ⋅ (
1
4 )
0
⋅ ( 34 )
12
=
12!
0! ⋅ (12 − 0)!
⋅ 1 ⋅
531441
16777216
;
P (X=1) =
12!
12!
⋅ 1 ⋅
531441
16777216
= 0,031676352 ;
P (X=1) ≈ 3,17% .
 
(c) Pelo menos uma questão?
x ≥ 0
P (X≥1) = 1 − [P (X<1)] = 1 − [P (X=0)] ;
P (X=1) = 1 − 0,031676352 = 0,968323648 ;
p (X=1) ≈ 96,83% .
2. Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da
mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a
probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos
é de 2/3. Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos:
(a) Exatamente duas pessoas estejam vivas;
x = 2 , n = 5 , p =
2
3
, 1 − p =
1
3
.
P (X=2) = ( 52) ⋅ (
2
3 )
2
⋅ ( 13 )
3
=
5!
2! ⋅ (5 − 2)!
⋅
4
9
⋅
1
27
=
=
120
12
⋅
4
9
⋅
1
27
=
480
2916
= 0,1646
P (X=2) = 16,46%
<http://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html>
(b) Todas as pessoas esteja vivas;
x = 5
P (X=5) = ( 55) ⋅ (
2
3 )
5
⋅ ( 13 )
0
= 1 ⋅
32
243
⋅ 1 = 0,1317
P (X=5) = 13,17%
 
(c) Pelo menos 3 pessoas esteja vivas.
P (X≥3) = 1 − [ P (X <3)] = 1 − [ P (X=0) + P (X=1) + P (X=2)]
P (X=0) = ( 50) ⋅ (
2
3 )
0
⋅ ( 13 )
5
= 1 ⋅ 1 ⋅
1
243
=
1
243
P (X=1) = (51) ⋅ (
2
3 )
1
⋅ ( 13 )
4
=
5!
1! ⋅ (5 − 1)!
⋅
2
3
⋅
1
81
=
10
243
P (X=2) = ( 52) ⋅ (
2
3 )
2
⋅ ( 13 )
3
= 10 ⋅
4
9
⋅
1
27
=
40
243
P (X≥3) = 1 − [ 1243 +
10
243
+
40
243 ] = 1 −
51
243
= 1 − 0,2099
P (X≥3) = 1 − 0,2099 = 0,7901 ; P (X≥3) = 79,01%
3. Se 80% dos alunos de uma universidade costumam ser reprovados em
Probabilidade e Estatística, qual a probabilidade de que, em nove alunos de
uma certa turma, sejam reprovados:
n = 9 , p =
8
10
, 1 − p =
2
10
.
(a) nenhum? 
x = 0
P (X=0) = ( 90) ⋅ (
8
10 )
0
⋅ ( 210 )
9
= 1 ⋅ 1 ⋅
512
1.000 .000 .000
= 0,000000512
(b) pelo menos um?
P (X≥1) = 1 − [ P (X=0)] = 1 − 0,000000512 = 0,999999488
<http://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/bin.html>
 
(c) entre dois e cinco?
 
P (2<X<5) = P (X=3) + P (X=4 )
P (X=3) = ( 93) ⋅ (
8
10 )
3
⋅ ( 210 )
6
=
9!
3! ⋅ (9 − 3)!
⋅
512
1000
⋅
64
1000000
=
=
504
6
⋅
512
1000
⋅
64
1000000
=
16515072
6.000 .000 .000
= 0,002752512
P (X=4) = ( 94) ⋅ (
8
10 )
4
⋅ ( 210 )
5
=
9!
4!⋅(9−4 )!
⋅
512
1000
⋅
64
1000000
=
=
3024
24
⋅
4096
10.000
⋅
32
100.000
=
396361728
24.000 .000 .000
= 0,016515072
P (2<X<5) = 0,002752512 + 0,016515072 = 0,019267584
(d) no máximo três?
P (X=1) = ( 91) ⋅ (
8
10 )
1
⋅ ( 210 )
8
=
9!
1! ⋅ (9 − 1)!
⋅
8
10
⋅
256
100.000 .000
=
= 9 ⋅
8
10
⋅
256
100.000.000
=
18432
1.000 .000.000
= 0,000018432
P (X=2) = ( 92) ⋅ (
8
10 )
2
⋅ ( 210 )
7
=
9!
2! ⋅ (9 − 2)!
⋅
8
10
⋅
256
100.000.000
=
= 36 ⋅
64
100
⋅
256
10.000 .000
=
589824
1.000 .000 .000
= 0,000589824
P (X≤3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)
P (X≤3) = 0,000000512 + 0,000018432 + 0,000589824 + 0,002752512
P (X≤3) = 0,00336128
P (X≤3) = 0,336%
 
	
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