Sinais e Sistemas apostila

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SINAIS E SISTEMAS 
CEFET-PR – DAELN – CPGEI 
PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
SINAIS E SISTEMAS 
 
 
 
 
 
Álvaro Luiz Stelle (PhD) 
DAELN – CPGEI – CEFET–PR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Março de 2005 
 
 SINAIS E SISTEMAS 
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PROF ÁLVARO LUIZ STELLE (PhD) 
II
PREFÁCIO 
 
 
Esta apostila tem como objetivo dar ao leitor um embasamento teórico das 
Transformadas de Laplace, de Fourier e “z”, que serão necessárias nas áreas de 
Controle, Comunicações e Processamento de Sinais. 
Considera-se que o leitor já tenha conhecimentos matemáticos englobando números 
complexos, variáveis complexas e cálculo íntegro-diferencial. Para fixar com maior 
facilidade alguns conceitos, são fornecidos diversos exemplos e ilustrações ao longo do 
texto. No anexo estão incluídos diversos exercícios. Aqueles que abrangem as funções de 
transferência nos planos s e z poderão ser comprovados com a utilização do software 
FT3D, desenvolvido no Cpgei com finalidade puramente didática, e que resultou de uma 
dissertação de mestrado. O mesmo pode ser obtido através da internet em 
http://www.intelisis.com.br/intelisis/ft3d/. Entre tantos outros, um site recomendável para 
fixação de conceitos básicos referentes às transformadas aqui estudadas é o da 
Universidade Johns Hopkins, encontrado em http://www.jhu.edu/~signals. 
Apesar de elaborada com o máximo cuidado, esta apostila poderá conter alguns 
erros de datilografia (texto e equações) e também no que se refere às ilustrações. Por 
esta razão, pedimos ao leitor que nos comunique caso os encontre ou caso surja alguma 
dúvida no que se refere ao conteúdo do material. 
 
 
 
 
Profo.Álvaro Luiz Stelle 
stelle@cpgei.cefetpr.br 
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III
ÍNDICE 
 
CAPÍTULO 1 - SISTEMAS LINEARES 1 
1.1 - Introdução 1 
1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais 1 
1.3 - Números imaginários e complexos 2 
1.3.1 - Números imaginários 2 
1.3.2 - Números complexos 3 
CAPÍTULO 2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 
2.1 - Introdução 5 
2.2 - Definição 5 
2.3 - Propriedades e pares de transformadas 6 
2.4 - Transformada inversa 8 
2.5 - Aplicação da transformada de Laplace a circuitos elétricos 12 
2.6 - Funções de transferência de sistemas lineares 16 
2.7 - Pólos e zeros 20 
2.8 - Resposta em freqüência 23 
2.9 - Resposta ao impulso e ao degrau 24 
2.10 - Lugar das raízes (root locus) 30 
CAPÍTULO 3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 36 
3.1 - Introdução 36 
3.2 - Série de Fourier 36 
3.2.1 - Série de Fourier trigonométrica 36 
3.2.2 - Série de Fourier exponencial 37 
3.3 - Fenômeno de Gibbs 38 
3.4 - Teorema de Parseval 42 
3.5 - Transformada de Fourier 43 
3.6 - Teorema de energia de Rayleigh 46 
3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas 46 
3.8 - Convolução 46 
3.9 - Aplicação das propriedades 50 
3.10 - Modulação em amplitude (AM) 53 
3.11 - Teoria da amostragem 55 
CAPÍTULO 4 - TRANSFORMADA “Z” 59 
4.1 - Introdução 59 
4.2 - Definição 59 
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IV
4.3 - Região de convergência 59 
4.4 - Propriedades e pares de transformadas 61 
4.5 - Transformada inversa 62 
4.5.1 - Método dos resíduos 63 
4.5.2 - Método das frações parciais 64 
4.5.3 - Método da inversão por divisão (long division) 66 
4.6 - Convolução discreta 66 
4.7 - Funções de transferência de sistemas discretos 67 
4.7.1 - Funções de transferência de sistemas IIR e FIR 68 
4.7.2 - Estabilidade do sistema 70 
4.7.3 - Resposta em freqüência 70 
BIBLIOGRAFIA 75 
ANEXO 77 
 
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1
1 - SISTEMAS LINEARES 
1.1 - Introdução 
Os conceitos que se pode ter sobre o que é um circuito elétrico, uma rede elétrica ou 
um sistema elétrico podem ser bastante subjetivos. Porém, quando se fala em sistema, se 
imagina algo mais complexo tal como um sistema de ensino, de sinalização ou de defesa. 
Em engenharia, a palavra “sistema” é utilizada para descrever algo que é completo e 
que tem uma relação causa-efeito. Assim, em um automóvel existem vários sistemas tais 
como o de combustão, o de refrigeração, o de frenação e o elétrico. Pode-se dizer, 
porém, que o automóvel é um sistema e que os demais blocos que o compõem são 
subsistemas. Desta forma, ainda continua sendo subjetiva a conceituação daquilo que é 
um sistema. 
Em engenharia elétrica, isto se torna ainda mais complexo, pois um simples circuito 
RLC pode servir para simular a porta de um elevador, que é um sistema enquanto um 
circuito integrado pode ser considerado um simples elemento de um sistema. Por esta 
razão, ao longo desta apostila, estas palavras serão utilizadas indistintamente. Falar-se-á, 
por exemplo, na resposta do sistema a um impulso, não passando o mesmo de um 
simples circuito RC ou RLC. 
1.2 - Sistemas lineares, invariantes no tempo e causais 
Ao se pensar em uma variação linear, imagina-se que seja suficiente que a função 
seja definida por uma reta. Porém, do ponto de vista da resposta de um sistema linear, tal 
reta tem que passar pela origem, pois não pode haver um sinal de saída se o sinal de 
entrada é nulo. 
Um sistema é dito linear se puder ser representado por uma ou mais equações 
diferenciais lineares (aquelas em que os coeficientes são constantes). A propriedade mais 
importante destes sistemas é o fato de poder aplicar o princípio da superposição, que é 
dado pela equação 
a dy
dt
b dx
dti
i
i
i
n
i
i
i
i
k

 
 
