Estática de Partículas

Prévia do material em texto

MECÂNICA - ESTÁTICA
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
CAP. 3
1.2 * 3 LEIS DO MOVIMENTO
DE NEWTON
• PRIMEIRA LEI
•UMA PARTÍCULA ORIGINALMENTE EM REPOUSO, OU
EM MOVIMENTO CONSTANTE, PERMANECERÁ NESTE
ESTADO SE NÃO FOR SUBMETIDA A UMA FORÇA
DESBALANCEADORA
• SEGUNDA LEI
•F = MA [N]
• TERCEIRA LEI
•PARA CADA AÇÃO EXISTE UMA REAÇÃO NA MESMA
DIREÇÃO E SENTIDO CONTRÁRIO
3.1 CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO DE UMA 
PARTÍCULA
UMA PARTÍCULA ESTARÁ EM EQUILÍBRIO QUANDO:
• ESTANDO ORIGINALMENTE EM REPOUSO, ASSIM PERMANECER
• ESTANDO EM MOVIMENTO, TER VELOCIDADE CONSTANTE
PARA MANTER O EQUILÍBRIO É NECESSÁRIO E SUFICIENTE SATISFAZER A 1A LEI DE 
NEWTON:
F = 0
SE A PARTÍCULA ESTÁ EM MOVIMENTO:
 2A LEI DE NEWTON : F = MA
COMO F = 0  MA = 0  A = 0
 OU SEJA, A PARTÍCULA TEM VELOCIDADE CONSTANTE OU PERMANECE EM
REPOUSO
3.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
PARA APLICAR AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (F = 0), DEVEM SER
CONSIDERADAS TODAS AS FORÇAS ATUANTES NA PARTÍCULA, ENTÃO O 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DA PARTÍCULA INCLUINDO ESTAS FORÇAS DEVE
SER DESENHADO.
Procedimento:
1. Desenhe o esboço do 
problema com a partícula
isolada
2. Mostre todas forças
atuantes
3. Identifique cada força
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
3.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
MOLAS:
SE UMA MOLA ELÁSTICA LINEAR É UTILIZADA COMO APOIO, O COMPRIMENTO DA 
MOLA MUDARÁ PROPORCIONAMENTE COM A FORÇA ATUANTE NELA.
olls
ksF
−=
=
Onde:
lo é comprimento indeformado da mola
l é o comprimento deformado da mola
k é a constante de rigidez da mola (força/comprimento)
Se s > 0  F puxa a mola
Se s < 0  F comprime a mola
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
3.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
CABOS E POLIAS:
• ASSUME-SE QUE CABOS OU CORDAS POSSUEM PESO 
DESPREZÍVEL E SÃO INDEFORMÁVEIS.
• CABOS SUPORTAM SOMENTE FORÇAS DE TRAÇÃO (SÃO
PUXADOS).
• A TRAÇÃO ATUA NA DIREÇÃO DO CABO.
•O cabo está tracionado
•A tração T é constante ao longo do cabo
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
EXEMPLO 3.1
A ESFERA TEM UMA MASSA DE 6 KG E É APOIADA COMO MOSTRA A FIGURA. DESENHE
O DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DA ESFERA, DA CORDA CE E DO NÓ EM C.
Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
EXEMPLO 3.1 - SOLUÇAO
FORÇAS ATUANDO NA ESFERA: 
1. PESO W = (6)(9.81) = 58.860N
2. FORÇA NA CORDA CE (FCE)

Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
EXEMPLO 3.1 - SOLUÇAO
FORÇAS ATUANDO NA CORDA CE: 
1. FORÇA DA ESFERA (FCE)
2. FORÇA DO NÓ (FEC)

Gabriela
Realce
Gabriela
Realce
EXEMPLO 3.1 - SOLUÇAO
FORÇAS ATUANDO NO NÓ C: 
1. FORÇA DA CORDA CBA (FCBA)
2. FORÇA DA MOLA (FCD=KS)
3. FORÇA DA CORDA CE (FCE)

