Espaço Vetorial

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Espaço Vetorial 
 
Elaine Cristina Ferruzzi 
Devanil Antonio Francisco 
79 
15 ESPAÇO VETORIAL 
 
 
 
Nos capítulos anteriores vimos duas operações 
definidas sobre os vetores a adição e a multiplicação 
por escalar, estas operações satisfazem uma série de 
propriedades que foram descritas anteriormente. 
Podemos em outros conjuntos diferentes do conjunto 
de segmentos eqüipolentes (chamados vetores), 
definir operações chamadas soma e multiplicação por 
escalar (número real) que satisfaçam as mesmas 
propriedades da soma e multiplicação por escalar 
definidas para segmentos eqüipolentes. 
Generalizaremos então o conceito de vetor. 
 
Todo conjunto no qual estejam definidas as 
propriedades soma e multiplicação por escalar e estas 
satisfaçam as propriedades dadas, será chamado 
espaço vetorial e os elementos deste conjunto serão 
chamados de vetores. Faremos também a 
generalização dos conceitos de combinação linear, 
dependência e independência linear e de base. 
 
 
15.1 Definição de Espaço Vetorial 
Um espaço vetorial real é um conjunto V, não 
vazio, sobre o qual estão definidas as operações 
adição e multiplicação por escalar, isto é: 
 u, v V, u v V
 , u V, u V
   
      
 
tais que, para quaisquer u, v e w  V, e  e   
, as propriedades abaixo sejam satisfeitas: 
 
Em relação à adição 
   
 
1
2
3
4
A ) u v w u v w u, v,w V
A ) u v v u, u,v V
A ) 0 V / u V, u 0 u
A ) u V, u V / u ( u) 0 
      
    
     
       
 
 
Em relação à multiplicação por escalar: 
M1) (.).v = .(.v) 
M2) ( + ).v = .v +.v 
M3) . ( u + v) = .u + .v 
M4) 1 .v = v 
 
Observação: O vetor 0 será chamado vetor nulo. 
 
 
Exemplo 01: O conjunto W constituído das ternas 
cuja terceira componente é zero 
  W a,b,0 ,a,b  é um espaço vetorial com 
operações de adição e multiplicação por escalar 
definidas abaixo: 
Sejam    u a,b,0 e v c,d,0 W   então: 
     u v a,b,0 c,d,0 a c,b d,0      
Seja  e  u a,b,0 W  , então: 
    u a,b,0 a, b,0 W       
 
Demonstração: 
Vamos mostrar que W com as operações acima 
definidas satisfaz os axiomas de espaço vetorial: 
Sejam    u a,b,0 , v c,d,0  e  w e,f ,0  W e  
e   , então: 
       
   
 
       
 
1A ) u v w a,b,0 c,d,0 e,f ,0
 a c,b d,0 e,f ,0
 a c e,b d f ,0
 u v w a,b,0 c,d,0 e,f ,0
 a,b,0
       
   
    
       
  
 
   
c e,d f ,0
 a c e,b d f ,0
 logo u v w u v w
  
    
    
 
 
 
 
   
 
2A ) u v a,b,0 (c,d,0)
 a c,b d,0
 v u c,d,0 a,b,0
 c a,d b,0 
 como a c c a e b d d b 
 então u v v u
  
  
  
  
     
  
 
 
 3A ) 0 0,0,0 V   , pois sua última coordenada é 
nula. Se somarmos um vetor qualquer u= ( a, b, 
0)  W, temos: 
   
 
0 u 0,0,0 a,b,0 
 a 0,b 0,0 (a,b,0) u
  
    
 
 
A4) Para todo vetor  u a,b,0 W  existe o vetor 
 u a, b,0 W     tal que: 
     
 
u u a,b,0 a, b,0
 a a,b b,0 (0,0,0) 0
      
    
 
   
 
    
 
 
   
1M ) u a,b,0
 a , b,0
 u a,b,0
 a, b,0
 a , b,0
 portanto u u
  
  
    
   
  
   
 
 
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    
    
 
 
   
2M ) u a,b,0
 a, b,0
 a a, b b ,0
 u u a,b,0 (a,b,0)
 a, b ,0 a , b, 0
 
    
    
    
    
     
  
 
a a, b b ,0
 portanto u u u
  
    
 
 
     
 
 
 
   