0 0
 
onde “x” é a variável de entrada e “y” é a de saída. Isto significa que a saída global pode 
ser calculada a partir da soma das saídas individuais. Circuitos práticos constituídos de 
resistores, indutores, capacitores e fontes de corrente e tensão são sistemas lineares 
desde que sejam todos elementos lineares, o que já é difícil em termos práticos, pois os 
valores já variam em função da temperatura, por exemplo. Um simples diodo já leva à não 
linearidade. 
Seguem duas equações, uma delas caracterizando uma função linear e a outra uma 
função não linear. 
L
di t
dt
Ri t
( )
( )  20 linear 
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2
d i t
dt
Ki t
2
2
3 0
( )
( )  
não linear 
Na prática, os sistemas não chegam a ser totalmente lineares. Este é o caso de um 
amplificador, cuja saída satura quando o sinal de entrada se torna maior que um valor 
máximo admissível. Caso isto ocorra, surgem as distorções no sinal de saída, o que 
implicará no surgimento de componentes espectrais indesejáveis. Na figura 1.1, estão 
ilustradas algumas funções não lineares comumente encontradas nos circuitos 
eletrônicos. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 1.1 - Não linearidade causada por (a) saturação, (b) zona 
morta e (c) histerese. 
Por último, deve-se dizer que os sistemas lineares realizáveis obedecem ao princípio 
da causalidade. Tal tipo de sistema é denominado sistema causal e se caracteriza pelo 
fato de não responder a um sinal antes que o mesmo lhe seja aplicado. Em outras 
palavras, significa que suas variáveis de saída dependem dos valores atuais e dos 
valores passados das variáveis de entrada (e de saída em caso de realimentação); nunca 
de valores futuros. Isto pode não ocorrer para sistemas não lineares. 
Para o estudo dos sistemas lineares e invariantes no tempo, faz-se uso das 
transformadas de Laplace (sistemas analógicos), de Fourier (análise espectral geral) e “z” 
(sistemas discretos),que serão tratadas nos capítulos 2, 3 e 4, respectivamente. Para tal, 
é necessário que se tenha pleno conhecimento dos números complexos, sobre os quais 
estão fundamentadas tais transformadas. Por esta razão, faz-se, a seguir, uma rápida 
revisão dos mesmos. 
1.3 - Números imaginários e complexos 
Foi um tanto infeliz a escolha das denominações “imaginários” e “complexos” para 
designar tais classes de números, pois dão a idéia de que não pertencem ao mundo físico 
ou que são “complicados”, o que não é verdade. Segue uma rápida revisão. 
1.3.1 - Números imaginários 
A “unidade imaginária”, também denominada “operador imaginário”, que será 
representada pelo símbolo “j” (não é aqui adotado o símbolo “i” porque este já é utilizado 
para corrente elétrica), é utilizada para ajudar na solução de equações do tipo x2 = -9. Por 
definição j2 = -1, o que leva a j  1, j3 = -j e j4 = 1. 
x 
y 
x 
yy 
x 
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3
1.3.2 - Números complexos 
O produto resultante da multiplicação de um número real pelo operador imaginário 
resulta em um número imaginário enquanto a soma de um número real com outro 
imaginário gera um número complexo. Um número complexo do tipo A = a + jb pode ser 
representado em três formas básicas, que são: 
1) Forma cartesiana 
A a jb       onde j a Re(A) e b Im(A)1, 
2) Forma polar 
A C a b
b
a
      onde C A e atan2 2  
3) Forma exponencial 
A C e C cos( ) jC sin( )   j   
Para se ter uma idéia melhor, pode-se representar um número complexo 
graficamente sobre o que se denomina “plano complexo”, como ilustrado na figura 1.2. 
Como se pode notar, os mesmos são gerados a partir de relações trigonométricas 
básicas. Surge, então a identidade de Euler, que é dada por 
e cos( ) j sin( )j    
donde se obtém 
   cos( ) 12 e e e sen( ) 12 j e e          j j j j 
As operações matemáticas básicas com dois números complexos “A” e “B” 
representados por 
A      a j b C ej 1 e B c + j d D ej 2  
podem ser obtidas da seguinte forma: 
1) Soma algébrica 
A B (a+ c) j (b+ d)   
2) Multiplicação 
A . B (ac bd) j (bc ad) = C . D e
j (     1 2) 
3) Divisão 
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4
 
)21( je 
D
C
22c
ad)(bc j+bd)(ac
 
B B
BA 
B
A  




d
 
onde B  c jd é denominado “conjugado de B”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 - Plano complexo 
 
 
Im 
Re 

b = C sen  
a = C cos  
C = a b2 2 A 
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5
2 - TRANSFORMADA DE LAPLACE 
2.1 - Introdução 
Enquanto a Transformada de Fourier (TF), que será vista no capítulo 3, é mais 
propícia para a análise espectral, a Transformada de Laplace (TL) é melhor para a análise 
de transitórios no domínio do tempo, pois permite que se leve em conta as condições 
iniciais do sistema. Além disso, as grandes tabelas da TL encontradas na literatura 
englobam um número bem maior de pares de transformadas conhecidas do que as de 
Fourier. Isto se deve, em parte, ao fato da variável de freqüência da TF se restringir ao 
eixo imaginário do plano “s”. A TF só permite analisar transitórios quando a função é 
limitada de zero a infinito, como é o caso do degrau unitário e do impulso. No caso do 
seno, por exemplo, só permite a análise em regime permanente 
2.2 - Definição 
Para que se possa obter a TL de um sinal x(t), o mesmo deve satisfazer a condição 
x t t( ) e dt .  

 
0
 
 
para  positivo e real 
Comparando com as condições da TF, a presença do termo exponencial e o fato da 
integral ser de zero a infinito permitem que um número bem maior de funções, tais como 
“t”, “t2” e “ea t” para a0 tenha Transformada de Laplace (de um ponto de vista mais 
restrito, estas funções não tem TF). Existem, porém, funções como “ex”, onde “x=tn, que 
não têm qualquer uma das transformadas (na análise de circuitos, tal tipo de sinal não é 
utilizado). O par de transformadas é dado por: 
X s x t st( ) ( ) 


 e dt
0
 
 
transformada 
x t
j
X s st
j
j
( ) ( )
 
 
12 

 e ds transformada inversa 
A variável “s”, utilizada na transformada de Laplace, é complexa ( s j   ) e passa 
o sinal do domínio do tempo para um domínio de freqüências complexas. Assim, as 
funções em “s” são tridimensionais, pois a variável constitui um plano (plano “s”) e não 
apenas um eixo. 
Os símbolos utilizados para as integrais são: 
X(s) = L [x(t)] e x(t) = L-1[X(s)]. 
enquanto que o par de transformadas é simbolizado por x(t)  X(s). 
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6
Quando x(t) tem um impulso ou uma descontinuidade na origem, como é o caso do 
degrau unitário, é necessário que x(0) seja incluído na integral. Vem daí o fato de se ter 
colocado o termo "0- " como limite inferior. 
Seguem 4 exemplos, os quais são calculados diretamente através da definição. 
1) degrau unitário 
x t u t( ) ( ) 
X s u t
s
e
s
st st st( ) ( )   

 






 
  e dt e dt
0 0 0
1 1 
2) exponencial decrescente 
x t e tat( ) ( )  u 
X s
s a
e
s a
at st s a t s a t( ) ( ) ( )    