Gabriela
Realce
EXEMPLO 3.3
Desenhar todos os diagramas de corpo livre possíveis para o 
problema mostrado na figura abaixo, considerando todos os
nomes de forças como vetores.
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Ponto C:
C
PB
TCE
TCD
450
4
3 5
TCD tensão da corda CD atuando em C
TCE tensão da corda CE atuando em C
PB peso de B atuando em C
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda CD (opção 1, pode confundir ao escrever equações
de equilíbrio):
C
TCD
TCD
4
3 5
D
TCD tensão da corda CD atuando nas
extremidades C e D
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda CD (opção 2, preferível p/ maior clareza):
C
-TCD
TCD
4
3 5
D
TCD tensão da corda CD atuando na extremidade D
-TCD tensão da corda CD atuando na extremidade C
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda CD (opção 3, aumenta o número de variáveis):
C
TDC
TCD
4
3 5
D
TDC=-TCD
TCD tensão da corda CD atuando na extremidade D
TDC tensão da corda CD atuando na extremidade C
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda CD (opção 4, usando o módulo do vetor, pode
confundir se não ficar bem claro):
C
TCD
TCD
4
3 5
D
TCD módulo da tensão da corda CD atuando nas
extremidades C e D 
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Apoio D:
-TCD
RD
4
3 5
D
-TCD tensão da corda CD atuando em D
RD reação do apoio D
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda CE:
E
TCE
-TCE
450
C
TCE tensão da corda CE atuando na extremidade E
-TCE tensão da corda CE atuando na extremidade C
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Ponto E:
E
PA-TCE
TEG
450
300
-TCE tensão da corda CE atuando em E
TEG tensão da corda EG atuando em E
PA peso de A atuando em E
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Corda EG:
G
-TEG
TEG
300
E
-TEG tensão da corda EG atuando na extremidade E
TEG tensão da corda EG atuando na extremidade G
EXEMPLO 3.3 - SOLUÇÃO
DCL Apoio G:
G
-TEG
RG
300
-TEG tensão da corda EG atuando em G
RG reação do apoio G
2.4 ADIÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES
RESULTANTES DE FORÇAS COPLANARES:
• DECOMPONHA CADA FORÇA NAS DIREÇÕES X E Y

F1 = F1xi + F1yj
F2 = -F2xi + F2yj
F3 = F3xi - F3yj
3.3 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES
SE UMA PARTÍCULA É SUJEITA A UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES NO PLANO X-
Y, ENTÃO CADA FORÇA PODE SER DECOMPOSTA NAS COMPONENTES I E J
0ji
0F
=+
=


yx FF
00
00
321
321
=−+=
=+−=


yyyy
xxxx
FFFF
FFFF
F1 = F1xi + F1yj
F2 = -F2xi + F2yj
F3 = F3xi - F3yj
0 0x yF e F= = 
PROBLEMA 2.135
PROBLEMA 2.135 - SOLUÇÃO
DIAGRAMA DO EQUILÍBRIO DO 
NÓ A:
070 −
500 N
600 N
FAB
x
y
020

A
PROBLEMA 2.135 - SOLUÇÃO
( )
( )
( )
( )
0
0
600cos 20 500 sen 70 0
sen 70 63.816 (1)
600sen 20 cos 70 0
cos 70 205.21 (2)
0
0
AB
AB
AB
x
y
AB
F
F
F
F
F
F




− − − =
− =
− + − =
=
=
− =


070 −
500 N
600 N
FAB
x
y
020

A
PROBLEMA 2.135 - SOLUÇÃO
( )
( )
0
0
0052.72
Dividindo 
52.7
215 
(1) por (2):
63.816
tan 70 0.31098
205.21
70 17.275
 
Substituindo 70 - em (1): 
sen 17.275
5
16
N
63.8
A
AB
B
F
F



 
− = =
− =

=
=
==
070 −
500 N
600 N
FAB
x
y
020

A
PROBLEMA 3.3
DETERMINE O MÓDULO E O ÂNGULO Q DE F1 TAL
QUE A PARTÍCULA P ESTEJA EM EQUILÍBRIO.
PROBLEMA 3.3
1
1
1
1
Equações de Equilíbrio:
0
5
300 450cos 20 cosθ 0
13
cosθ 538.25 (1)
0
12
300 450sin 20 sin θ 0
13
sin θ 123.01 (2)
x
y
F
F
F
F
F
F
+⎯⎯→ =
 