3M ) u v a,b,0 c,d,0
 a c,b d,0
 (a c), (b d),0
 a c, b d,0
 u v a,b,0 c,d,0
 a,
      
   
    
      
      
    
 
 
 b,0 c, d,0
 a c, b d,0
 portanto u v u v
   
      
     
 
 
     4M ) 1. a,b,0 a.1,1.b,0 a,b,0 u    
 
Exemplo 02: Seja V o conjunto de todos os 
polinômios: 2 n0 1 2 na a x a x ... a x    com os 
coeficientes ia . Então V é um espaço vetorial 
sobre K em relação as operações usuais de adição de 
polinômios e multiplicação por constante. 
 
Demonstração: 
1
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
A ) Sejam:
 p(x) a a x a x ... a x ,
 q(x) b b x b x ... b x e 
 r(x) c c x c x ... c x V
    
    
     
 
 e  e   , então: 
 
     
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
n
0 0 1 1 n n
2
0 1 2
(p q) r [(a a x a x ... a x )
 + (b b x b x ... b x )]
 (c c x c x ... c x )
 a b a b x ... a b x
 (c c x c x
       
    
    
      
   
   
 
n
n
0 0 0 1 1 1
n
n n n
... c x )
 a b c a b c x
 + ... a b c x

      
 
 
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
p (q r) (a a x a x ... a x ) +
 + [ (b b x b x ... b x )
 (c c x c x ... c x )]
      
    
    
 
     
   
 
2 n
0 1 2 n
n
0 0 1 1 n n
0 0 0 1 1 1
n
n n n
 (a a x a x ... a x )
 b c b c x... b c x
 a b c a b c x
 + ... a b c x
     
       
      
 
 
 portanto (p + q)+r = p+(q + r) 
 
2 n
2 0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
0 0 1 1
A ) Sejam p(x) a a x a x ... a x e
 q(x) b b x b x ... b x V
 p q a a x a x ... a x
 + b b x b x ... b x
 (a b ) (a b )x ..
    
     
      
   
     nn n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
n
0 0 1 1 n n
n
0 0 1 1 n n
. (a b )x
 q p b b x b x ... b x
 + a a x a x ... a x
 (b a ) (b a )x ... (b a )x
 (a b ) (a b )x ... (a b )x
 logo 
 
      
   
      
      
 p q q p  
 
 
2 n
3A ) O polinômio nulo 0(x) 0 0x 0x ... 0x V     
     
2 n
0 1 2 n
2 n
0
2 n
1 2 n
n
0 1 n
2 n
0 1 2 n
 Seja p(x) a a x a x ... a x 
 0 q 0 0x 0x ... 0x a
 + a x a x ... a x
 0 a 0 a x ... 0 a x
 a a x a x ... a x q
 logo 0 q q
    
       
  
      
     
 
 
 
4
2 n
0 1 2 n
A ) Para todo polinômio:
 p(x) a a x a x ... a x V,     
 
temos o polinômio: 
2 n
0 1 2 n
n
0 0 n n
 p(x) a a x a x ... a x 
 tal que :
 p(x) p(x) (a a ) ... (a a )x 0
      
      
 
 
 
 
    
 
n
1 0 1 n
n
0 1 n
n
0 1 n
n
0 1 n
n
0 1 n
M ) p . (a a x ... a x )
 . a a x ... a x
 p a a x ... a x
 a a x ... a x
 = . a . a x ... . a x
 
     
      
       
     
     
 portanto ( . ) p . p   
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   
     
   
2
2 n
0 1 2 n
n
0 1 n
nn
0 1 n 0 n
n n
0 n 0 n
0 1
M ) 
p (a a x a x ... a x )
 a a x ... a x
 p p (a a x ... a x ) (a ... a x )
 ( a ... a x ) ( a .. a x
 a a x ...
        