  
 

 

 

 
  e e dt e dt
0 0 0
1 1 
3) rampa 
x t t u t( ) ( ) 
X s
s
st( )  


 t e dt
0
2
1 
4) impulso unitário [trata-se de um pulso retangular ou triangular (ver item 3.5), por 
exemplo, que só é definido para t = 0. Seu tempo de duração é nulo e sua amplitude 
tende a infinito, dando-lhe uma área unitária]. 
x t
A
t
A A
t
A
( ) lim lim 


    (t) = A A 0 01 1 
X s t tst s( ) ( ) ( ) ( )   



 
  e dt e dt dt  
0
0
00
0 1 
2.3 - Propriedades e pares de transformadas 
Para se evitar o cansativo uso da definição, faz-se uso de algumas propriedades da 
transformada de Laplace, que são dadas na Tabela 2.1, e de transformadas já conhecidas 
como as da Tabela 2.2, que são as mais utilizadas na análise de circuitos elétricos 
básicos. 
Nos próximos 5 exemplos, serão utilizadas algumas propriedades e algumas 
transformadas já conhecidas. 
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7
1) seno (propriedade da linearidade e transformada da exponencial) 
 x t t e e
j
j t j t
( ) sen  


 
2
 
X s
j s j s j s
( )    



  
1
2
1 1
2 2 

 
2) co-seno (propriedade da diferenciação e transformada do seno) 
   x t t e e d t
dt
j t j t
( ) cos
sen   

 
 
2
1 
     sen sen sen 
 
 t s
d t
dt
s
s
    2 2 2 2 0 e 
X s
s
s
s
s
( )     
1
02 2 2 2

  
3) produto “rampa x exponencial decrescente” (propriedade da diferenciação complexa) 
e
s a
dX s
ds
at    
1 e t. x(t) ( ) 
 t e
d
ds s a s a
at.    



  
1 1
2 
4) produto “seno x exponencial decrescente” (propriedade da translação complexa) 
 sen . ( ) ( ) t s x t X s a   2 2 e e-at 
   e
-at.sen  

t
s a

 2 2
 
   e
-at.cos 

t
s a
s a
 
 2 2
 
5) convolução de um sinal qualquer comum impulso 
Em um sistema linear e invariante no tempo, ocorre uma convolução (ver item 3.8) 
do sinal de entrada x(t) com sua resposta ao impulso h(t), gerando um sinal de saída y(t). 
Fazendo x(t) = (t), obtém-se y(t) = h(t), que é a resposta ao impulso. 
Em termos práticos, para se obter a resposta ao impulso h(t) de um circuito, deve-se 
aplicar um pulso relativamente estreito (faixa espectral bem larga) na sua entrada, de tal 
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8
forma que simule um “impulso”, registrando o sinal de saída, por exemplo, em um 
osciloscópio de memória. Segue a demonstração matemática. 
x t t e
X s
s a
X s H s H s
s
s a
e
at
at
( ) ( )
( ) ( ). ( ) ( )
( )
   
    
  


 h(t) y(t) x(t) h(t)
H(s) Y(s)
Y y(t)
1
1
1
 
2.4 - Transformada inversa 
Difícil de ser calculada pela sua definição, procura-se obtê-la através das tabelas já 
existentes. Funções mais complexas (funções racionais) devem ser simplificadas de 
modo que se chegue a várias transformadas mais simples (frações parciais), cujas 
transformadas inversas sejam conhecidas. A técnica da expansão em frações parciais é 
mostrada a seguir para equações com raízes simples. Para outras funções mais 
complexas, deve-se procurar maiores informações na literatura. Segue a demonstração 
do método de expansão em frações parciais. 
Seja H(s) uma função racional própria (o grau do numerador é menor que o do 
denominador), do tipo 
H s N s
D s
a a a a
b b b b
n
n
n
n
m
m
m
m( )
( )
( )
             
 
 
 s s s
 s s s
1
1
1 0
1
1
1 0
 n  m 
Uma vez determinadas as raízes de D(s), a mesma pode ser reescrita como 
     H s
N s
s s s s s sm
( ) ( )       0 1 1 
 
o que equivale a 
     H s
K
s s
K
s s
K
s s
m
m
( )          


0
0
1
1
1
1
 
Basta, agora, determinar-se os valores das constantes Km, que são obtidos da 
seguinte forma: 
 K s s H sm m s sm   ( ) 
Caso a função seja imprópria (fato inaceitável do ponto de vista prático porque leva 
à instabilidade do sistema), basta efetuar, primeiramente, a divisão de N(s) por D(s) até 
chegar-se a uma função própria. 
No primeiro caso dos dois exemplos seguintes, o grau de N(s) é menor do que o 
grau de D(s), o que não significa que o sistema seja realizável e estável e, no segundo 
caso, o grau de N(s) é maior do que o de D(s), o que já implica que o sistema não é 
realizável. 
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Tabela 2.1 - Propriedades da Transformada de Laplace. 
Nome Função no Tempo Transformada 
Linearidade a x t b y t. ( ) . ( ) a X s b Y s. ( ) . ( ) 
Deslocamento no tempo x t t t t( ) ( )  0 0 u t 00 X s e st( ).  0 
Mudança de escala x a t( . ) a 0  1
a
X s a 
Diferenciação (no tempo) dx t
dt
( )
 
s X s x. ( ) ( ) 0 
 d x t
dt
2
2
( )
 s X s s x x
2 0 0. ( ) . ( ) ( )   
Integração (no tempo) 
x d
t
( ). 
0
 1s X s( ) 
 
x d
t
( ). 

 1 1
0
s
X s
s
x d( ) ( ).

   
Deslocamento na fre-
qüência 
x t e at( ).  X s a( ) 
Diferenciação na fre-
qüência (multiplicação 
por -t) 
t x t. ( ) dX s
ds
( )
 
Integração na freqüência 
(divisão por t) 
x t
t
( )
 X s ds
s
( ).