+ − = 
 
=
+  =
 
− − = 
 
=


PROBLEMA 3.3
1
1
1
0
1
cosθ 538.25 (1)
sin θ 123.01 (2)
sin θ(2) 123.01
(1) cosθ 538.25
tan θ 0.2285 
Substituindo em (1)
538.25
 
cos12.8
θ 12.9
55
12.873
2
73
F
F
N
F
F
F
F

=
=
 =
= 
=  =

=
=

PROBLEMA 3.21
O CILINDRO D TEM UMA MASSA DE 
20 KG. SE UMA FORÇA F=100N É 
APLICADA HORIZONTALMENTE AO
ANEL EM A, DETERMINE A MAIOR
DIMENSÃO D TAL QUE A FORÇA
NO CABO AC SEJA NULA.
PROBLEMA 3.21 - SOLUÇÃO
 F = 100N x
y
W = 20(9.81) 
= 196.20 N
FAB

Diagrama de Corpo Livre no anel em A:
• Força do cabo AC (FAC=0)
• Força do cabo AB (FAB)
• Peso do cilindro D (W = 20(9.81) = 196.20 N}
• Força F = 100N
PROBLEMA 3.21 - SOLUÇÃO
Equações de Equilíbrio:
0
cosθ 100 0
cosθ 100 (1)
0
inθ 196.20 0
inθ 196.20 (2)
x
AB
AB
y
AB
AB
F
F
F
F
F s
F s
+⎯⎯→ =
− + =
=
+  =
− =
=


F = 100N
x
y
W = 20(9.81) 
= 196.20 N
FAB

PROBLEMA 3.21 - SOLUÇÃO
cos 100 (1)
 sin 196.20 (2)
sin(2) 196.20
(1) cos 100
tan 1.9620
Substituindo em (1
62.993
220.21
)
100
 
cos 62.993
AB
AB
AB
AB
AB
AB
F θ
F θ
F θ
F θ
θ
θ
F NF
= 
=
=
=
 =
=
= 

F = 100N
x
y
W = 20(9.81) 
= 196.20 N
FAB

PROBLEMA 3.21 - SOLUÇÃO

62.993
Da geometria:
1.5
tan
2
2(tan ) 1.5
2(tan 62.993)
2.42 m
1.5
θ
d
θ
d θ
d
d
=
=
=

+
=
= −
−
PROBLEMA 3.21 - SOLUÇÃO

Da geometria:
3.14 m
4.40 m
AC
AB
=
=
PROBLEMA 3.A
AS MOLAS DO SISTEMA DE CORDAS
ESTÃO ORIGINALMENTE
DEFORMADAS EM X1 = 1 M QUANDO
Q = 0°. DETERMINE A FORÇA
VERTICAL F QUE DEVE SER APLICADA
TAL QUE Q =30°. 
PROBLEMA 3.A - SOLUÇÃO

Diagrama de Corpo Livre em A:
• Tração do cabo AB (Fs)
• Tração do cabo AD (Fs)
• Força vertical F
y
Fs
x
F
Fs
30o30o
A1
PROBLEMA 3.A - SOLUÇÃO
A1
PROBLEMA 3.A - SOLUÇÃO
A1
y
Fs
xF
Fs
30o30o
PROBLEMA 3.B
O PESO DE 10 LB (A) É 
SUPORTADO PELA CORDA AC FIXA
A UM ROLETE E PELA MOLA. SE A 
MOLA TEM UM COMPRIMENTO
INDEFORMADO DE 8 POL. E O 
PESO ESTÁ EM EQUILÍBRIO
QUANDO D=4 POL., DETERMINE A 
CONSTANTE DE MOLA K.
PROBLEMA 3.B - SOLUÇÃO

Diagrama de Corpo Livre em A:
• Tração do cabo AC (TAC)
• Força da mola AB (Fs= kx)
• Peso (W = 10 lb) 
Fs
x
y
W = 10 lb
TAC 
PROBLEMA 3.B - SOLUÇÃO
0
inθ 10 0 (1)
12
8 (2)
cosθ
Do diagrama temos:
4
tan 18.435
12 12
Substituindo em (2)
12
8 4.6491 (3)
cosθ
y
s
s
s
s
F
F s
F kx
F k
d
F k k
 
+  =
− =
=
 
= − 
 
= =  = 
 
= − = 
 

Fs
x
y
W = 10 lb
TAC 
PROBLEMA 3.B - SOLUÇÃO
Fs
x
y
W = 10 lb
TAC 