         
         
       
          
 
n
na x
Logo p p p

    
 
 
3
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
M ) Seja e
p(x) a a x a x ... a x 
q(x) b b x b x ... b x V

    
     
 
 
 
 
   
 
   
 
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
0 0 1 1
n
n n
0 0 1 1
n
n n
a a x a x ... a x
p q
b b x b x ... b x 
a b a b x ...
 
a b x
a b a b x ...
 
a b x
     
    
     
 
    
  
   
      
 
   
 
 
 
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
 p q a a x a x ... a x
 + b b x b x ... b x 
         
    
 
 
 
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
 a a x a x ... a x
 + b b x b x ... b x 
         
       
 
   
 
   
 
 
0 0 1 1
n
n n
0 0 1 1
n
n n
 a b a b x ...
 a b x
a b a b x ...
 
a b x
Portanto p q p q
        
   
      
 
   
     
 
 
 
4
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
2 n
0 1 2 n
M ) 
Sejam p(x) a a x a x ... a x V e 1
1.p(x) 1. a a x a x ... a x
 1.a 1.a x 1.a x ... 1.a x
 a a x a x ... a x
      
    
    
    
 
 
 
Exemplo 03: O conjunto M (m,n) das matrizes mxn 
com ao operações adição e multiplicação por escalar 
usuais são um espaço vetorial. 
 
Exemplo 04: Seja o conjunto    2 a,b a,b  
com as operações adição e multiplicação por escalar 
definidas por 
 
     
   
a,b c,d a c,b d
k a,b ka,b
   

 
Vamos verificar se este conjunto é ou não um espaço 
vetorial. 
Demonstração: 
A1) Sejam A = ( a,b) , B = (c,d) e C = (e,f), temos: 
 
(A+B)+C= [ ( a,b)+ (c,d) ]+ (e,f) 
 =[a+c , b+d ] + (e,f) 
 =(a + c + e , b + d + f ) 
 
 
A+(B+C) = ( a,b) +[ (c,d) + (e,f) ] 
 = ( a,b)+ [ c + e , d + f ] 
 = (a + c + e ,b + d + f ) 
 
Portanto (A+B)+C=A+(B+C 
A2) Sejam A = ( a,b) e B = (c,d) temos: 
 
(A+B)= ( a,b)+ (c,d) 
 =( a+c , b+d ) 
 
B+A = (c,d)+ ( a,b) 
 = (c + a ,d + b) 
Como a+c=c+a e b+d =d+b então A+B= B+A 
 
A3) ( 0 ,0 ) 2 temos: 
( a, b ) + ( 0 ,0 ) = ( a+ 0 , b+0)= (a,b) 
 
A4) Seja ( a,b) 2 , ( - a, - b ) 2 temos: 
(a , b ) + ( - a , - b ) = ( a – a, b – b) = ( 0, 0) 
 
M1) Sejam 2(a,b) e , :   
 
    
 
     
(a,b) ( a ,b)
a,b a , b 
 a ,b
Portanto a,b a,b
  
    
 
   
 
M2) Sejam 2(a,b) e , :   
     
 
       
a,b a , b
 a a , b
a,b a,b a ,b a , b
 ( a a , 2b ) 
    
  
     
  
 
 
Como  a a , b ( a a , 2b ),     então 2 com 
as operações definidas no início do exemplo não é um 
espaço vetorial. 
 
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Exercícios: 
Verifique se os conjuntos dados com as operações 
adição e multiplicação abaixo definidas são espaços 
vetoriais 
01) O conjunto   2V x, y / x, y   com as 
operações de adição e multiplicação por um 
número real assim definidas: 
     
   
1 1 2 2 1 2 1 2x , y x , y x x , y y e
x, y x, y
   
   
 
 
02) O conjunto   2V x,x / x  com as 
operações de soma e multiplicação por escalar 
definidas por : 
      
   
22 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
x ,x x ,x x x , x x e 
x,x x, x
   
   
 
03) O conjunto   V x, y / x, y 0  com as 
operações adição e multiplicação por escalar 
definidas por: 
     
   
1 1 2 2 1 2 1 2x , y x , y x x x , y x y e
x, y x , y 
 
 
 
 
04) O conjunto   2 a,b / a,b  com as 
operações de adição e multiplicação por escalar 
definidas por:    a,b c,d (a,b)  e 
 k (a,b) ( ka,kb) para quaisquer 
2(a,b) , (c,d) e k   . 
 
 
05) O conjunto 
0 a
A M(2x2) / a,b
b 0
       
   
 
com as operações usuais de adição e 
multiplicação por escalar. 
 
Respostas: 
01) Espaço Vetorial. 
02) Espaço Vetorial. 
03) Espaço Vetorial. 
04) Não é um Espaço Vetorial (falha A2, A3 e A4). 
05) Espaço Vetorial.