 
Convolução (*) 
x y t d( ). ( )  


 X s Y s( ). ( ) 
Valor Inicial x x t( ) lim ( )0   t 0 lim . ( )s s X s 
Valor final x x t( ) lim ( )   t lim . ( )s s X s0 (pólos de sX(s) 
no SPE) 
Periodicidade de x(t) f t f t nT( ) ( )  n = 1, 2, ... F s
e sT
sts x t)e dt
T
1
1 0
( )
( ) ( 
F1 
 
(*) Obs: Uma demonstração gráfica da convolução é dada no item 3.8. 
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Tabela 2.2 - Pares de transformadas 
Par x(t) X(s) 
1 impulso unitário (t) 1 
2 degrau unitário u(t) 1/s 
3 t 1/s2 
4 e a t 1/(s+a) 
5 t e a t 1/(s+a)
2 
6  sen t 
s2 2 
7  cos t s
s2 2  
8 tn e (m = 1,2,3,... )-a t 
 
n
s a n
!
 1
 
9  1b a e a t b t   e    1s a s b  
10  1b a b e b t a t   a e    ss a s b  
11  1 1 1a b a b b e a t b t a e        1s s a s b  
12  e a t tsen  
 

s a 2 2
 
13  e a t tcos  
 
s a
s a

 2 2
 
14  1 12a a t e a t     1s 2 s a 
15 

  n t n e sen tn
1
1
2
2

 
 
 
n
n ns
2
2 22  s 
16 

  
 


1
1
1
1
2
2
1
2

  
 
  e s e n t t nn
t a n
 
s
s n n
2 22   s 
17 1 1
1
1
1
2
2
1
2


 


 



  
 
  e s e n t t nn
ta n
 

 
n
n ns s
2
2 22( )  s 
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11
1) O grau de N(s) é menor do que o de D(s). 
   H s
s s
s s s
s s
s s
A
s
B
s
C
s
( )     
 
      
2
3 2
22 2
6
2 2
2 2 3 s 3
 
       A s H s s 
s s
s s
s s
ss
s s
     
 
    
 
 s 3
 
 s 3
 ( ) 0
2
0
2
0
2 2
2
2 2
2
1
3
 
 B s s
s s
s s
s
       
( ) ( )2
2 2 1
52
2
2
 H
s 3
 
 C s s
s s
s s
s
     

( ) ( )3
2 2 13
153
2
3
 H
s + 2
 
h t t t t( ) ( )  1
3
1
5
13
15
2 3 u e e 
Pode-se notar que o termo C/(s - 3) causou uma exponencial crescente, o que 
implica que o sistema é instável. O termo (s - 3) foi proveniente do fato do denominador 
ter termos positivos e negativos, o que não pode ocorrer. A raiz s3 = 3 se encontra na 
parte direita do plano “s” (semi-plano direito - SPD), isto é, s3 = Re(s) =  = 3. Para que o 
sistema seja totalmente estável, todas as raízes do denominador (pólos) deverão estar 
localizadas no semi-plano esquerdo (SPE). Este assunto será tratado mais adiante. 
2) O grau de N(s) é maior do que o de D(s) 
F s
s s s
s s
s
s
s s
s
s
s
( )
( )
              
3 2
2 2 2
3 3 2
2 2
1
2 2
1
1 1
 
Sabe-se que 
s
s
t
s
t X s a2 2 2 2      

 cos( ) sen( ) ( ) , e x(t)e
-at 
A última fração de F(s) pode ser alterada de forma que se chegue a funções do tipo 
X(s+a). Para que se obtenha um co-seno, o número “1” deve ser somado ao numerador. 
Para compensar tal soma, o número “1” é também subtraído. 
F(s s s
s
s s
s
)
( )
( )
( )
       
 
 1 1 1 1
1 1
1 12 2
 
F(s s s
s s
)
( ) ( )
           1
1
1 1
1
1 12 2
 1 (t) s (t)  
 
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 f t u t e at t t( ) ( ) sen( ) cos( )      (t) 
2.5 - Aplicação da transformada de Laplace a circuitos elétricos 
Considere-se, primeiramente, os elementos básicos de um circuito elétrico que são o 
resistor (R), o indutor (L) e o capacitor (C). Quando os mesmos são submetidos a fontes 
de tensão e/ou corrente, como mostra a Figura 2.1, surgem as equações básicas, que são 
dadas por: 
Resistor 
v t R i t V s R I s
i t G v t I s G V s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
  
  


 
Indutor 
 v
 i dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t L d i t
dt
V s sL I s L i
t
L
v t i I s
sL
V s i
s
   
    




 
0
1 0 1 0
 
Capacitor 
 v dt
 i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
t
C
i t v V s
sC
I s
v
s
t C
d v t
dt
I s sC V s C v
    
   





1 0 1 0
0
 
A partir destas equações, pode-se, através da lei das malhas e da lei dos nós, 
chegar-se às equações integro-diferenciais dos circuitos, as quais não seriam de fácil 
resolução através do método clássico. Com a aplicação da transformada de Laplace, tais 
equações são transformadas em algébricas. Posteriormente, aplicando-se a transformada 
inversa, volta-se ao domínio do tempo caso seja necessário. 
v(t) Ri(t)
 
v(t) Ri(t)
 
v(t) Ci(t)
(a) (b) (c) 
Figura 2.1 - Elementos básicos de um circuito elétrico. (a) Resistor 
“R”, (b) indutor “L” e (c) capacitor “C”. 
Seguem alguns exemplos. 
1) Calcular a corrente i(t) e as tensões vr(t) e vc(t) no circuito RC ilustrado na Figura 2.2 
após ligar a chave. A tensão inicial sobre o capacitor deve ser considerada nula. 
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+
-
V
RS
i(t) C
 
Figura 2.2 - Circuito RC série. 
Como a tensão da fonte é contínua, pode-se fazer v(t)=Vu(t)=V. Assim, a equação 
da malha fica sendo 
V Ri t
C
i t dt V
s
RI s
sC
I s i t dt     




 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 
onde a carga inicial do capacitor é dada por 
i t dt Qc( ) ( )

  
0
0 0 . 
Desenvolvendo a equação, isolando I(s) e calculando a tensão sobre o capacitor, 
vem 
I s R
sC
V
s
( ) 

 
1
 
I s V
s R
sC
V
R s
RC
t V
R
e t
t
RC( ) ( ) ( )







  
1 1
 i u 
Vc s sC
I s
sC
V
R s
RC
RC
V
s s
RC
( ) ( ) 







1 1
1
1
1
 
Usando a tabela de transformadas, pode-se calcular a tensão sobre o capacitor. 
     1 1s a s b b a e eat bt       onde a 0 e b 1RC 
v t V
RC
RC
e e V ec RC
t t
RC( )  





  






  1
1 1
0
1
 t 
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14
Uma forma mais fácil de se calcular a tensão sobre o capacitor é calcular, 
primeiramente, a tensão sobre o resistor e subtrair esta da tensão da fonte , como 
mostrado abaixo. 
V s R I s R V
s R
sC
V
s
RC
t V e tr
t
RC( ) ( ) ( ) ( ) 







  
1 1
 v ur 
ou ainda 
v u ur( ) ( ) ( ) ( )t R i t R
V
R
e t V e t
t
RC
t
RC    
Agora, basta fazer 
v t V v t V V e V ec r
t
RC
t
RC( ) ( )     






 
1 
O produto RC é denominado constante de tempo. Fazendo-se t =RC na equação de 
vc(t), obtém-se 
 v t V V e V e Vc RCRC( ) ( , ) ,       1 1 03679 063211 V 
Isto significa que, considerando nulas as condições iniciais, a tensão sobre o 
capacitor atinge 63,21% do valor máximo V durante a primeira constante de tempo (t = 
0 a t = RC), chegando a este valor em, aproximadamente, 5 constantes de tempo. No 
caso da tensão sobre o resistor, esta decai de forma inversa, como ilustrado nos gráficos 
de i(t), vr(t) e vc(t) a seguir, onde se considerou V=10, e R=2 e C=0,5. 
 
