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APOL2 ANALISE MATEMATICA 5

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) XX é um conjunto aberto.
II.  ( ) XX é um conjunto limitado.
III. ( ) XX  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) XX é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-F-F
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 2/10 - Análise Matemática
“Escrevemos limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se SnSn se torna arbitrariamente grande à medida que nn cresce. Neste caso, dizemos que (Sn)(Sn) diverge para +∞+∞. Mais precisamente, limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se, e somente se, para qualquer número cc, não importa o quão grande seja, existe um inteiro positivo n0n0 tal que quando n≥n0n≥n0, temos Sn>cSn>c”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
AYRES, Frank, MENDENSON ELLIOTT. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Bookman, 2013. p. 353.
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências, assinale a alternativa que só contém sequências que divergem para +∞+∞:
Nota: 10.0
	
	A
	(1n), (√n), (2n)(1n), (n), (2n)
	
	B
	(lnn), (n), (√n)(ln⁡n), (n), (n)
Você acertou!
Dado um número c, temos que: (livro-base, p. 60)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)√n>c,∀n>c2 (n0=c2)ln⁡n>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)n>c,∀n>c2 (n0=c2)
	
	C
	(2n+1), (ln2), (n)(2n+1), (ln⁡2), (n)
	
	D
	(cos(n)), (n2), (lnn)(cos⁡(n)), (n2), (ln⁡n)
	
	E
	(n√n), (sin(n)), (n)(nn), (sin⁡(n)), (n)
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 4/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte excerto de texto:
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidade de funções”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática os conjuntos podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos conjuntos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Conjunto fechado
3. Conjunto compacto
4. Conjunto enumerável
5. Conjunto completo
 
( ) Conjunto finito ou infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números naturais.
( ) Conjunto XX que satisfaz X=¯¯¯¯¯XX=X¯, onde ¯¯¯¯¯XX¯ é o conjunto dos pontos aderentes de XX.
( ) Conjunto XX que satisfaz X=X∘X=X∘, onde X∘X∘ é o conjunto dos pontos interiores de XX.
( ) Conjunto XX tal que todo subconjunto não-vazio de XX que é limitado superiormente e possui supremo.
( ) Conjunto que é fechado e limitado.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	3-1-2-4-5
	
	B
	5-4-1-3-2
	
	C
	4-1-2-5-3
	
	D
	5-2-1-3-4
	
	E
	4-2-1-5-3
A sequência correta é 4 – 2 – 1 – 5 – 3. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – quando todos seus pontos são pontos interiores, isto é, X=X∘X=X∘. 2. Conjunto fechado – quando todos os pontos aderentes pertencem ao conjunto, ou seja, verifica-se a igualdade X=¯¯¯¯¯XX=X¯. 3. Conjunto compacto – todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 4. Conjunto enumerável – todo conjunto finito ou infinito que possui bijeção com os naturais. 5. Conjunto completo – quando todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente possui supremo” (livro-base, p.22-33 e p.87-89).
Questão 5/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵNnϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 6/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 164.
 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx∫01exdx é equivalente a:
Nota: 0.0
	
	A
	∫10exdx=0∫01exdx=0
	
	B
	∫10exdx=1−e2∫01exdx=1−e2
	
	C
	∫10exdx=1−2e∫01exdx=1−2e
	
	D
	
∫10exdx=e−1∫01exdx=e−1
A primitiva da função exponencial natural é a própria função. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se:
∫10exdx=ex|10=(e1−e0)=e−1∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1
(livro p.155)
	
	E
	∫10exdx=1+e∫01exdx=1+e
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia a seguinte afirmação:
 
Considere a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)=3x+1f(x)=3x+1. Desde que ff é uma função contínua, temos que limx→2f(x)=f(2)=3⋅2+1=7limx→2f(x)=f(2)=3⋅2+1=7.
 
Fonte: Citação elaborada pelo autor da questão.
Levando em consideração o texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e continuidade, assinale a alternativa que demonstra, usando a definição, o limite mostrado acima.
Nota:0.0
	
	A
	Dado ε>0ε>0, existe δ=ε3δ=ε3 tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
Temos que |f(x)−7|=|3x+1−7|=|3x−6|=3|x−2|.|f(x)−7|=|3x+1−7|=|3x−6|=3|x−2|. Assim, se escolhermos δ=ε3δ=ε3, teremos que  0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε. (livro-base, p.90).
	
	B
	Dado ε>0ε>0, existe δ=ε2δ=ε2 tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
	
	C
	Dado ε>0ε>0, existe δ=ε3δ=ε3 tal que: 0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε
	
	D
	Dado ε>0ε>0, existe δ=ε2δ=ε2 tal que: 0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε
	
	E
	Dado ε>0ε>0, existe δ=3εδ=3ε tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
Questão 8/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 9/10 - Análise Matemática
Considere as funções f,g:R→Rf,g:R→R dadas por f(x)=exf(x)=ex e g(x)=3xg(x)=3x e seja a função composta (f∘g)(x)=e3x(f∘g)(x)=e3x.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas, podemos concluir que a derivada da função composta dada é:
Nota: 0.0
	
	A
	
(f∘g)′(x)=3ex+2ex(f∘g)′(x)=3ex+2ex
	
	B
	
(f∘g)′(x)=3ex+2e2x(f∘g)′(x)=3ex+2e2x
	
	C
	(f∘g)′(x)=e3x2+2(f∘g)′(x)=e3x2+2
	
	D
	(f∘g)′(x)=3e3x(f∘g)′(x)=3e3x
A alternativa correta é a letra d), pois temos que f′(x)=exf′(x)=ex e g′(x)=3g′(x)=3. Logo, pela Regra da Cadeia, temos que (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=3e3x(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=3e3x
(livro-base, p. 119-121).
	
	E
	(f∘g)′(x)=(3x2)ex(f∘g)′(x)=(3x2)ex
Questão 10/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte informação sobre topologia:
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161.
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de acumulação de um conjunto. 
Nota: 0.0
	
	A
	É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
	
	B
	É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele.
	
	C
	É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
	
	D
	É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto.
	
	E
	É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
Definição de ponto de acumulação (livro-base, p. 89).

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