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aula07e08 álgebra

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Algebra Linear e Vetores 
Aula 8– Introdução de vetores 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes Grandezas físicas 
Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar 
quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. 
São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais. 
Grandezas escalares 
GRANDEZA DEFINIDA POR 
UM VALOR 
NUMÉRICO(módulo) E 
UNIDADE DE MEDIDA. 
TEMPO 
ENERGIA TRABALHO 
TEMPERA 
TURA 
MASSA 
ESCALAR 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes Grandezas vetoriais 
Grandezas vetoriais: são aquelas que não ficam totalmente determinadas 
com um valor e uma unidade, para que fiquem totalmente definidas necessitam de 
módulo (número com unidade de medida), direção e sentido. 
Exemplos: velocidade, força, aceleração, etc. 
GRANDEZA 
DEFINIDA POR 
UM MÓDULO, 
DIREÇÃO E 
SENTIDO 
VELOCI 
DADE 
CAMPO 
ELÉTRICO 
CAMPO 
MAGNÉTICO 
ACELERA 
ÇÃO 
 
FORÇA 
VETORIAL 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes Vetores 
4 
São segmentos de reta orientados que possui: 
 
INTENSIDADE OU MÓDULO (𝑣 ) 
DIREÇÃO (Vertical/horizontal) 
SENTIDO (Direita/esquerda , de cima para baixo, da diagonal equerda 
supeior para inferior etc) 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes Representação gráfica de um vetor 
 
 
 
 
 
 O vetor acima tem módulo igual a 3 u, que é igual a distância entre os 
pontos A e B. 
 
 Para indicar vetores usamos as seguintes notações: 
 
𝑨𝑩 onde: A é a origem e B é a extremidade 
 
 
MATEMÁTICA, Série 2ª 
Matrizes - Determinantes Representação gráfica de um vetor 
A 
B 
Nesse caso, o vetor A e o Vetor 
B possuem módulos diferentes. 
B A 
Nesse caso, o vetor A e o Vetor 
B possuem direções e 
sentidos diferentes. 
A B Nesse caso, o vetor A e o Vetor 
B possuem sentidos diferentes. 
Representação no plano 
– A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano 
xy. 
 
 
 
y2 
y1 
x2 x1 
A 
X 
Y 
B 
O comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1) 
(3,4) 
(1,2) 
 𝑢= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2) 
Ex. A(1,2) e ponto final B(3,4). 
Representação no plano 
y2 
y1 
x2 x1 X 
Y 
(3,5) 
(2,3) 
(1,2) 
(0,0) 
Seja 𝐴𝐵 o vetor: A(1,2) e ponto final B(3,4) e 𝐶𝐷: C(0,0) e ponto final B(1,2) 
Tem o mesmo módulo, sentido e direção: chamamos de vetores equipolentes. 
Representação no plano 
Seja 𝐴𝐵 o vetor: A(1,2) e ponto final B(3,4) e 𝐶𝐷: C(1,2) e ponto final 
B(1,0) 
Tem o mesmo módulo, sentido e direção oposta: Vetores oposto 
y2 
y1 
x2 x1 X 
Y 
B(3,4) 
A(1,2) 
D(1,2) 
𝐴𝐵 = −𝐶𝐷 
𝐴𝐵(2,2) 
Operações de vetores 
• Operações básicas: Soma/ Subtração 
 
• Operações entre vetores e escalares 
 
• Operações entre vetores 
 
Propriedades de vetores 
Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado 
vetor nulo, e denotado por 0. 
 
Um vetor 𝑢 é unitário se | 𝑢 | = 1. Chamamos versor de um 
vetor não nulo 𝑢, o vetor unitário que tem mesmo sentido de 𝑢, e 
indicamos por 𝑢 . 
 
 Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser 
representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por 
𝑢 ⊥ 𝑣 
 
 
 
Multiplicação por um escalar e um vetor 
A 
Tomemos como exemplo um vetor A: 
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos: 
 3 A 
A A A 
Temos 
A direção e sentido de 3𝐴 é a mesma da 𝐴 
Multiplicação por um escalar e um vetor 
A 
Tomemos como exemplo o mesmo vetor A: 
Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos: 
 -2 A 
-A -A 
A direção de −2𝐴 é a mesma da 𝐴, porém com sentido oposto 
Propriedades de multiplicação 
• Considere u e v vetores quaisquer, a e b números 
reais quaisquer 
 
• (1) a.(b.𝑣 ) = (ab). 𝑣 
 
• (2) a(𝑢 + 𝑣 ) = a𝑢 + a𝑣 
 
• (3) (a + b) 𝑣 = a𝑣 + b𝑣 
 
• (4) 1. 𝑣 = 𝑣 
Soma vetorial 
Vavião Vvento 
º180
Soma vetorial 
Regra do polígono: É utilizada na adição de qualquer 
quantidade de vetores. 
Regra do paralegogramo: É utilizada para realizar a adição 
de apenas dois vetores. 
Método das projeções: É utilizada na adição de qualquer 
quantidade de vetores 
Regra do paralelogramo 
– Considere 2 vetores: e . Determine a soma destes dois vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
u

v

Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas 
paralelas a 𝑢 e 𝑣 a partir de suas extremidades. 
 
v

u

v

u

vu


O módulo do vetor resultante entre estes dois vetores será pela (Adaptada da lei dos 
cossenos) 
cos222 uvvuR 
Regra do paralelogramo 
– Considere 2 vetores: e . Determine a soma destes dois vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
u

v

22 vuR 
cos222 uvvuR 
Exemplo 
A figura mostra, em escala, duas forças , atuando num ponto material P. Reproduza a figura, 
juntamente com o quadriculado em sua folha de respostas. 
a) Represente na figura reproduzida a força 𝑅 , resultante das força 𝑎 𝑒𝑏, e determine o valor 
de seu módulo em newtons. 
b) Represente também, na mesma figura, o vetor , de tal modo que 0

 cba
Regra do polígono 
v

u

vu


Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a 
extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. 
Regra do polígono 
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se 
a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. 
a

b

ba


c

cba


d

dcba


Exemplo 
Considere a figura abaixo: 
Dadas as forças o módulo de sua resultante, em N, é: 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 70 e) 80 
  
F F e F1 2 3,
Soma de vetores 
• Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: 
 
• Definição: Sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 dois vetores no plano. A soma dos 
vetores 𝑢 e 𝑢 é o vetor 
Exemplo: 
Sejam 𝑢 = 1,2 e 𝑣 = 3,−4 , então a soma 
),( 2121 yyxxvu 

)2,4())4(2,31(  vu

1.ª coordenada 
2.ª coordenada 
Soma de vetores 
(1,2) 
(4,-2) 
(3,-4) 
y 
x 
Diferença (Subtração) entre vetores 
Representamos o vetor 𝑢 + (-1) 𝑣 por 𝑢- 𝑣 . 
 Esse vetor é a diferença de 𝑢 e 𝑣 . 
u

v

v


vu


Método das projeções 
)(.
)cos(.


senFF
FF
y
x


y 
x 

F

Fx 
Fy 
Método das projeções 
F 
Arranca o 
prego 
Entorta o 
prego 
Exercícios 
2) Apresentar, graficamente, um representante do vetor 𝑢- 𝑣 nos casos: 
, 
 
1) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 , sendo M e N pontos 
médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: 
3) Considere os vetores 𝑢 = 2, 3 𝑒 𝑣 = −5, 1 . Determine a soma de 𝑢 + 𝑣 e 
represente graficamente. 
 
4) Considere 𝑢 = (3,2) e k = 3. Determine o vetor k. 𝑢. 
5) Sejam 𝑢 = −3, 2, 1 , 𝑣 = 4, 7, −3 𝑒 𝑤 = 5,−2, 8 . Encontre: 
6) Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑤 os vetores do exercício anterior. Encontre o 
vetor 𝑋 que satisfaça a equação vetorial: 
5𝑋 - 2𝑉 = 2(𝑊 − 5𝑋) 
Obrigada! 
 
 
barbara.gerbelli@anhembimorumbi.edu.br

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