(a) (b) 
Figura 2.3 - Gráficos de (a) i(t) e (b) vr(t) e vc(t). 
Obs: Como se assume, na transformada de Laplace, que a variável tempo é válida 
de zero a infinito, o termo u(t) é opcional. 
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15
2) Calcular i(t) no circuito RL-RLC da Figura 2.4 após a passagem do interruptor para a 
posição 2 em t=0. Considerar V1=V2=100V, R=50, L=100mH, C=1mF e i(t) no sentido 
convencional. 
_
 +
V1
R
Li(t)
C R
+
V2_
1 2
 
Figura 2.4 - Circuito do exemplo 2. 
Posição (1) - Considerando que o sistema já esteja em repouso (já ocorreu um 
transiente), o que faz com que apenas o resistor esteja influenciando no circuito, pode-se 
calcular a corrente atual (futuro valor inicial i(0)). 
i t( )    100
50
2 
(sentido convencional) 
Passando o interruptor para a posição 2, a equação geral da malha fica sendo: 
100 50 1
0001
01   i dt( ) , ( ) , ( )t i t di tdt 
Com a aplicação da transformada, vem 
 100 50 1000 01 2 0 2s s I ss s I s       I onde i( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 
  I s s
s
s
s s
s
s s
( )
,
,


 
   

 
100 02
50 1000 01
1000 2
500 10000
1000 2
21 4792 s
 
Aplicando o método de frações parciais, chega-se a 
I s A
s
B
s s s
( )        21 479
1042
458
1
21
1958
458
1
479
 e 
i t( ) , ,  2275 427521 479 e e t t . 
É interessante observar, neste exemplo, que, apesar do circuito final ser do tipo 
RLC, o mesmo não oscilou, fornecendo uma corrente composta por duas funções 
exponenciais. O gráfico está ilustrado na Figura 2.5. Percebe-se que a corrente inicial 
(t = 0) é -2A, como previsto. 
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16
 
Figura 2.5 - Corrente na malha RLC do circuito dado no exemplo 
anterior. 
2.6 - Funções de transferência de sistemas lineares 
Considere-se um sistema linear e invariante no tempo com suas variáveis de 
entrada e de saída nos domínios do tempo e da freqüência complexa, como ilustrado na 
Figura 2.6. Tais variáveis podem ser as mais diversas, tais como tensão, corrente, força, 
torque, ângulo, deslocamento e outras. É denominada função de transferência H(s) a 
relação Y(s)/X(s). Por exemplo, em circuitos elétricos, pode-se considerar funções tais 
como os ganhos de tensão, corrente, transcondutância e transresistência de 
amplificadores e a variação da velocidade angular do motor em função do ângulo de giro 
do potenciômetro (de eixo) de controle. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 - Sistema linear e invariante no tempo. 
Será dada, a partir deste ponto, especial atenção aos filtros analógicos. Por esta 
razão, nos próximos exemplos, será considerada como função de transferência, o ganho 
(ou atenuação) de tensão, i.e., H(s)=Av(s)=Vo(s)/Vi(s). Seguem 6 exemplos. 
1) No circuito RC da Figura 2.7, que é um filtro passa-baixas, pode-se aplicar como 
tensão de entrada, com a chave já fechada, um impulso e tomar-se a tensão sobre o 
capacitor como variável de saída. Desta forma, a função de transferência é dada por 
H s V s
V s
V s
RC s
RC RC
s
RC
a
s a
o
i
c( ) ( )
( )
( )  


 

 1
1
1
1
1
1 
h(t) 
 
H(s) 
x(t) 
X(s) 
y(t) = x(t)  h(t) 
Y(s) = X(s) . H(s) 
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17
enquanto que a respectiva resposta ao impulso, que é a transformada inversa de H(s), é 
dada por 
h t a e
RC
eat
t
RC( )   1 . 
É possível obter H(s) aplicando-se qualquer tipo de sinal à entrada do circuito, 
porém os cálculos ficam mais fáceis se o impulso for utilizado. A tensão de saída também 
pode ser calculada a partir de um divisor de tensão ou de corrente. Desta forma, no 
circuito em questão, fazendo Z1(s)=R e Z2(s)=1/sC (considerando nulas as condições 
iniciais), a tensão de saída é obtida da seguinte maneira. 
V s I s s V s Z s
Z s Z so i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
   Z2
2
1 2
 
Isolando-se, agora,a relação Vo(s)/Vi(s), vem 
H s Z s
Z s Z s
sC
R
sC
sRC
RC
s
RC
( ) ( )
( ) ( )
   
   
2
1 2
1
1
1
1
1
1 
como visto anteriormente. 
Vi(s)
R
CI(s) Vo(s)
 
C
Vi(s) RI(s) Vo(s)
 
(a) (b) 
Figura 2.7 - Filtros RC de primeira ordem tipo (a) passa-baixas e 
(b) passa-altas. 
2) No circuito da Figura 2.7-b, inverteram-se as posições de R e C, que o torna um filtro 
passa-altas. Tomando-se a tensão sobre o resistor como tensão de saída, obtém-se: 
H s Z s
Z s Z s
R
R
sC
sRC
sRC
s
s
RC
( ) ( )
( ) ( )
   
   
2
1 2 1 1 1
 
Para calcular h(t), efetua-se a divisão do numerador pelo denominador, que resulta 
em 
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H s s
s
RC
RC
s
RC
a
s a
( ) 

 

  1 1
1
1 1 
donde vem 
h t t a e t
RC
eat
t
RC( ) ( ) ( )      1 . 
Observando-se o polinômio do denominador de H(s) em ambos os exemplos, 
percebe-se que os mesmos são de ordem 1, o que é causado pelo fator “s” do capacitor. 
Por esta razão, estes filtros são ditos de primeira ordem. Além disto, tal polinômio é o 
mesmo em ambos os casos. 
Nos próximos 4 exemplos, serão analisados os circuitos da Figura 2.8. Trata-se de 
circuitos RLC simples, nos quais apenas a posição dos componentes varia. A introdução 
do indutor provocará o aparecimento de outro fator “s”, elevando o grau do polinômio do 
denominador para 2, tratando-se, assim, de filtros de segunda ordem. 
Vi(s)
R
CI(s)
L
Vo(s) Vi(s)
R C
I(s) L Vo(s)
 
