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Algebra Linear e Vetores Aula 8– Introdução de vetores MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Grandezas físicas Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais. Grandezas escalares GRANDEZA DEFINIDA POR UM VALOR NUMÉRICO(módulo) E UNIDADE DE MEDIDA. TEMPO ENERGIA TRABALHO TEMPERA TURA MASSA ESCALAR MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Grandezas vetoriais Grandezas vetoriais: são aquelas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade, para que fiquem totalmente definidas necessitam de módulo (número com unidade de medida), direção e sentido. Exemplos: velocidade, força, aceleração, etc. GRANDEZA DEFINIDA POR UM MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO VELOCI DADE CAMPO ELÉTRICO CAMPO MAGNÉTICO ACELERA ÇÃO FORÇA VETORIAL MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Vetores 4 São segmentos de reta orientados que possui: INTENSIDADE OU MÓDULO (𝑣 ) DIREÇÃO (Vertical/horizontal) SENTIDO (Direita/esquerda , de cima para baixo, da diagonal equerda supeior para inferior etc) MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Representação gráfica de um vetor O vetor acima tem módulo igual a 3 u, que é igual a distância entre os pontos A e B. Para indicar vetores usamos as seguintes notações: 𝑨𝑩 onde: A é a origem e B é a extremidade MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes Representação gráfica de um vetor A B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem módulos diferentes. B A Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem direções e sentidos diferentes. A B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem sentidos diferentes. Representação no plano – A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y2 y1 x2 x1 A X Y B O comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1) (3,4) (1,2) 𝑢= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2) Ex. A(1,2) e ponto final B(3,4). Representação no plano y2 y1 x2 x1 X Y (3,5) (2,3) (1,2) (0,0) Seja 𝐴𝐵 o vetor: A(1,2) e ponto final B(3,4) e 𝐶𝐷: C(0,0) e ponto final B(1,2) Tem o mesmo módulo, sentido e direção: chamamos de vetores equipolentes. Representação no plano Seja 𝐴𝐵 o vetor: A(1,2) e ponto final B(3,4) e 𝐶𝐷: C(1,2) e ponto final B(1,0) Tem o mesmo módulo, sentido e direção oposta: Vetores oposto y2 y1 x2 x1 X Y B(3,4) A(1,2) D(1,2) 𝐴𝐵 = −𝐶𝐷 𝐴𝐵(2,2) Operações de vetores • Operações básicas: Soma/ Subtração • Operações entre vetores e escalares • Operações entre vetores Propriedades de vetores Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0. Um vetor 𝑢 é unitário se | 𝑢 | = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo 𝑢, o vetor unitário que tem mesmo sentido de 𝑢, e indicamos por 𝑢 . Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por 𝑢 ⊥ 𝑣 Multiplicação por um escalar e um vetor A Tomemos como exemplo um vetor A: Se desejamos obter o vetor 3A, teremos: 3 A A A A Temos A direção e sentido de 3𝐴 é a mesma da 𝐴 Multiplicação por um escalar e um vetor A Tomemos como exemplo o mesmo vetor A: Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos: -2 A -A -A A direção de −2𝐴 é a mesma da 𝐴, porém com sentido oposto Propriedades de multiplicação • Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer • (1) a.(b.𝑣 ) = (ab). 𝑣 • (2) a(𝑢 + 𝑣 ) = a𝑢 + a𝑣 • (3) (a + b) 𝑣 = a𝑣 + b𝑣 • (4) 1. 𝑣 = 𝑣 Soma vetorial Vavião Vvento º180 Soma vetorial Regra do polígono: É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores. Regra do paralegogramo: É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores. Método das projeções: É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores Regra do paralelogramo – Considere 2 vetores: e . Determine a soma destes dois vetores u v Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a 𝑢 e 𝑣 a partir de suas extremidades. v u v u vu O módulo do vetor resultante entre estes dois vetores será pela (Adaptada da lei dos cossenos) cos222 uvvuR Regra do paralelogramo – Considere 2 vetores: e . Determine a soma destes dois vetores u v 22 vuR cos222 uvvuR Exemplo A figura mostra, em escala, duas forças , atuando num ponto material P. Reproduza a figura, juntamente com o quadriculado em sua folha de respostas. a) Represente na figura reproduzida a força 𝑅 , resultante das força 𝑎 𝑒𝑏, e determine o valor de seu módulo em newtons. b) Represente também, na mesma figura, o vetor , de tal modo que 0 cba Regra do polígono v u vu Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. Regra do polígono Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. a b ba c cba d dcba Exemplo Considere a figura abaixo: Dadas as forças o módulo de sua resultante, em N, é: a) 30 b) 40 c) 50 d) 70 e) 80 F F e F1 2 3, Soma de vetores • Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: • Definição: Sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 dois vetores no plano. A soma dos vetores 𝑢 e 𝑢 é o vetor Exemplo: Sejam 𝑢 = 1,2 e 𝑣 = 3,−4 , então a soma ),( 2121 yyxxvu )2,4())4(2,31( vu 1.ª coordenada 2.ª coordenada Soma de vetores (1,2) (4,-2) (3,-4) y x Diferença (Subtração) entre vetores Representamos o vetor 𝑢 + (-1) 𝑣 por 𝑢- 𝑣 . Esse vetor é a diferença de 𝑢 e 𝑣 . u v v vu Método das projeções )(. )cos(. senFF FF y x y x F Fx Fy Método das projeções F Arranca o prego Entorta o prego Exercícios 2) Apresentar, graficamente, um representante do vetor 𝑢- 𝑣 nos casos: , 1) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: 3) Considere os vetores 𝑢 = 2, 3 𝑒 𝑣 = −5, 1 . Determine a soma de 𝑢 + 𝑣 e represente graficamente. 4) Considere 𝑢 = (3,2) e k = 3. Determine o vetor k. 𝑢. 5) Sejam 𝑢 = −3, 2, 1 , 𝑣 = 4, 7, −3 𝑒 𝑤 = 5,−2, 8 . Encontre: 6) Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤 os vetores do exercício anterior. Encontre o vetor 𝑋 que satisfaça a equação vetorial: 5𝑋 - 2𝑉 = 2(𝑊 − 5𝑋) Obrigada! barbara.gerbelli@anhembimorumbi.edu.br
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