(a) (b) 
Vi(s) I(s) R Vo(s)
L C
 
 
R
L
C
Vo(s)I(s)V i(s)
 (c) (d) 
Figura 2.8 - Filtros RLC de segunda ordem tipo (a) passa-baixas, 
(b) passa-altas, (c) passa-faixa e (d) corta-faixa. 
3) No caso do circuito da Figura 2.8-a, que é um filtro passa-baixas, H(s) será dada por 
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H s Z s
Z s Z s
sC
R sL
sC
s LC sRC
LC
s s R
L LC
( ) ( )
( ) ( )
    
     
2
1 2
2 2
1
1
1
1
1
1 
Esta equação pode ser comparada à equação 16 da tabela de transformadas, que é 
padronizada e que, após a mudança do termo n para 0, passa a ser 
H s
s
( )   

 
0
2
2
0 0
22 s
 
É também utilizada uma outra forma, que é 
H s
s
Q
( ) 
 

 
0
2
2 0
0
2 s
 
Por comparação, deduz-se que: 
   0
2
0 0 0
1 1 1
2
1
2
1      
LC LC LC
L
R R
L
C
X
R
L f Q 
O termo 0 é a freqüência de ressonância dada em rad/s, enquanto que f0 é a 
freqüência de ressonância dada em Hz. Os termos Q e  são denominados, 
respectivamente, fator de qualidade e fator de amortecimento. Este último é utilizado nas 
funções de resposta ao impulso (ver tabela de transformadas). Obs: Na freqüência de 
ressonância, XL=XC. 
4) O circuito da Figura 2.8-b é um filtro passa-altas e tem H(s) dada por 
H s sL
R sL
sC
s LC
s LC sRC
s
s s R
L LC
s
s
( ) 
 
     
  1 1 1 2
2
2
2
2
2
2
0 0
2  s 
5) O circuito da Figura 2.8-c, por sua vez, é um filtro passa-faixa, cuja função de 
transferência é 
H s R
R sL
sC
sRC
s LC sRC
s R
L
s s R
L LC
s
( ) 
 
     
  1 1 1
2
22 2
0
2
0 0
2

 
 s
 s
 
6) Por último, o filtro corta-faixa ilustrado na Figura 2.8-d, tem 
H s
sL
sC
R sL
sC
s LC
s LC sRC
s
LC
s s R
L LC
s
s
( ) 

 
   

 
  
1
1
1
1
1
1 2
2
2
2
2
2
0
2
2
0 0
2

  s 
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20
Como se pode observar, os denominadores são iguais. 
Exercícios: Através da obtenção de H(s), determinar o tipo de filtro de cada um dos 
circuitos da figura 2.9. 
Vi(s)
R1 C1
R2 C2 Vo(s)
 
Vi(s)
R
LI(s) C Vo(s)
 
(a) (b) 
L
Vi(s)
C
R Vo(s)I(s)
 
(c) 
Figura 2.9 - Filtros de segunda ordem tipo (a) passa-faixa RC-RC, 
(b) passa-faixa RLC e (c) corta-faixa RLC. 
2.7 - Pólos e zeros 
Diz-se que H(s) tem um pólo no ponto onde seu valor tende a infinito e um zero onde 
seu valor tende a zero. No caso, do filtro passa-baixas RC estudado anteriormente (ver 
figura 2.7), o pólo está localizado em “s = -1/RC” enquanto o zero ocorre quando “s” 
tende a infinito. Como “s” é uma variável complexa, H(s) é uma função tridimensional. Na 
figura 2.10, está ilustrado o módulo de H(s) completo para a = -1 e || = ||  3 e também 
com um corte feito sobre o eixo imaginário, onde s = j, o qual representa a transformada 
de Fourier de h(t), ou seja, H(j). Acompanham, ainda, as curvas de contorno (vista 
superior do |H(s)|), que mostram a localização do pólo e também as curvas de resposta 
em freqüência para 0    3 (|H(j)| e fase). 
Tanto os pólos quanto os zeros podem ser reais, imaginários ou complexos. As 
posições que eles ocupam no plano “s”, fazem variar o tipo de filtro, suas curvas de 
resposta em freqüência e a resposta que os mesmos oferecem ao sinal de entrada 
(impulso, degrau e outros) do ponto de vista do grau de estabilidade, i.e., se são ou não 
estáveis, tendendo ou não a oscilar, principalmente quando se trata de filtros ativos. As 
respostas ao impulso e ao degrau são as mais utilizadas quando se estuda um sistema 
qualquer como um todo (filtros, osciladores, amplificadores, etc.). 
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21
 
(a) (b) 
 
(c) (d) 
Figura 2.10 - Detalhes da função de transferência de um filtro passa-
baixas RC de ordem 1. (a) Módulo de H(s), (b) vista de H(j), (c) 
vista da localização do pólo e (d) curvas de resposta em freqüência. 
Para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que o número de zeros 
seja igual ao número de pólos. Isto significa que o grau do polinômio do numerador seja, 
no máximo, igual ao do denominador. Além disso, para que o sistema seja estável, é 
necessário que os pólos estejam localizados, no semi-plano esquerdo (SPE) do plano “s”. 
Se os mesmos estiverem sobre o eixo imaginário (=0 nos sistemas que envolvem, ao 
menos, um polinômio de segunda ordem), o sistema oscilará e, caso estejam no semi-
plano direito (SPD), o sistema será totalmente instável. Neste último caso, os circuitos 
passivos não são realizáveis, pois envolvem componentes negativos. Pode-se, de 
qualquer forma, simulá-los com a ajuda de componentes ativos se necessário. 
Seguem alguns exemplos do cálculo dos pólos e zeros referentes aos exemplos dados 
anteriormente.
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22
1) Filtro passa-altas de primeira ordem 
H s
s
s
( )  1 1 zero em s = 0 e 1 pólo em s = -1 
2) Filtro passa-baixas de segunda ordem 
H s LC
s s R
L LC
s
( ) 
 
  
1
1 22
0
2
2
0 0
2

  s 
Esta função tem: 2 zeros quando “s” tende a infinito 
 2 pólos (s1 e s2) dados por 
 
s12
0 0
2
0
2
0 0
22
2
2 4
2
1,   
          
Os sistemas de segunda ordem podem ser subdivididos em três tipos, que são 
a) 0    1  subamortecido (pólos complexos e saída em forma de senóide 
amortecida) 
b)  = 1  amortecimento crítico (s1 = s2, pólos iguais e reais, tendendo a ser 
complexos) 
c)   1  sobreamortecido (pólos reais com saída definida por exponenciais, 
não havendo oscilação) 
O circuito da figura 2.4,com os valores pré-determinados, forneceu uma corrente i(t) 
composta por duas funções exponenciais, sendo, portanto, sobreamortecido. 
Se  = 0, o sistema oscilará fornecendo uma senóide pura. Este é o caso dos 
osciladores propriamente ditos (ver exemplo do oscilador ponte de Wien). No caso do 
filtro RLC, isto ocorre para R = 0, não havendo, do ponto de vista teórico, perdas no 
sistema. 
No caso dos filtros RLC de segunda ordem tipo passa-altas, passa-faixa e corta 
faixa, variará tão somente a posição dos zeros, como mostrado a seguir. 
3) Filtro passa-altas de segunda ordem 
H s
s
s s R
L LC
s
s
( ) 
 
  
2
2
2
2
0 0
21 2  s 2 zeros na origem (s=0) 
4) Filtro passa-faixa de segunda ordem 
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23
H s
s R
L
s s R
L LC
s
( ) 
 
  2
0
2
0 0
21
2
2

 
 s
 s
 1 zero na origem (s = 0) 
 1 zero quando s   
5) Filtro corta-faixa de segunda ordem 
H s
s
LC
s s R
L LC
s
s
( ) 

 
  
2
2
2
0
2
2
0 0
2
1
1 2

  s 2 zeros em s =  j  
Obs: Nos dois últimos exemplos,  não pode ser igual a zero, pois H(s) se tornaria nula 
para o filtro passa-faixa (resistor curto-circuitando a saída) e tenderia a 1 no caso do filtro 
corta-faixa, uma vez que os zeros estariam no mesmo lugar dos pólos, cancelando o 
efeito dos mesmos. 
2.8 - Resposta em freqüência 
Para se obter a resposta em freqüência de um sistema, basta tomar H(s) e substituir 
“s” por “j”. De posse de H(j), que é uma função complexa, calcula-se o respectivo 
módulo, denominado, aqui, de H() e o ângulo de fase (), ou seja: 
H j H j H s N s
D s
a jb
c jd
j
s j
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )  

     
 onde 
H H j N j
D j
N j
D j
a b
c d
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
  

   


2 2
2 2
 e 
    





( ) ( )
Im[ ( )]
Re[ ( )]
( )
( )
Im[ ( )]
Re[ ( )]
Im[ ( )]
Re[ ( )]
    
  j tg H j
H j
j
j
tg N j
N j
tg D j
D j
1 1 1 N
 D
 
Como exemplo, determine-se a curva de resposta em freqüência de um filtro corta-
faixa com função de transferência H(s), H s
s
s s
( )   
2
2
4
2 4
 
H j j
j j j
( ) ( )
( )
 
 

 
 
 
 
 
2 4
2 2 4
4 2
4 2 2
 
   H j( )

 

  

 
 
 
 
  
 
 
4
4 2
4
16 8 4
4
16 4
2
2 2 2
2
2 4 2
2
2 4
 
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24
H H j( ) ( )  
 
  
 
4
16 4
2
2 4
 e   ( )   




0 2
4
1
2tg 
Os respectivos gráficos se encontram plotados na figura 2.11 com escalas lineares. 
(a) (b) 
Figura 2.11 - Curvas de resposta em freqüência de um filtro corta-
faixa. (a) Ganho H() e (b) fase (). 
2.9 - Respostas ao impulso e ao degrau 
Outra forma de se avaliar os sistemas é através da verificação das suas respostas 
ao impulso h(t) e ao degrau yu(t). Para o filtro passa baixa de segunda ordem, estas 
equações são dadas por 
h t( ) 

  


  n t n e sen t t 0n
1
1
2
2 
y t
e
u( ) tan  
  











 
 1
1
1
1
2
2 1
2 

  
 t
n
n
 sen t t 0 
Para os demais tipos de filtros, deve-se determinar as mesmas através das tabelas 
de transformadas e aplicando as propriedades. 
Para mostrar a influência do fator , segue, nas figuras 2.12 a 2.16, uma série de 
ilustrações, as quais mostram a resposta ao impulso h(t) e ao degrau yu(t), onde se 
utilizou =[0,1 0,5 0,707 1] para o filtro corta-faixa e para o filtro passa-faixa que contém o 
termo  no numerador e =[0 0,5 0,707 1] para os demais. Para as curvas de resposta em 
freqüência H(), mostradas em escala linear, e HdB(), em decibéis, além de (), 
alterou-se o valor mínimo de  para 0,25 em todos os casos, pois um valor menor que 
este causaria um ganho muito alto, fazendo com que os detalhes das demais curvas não 
pudessem ser observados. Obs: Como os filtros podem ser ativos ou passivos 
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25
H s
s
( )   

 
0
2
2
0 0
22 s
 
resposta ao impulso (min  0 ) resposta ao degrau (min  0 ) 
H() (min  0 25, ) HdB() (min  0 25, ) 
() (min  0 25, ) () (min  0 25, ) 
Figura 2.12- Filtro passa-baixas. 
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26
H s
s
s
( )   
2
2
0 0
22  s 
resposta ao impulso (min  0 ) resposta ao degrau (min  0 ) 
H() (min  0 25, ) HdB() (min  0 25, ) 
() (min  0 25, ) () (min  0 25, ) 
Figura 2.13- Filtro passa-altas 
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27
H s
s
s
( )   2 0 022  s
 
resposta ao impulso (min  0 ) resposta ao degrau (min  0 ) 
H() (min  0 25, ) HdB() (min  0 25, ) 
() (min  0 25, ) () (min  0 25, ) 
Figura 2.14- Filtro passa-faixa (tipo 1) 
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28
H s
s
( )   
2
2
0
2
0 0
2

 
 s
 s
 
resposta ao impulso (min  01, ) resposta ao degrau (min  01, ) 
H() (min  0 25, ) HdB() (min  0 25, ) 
() (min  0 25, ) () (min  0 25, ) 
Figura 2.15- Filtro passa-faixa (tipo 2) 
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29
H s
s
s
( )   
2
0
2
2
0 0
22

  s 
resposta ao impulso (min  0 25, ) resposta ao degrau (min  0 25, ) 
H()(min  0 25, ) HdB()(min  0 25, ) 
() (min  0 25, ) () (min  0 25, ) 
Figura 2.16- Filtro corta-faixa 
 
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30
empregou-se a palavra “ganho”. No caso dos passivos, seria mais apropriada a palavra 
“atenuação”. 
Pode-se dizer, finalmente, que a resposta ao impulso e ao degrau, acompanhadas 
da resposta em freqüência, podem fornecer muito mais dados sobre o sistema do que 
uma análise esquemática. 
2.10 - Lugar das raízes (root locus) 
Como visto anteriormente, basta variar o valor de  para alterar totalmente o 
posicionamento dos pólos (lugar das raízes do denominador no plano “s”) e, por 
conseqüência, o comportamento de um mesmo tipo de circuito. Por sua vez, o 
posicionamento dos zeros altera o tipo de circuito (tipo de filtro, por exemplo). Com base 
no par 17 da tabela de transformadas (filtro passa-faixa com numerador independente de 
), pode-se dizer que, se  tende a zero, então o sistema tende a oscilar com freqüência 
n, tornando-se instável. 
Tudo isto será demonstrado, a seguir, através da análise do lugar das raízes do 
polinômio do denominador para um circuito oscilador tipo ponte de Wien. 
O filtro passa-faixa é dado pelo circuito RC-RC ilustrado na figura 2.17. Fazendo R1 
= R2 =R e C1 = C2 =C, a função de transferência é dada por: 
H s
Z s
Z s Z s
( )
( )
( ) ( )
 
2
1 2
 onde 
Z1( )s R sC
  1 e Z s
R
sC
R
sC
s
s
RC
2
1
1 1
( ) 



 
Substituindo e simplificando obtém-se 
H s RC
s
s
RC
s
R C
( ) 
 
1
3 12
2 2
 
Da equação acima, já se pode concluir que 
   02 22 0 0
1 1 1
2
3
15    
R C RC RC RC
 f 2 0 , 
Para facilitar os cálculos, R e C serão normalizados (R=C=1), obtendo-se, portanto, 
H s
s
s s
( )   2 3 1 
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31
 
Figura 2.17 - Filtro passa-faixa RC-RC de ordem 2. 
cujos zeros estão em s = 0 e s =  e cujos pólos estão sobre o eixo real com valores s1 = - 
2,6180 e s2 = - 0,3820. Com a idéia básica de que, para se obter um oscilador, deve-se 
aplicar realimentação positiva a um amplificador, será acrescentado um amplificador com 
ganho variável “K” interligando a saída do filtro com sua entrada, como ilustra a figura 
2.18, servindo o filtro como elo de realimentação. 
 
Figura 2.18- Circuito amplificador realimentado através de um filtro 
passa-faixa. 
Da teoria básica da realimentação, sabe-se que as funções de transferência de um 
sistema com realimentação negativa ou positiva, como o ilustrado na figura 2.19, são 
dadas, respectivamente por 
G s
A s
s s1 1
( )
( )
( ) ( )
   A e G s
A s
s s2 1
( )
( )
( ) (
   A 
Obs: 1) O produto (s).A(s) é denominado ganho de malha (GM). 
 2) Se o ganho A(s) do sistema tender a infinito, então G(s) dependerá tão somente 
de (s). Isto ocorre, por exemplo, nos amplificadores, os quais utilizam realimentação 
negativa para fins de estabilidade. Este é o caso dos amplificadores ilustrados na figura 
Vi(s)
R1 C1
R2 C2 Vo(s)
_
+
R C
C
K
R
R
 1 2
1
R1
R2
R
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32
2.20. Como o amplificador operacional tem um ganho teórico infinito (ordem de 107 na 
prática), os ganhos de tensão Av dos circuitos só dependem de R1 e R2. 
Figura 2.19 - Sistema realimentado. 
Os ganhos respectivos do circuito inversor (entrada no terminal “-”) e do circuito não 
inversor, são dados por 
A R
Rv
  2
1
 e A R
Rv
 1 2
1
 
 
(a) (b) 
Figura 2.20 - Amplificador de tensão utilizando amplificador 
operacional. (a) Circuito inversor e (b) não inversor. 
Desta forma, com base em G2(s) (realimentação positiva), o sistema global da figura 
2.18 passará a ter uma função de transferência dada por 
G s
K
GM
K
KH s
K
K s
s s
( )
( )
       
1 1 1
3 12
 
Agora, para que o sistema oscile, será necessário que os pólos do sistema global 
estejam sobre o eixo imaginário. Para calculá-los, basta fazer 1-GM=0 e determinar o 
valor de K que fará com o polinômio predominante seja do tipo s2 + 02. Assim, vem 
+
_
+
 Y(s)X(s)
(s)
A(s)
R2
Vi
Vo_
+
R1
Vo
Vi
R2
_
+
R1
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33
1 1
3 1
02     GM K
s
s s
 
e, finalmente, 
s K s2 3 1 0   ( ) 
donde se observa que K deve ser igual a 3. Em termos práticos, tal amplificador pode ser 
obtido através de um amplificador operacional não inversor, cujo ganho de tensão é dado 
por 
K A
R
Rv
  1 2
1
 
Conclui-se, então, que, se R2 for igual ao dobro de R1, K atingirá o valor desejado, 
vindo o sistema a oscilar. Em termos práticos, isto é um pouco mais difícil devido aos 
valores e características dos componentes, que podem variar em função da temperatura, 
faixa de freqüências do amplificador operacional, ajuste dos resistores R2 e R1 e outros 
fatores. Antes de se analisar um circuito mais prático, será vista a variação do lugar das 
raízes em função de K, que é o objetivo principal deste item. 
Denominando de D(s) o polinômio determinado em função de K, serão calculadas as 
suas raízes, que são 
 
s
K K K K
12
2 23
2
3 4
2
3
2
6 5
2,
           K 
Na Tabela 2.3, estão listados os valores de s1 e s2 para K variando de -1 a 7 
enquanto, na figura 2.21, é mostrado o lugar destas raízes para K variando de 0,5 a 5,5. 
Voltando, agora, à análise do oscilador, pode-se dizer, com base no lugar das 
raízes, que, se K for menor que 3, o mesmo não oscilará. Isto ocorrerá para K igual a 3. 
Porém, fica a pergunta: O que ocorrerá, na prática, se K se tornar maior que 3? 
Ao fazer K maior que 3, os pólos passarão para o semi-plano direito, o que 
acarretará numa resposta ao impulso com forma senoidal multiplicada por uma 
exponencial crescente, vindo a amplitude tender a infinito. Porém, em termos práticos, a 
amplitude do sinal de saída do oscilador estará limitada pelos valores das fontes de 
alimentação do operacional. Isto acarretará na saturação do sinal. Pode-se ver também, 
através da análise do lugar das raízes, que se o ganho aumentar ainda mais, a freqüência 
de oscilação do sinal já saturado diminuirá, uma vez que o valor imaginário das raízes, 
diminui, podendo o circuito deixar de oscilar quando as raízes passarem a ser reais e 
positivas. 
Na realidade, o que ocorre em termos práticos, é que o ganho K correspondente ao 
circuito da figura 2.18, é ajustado, através de R1 e R2, de forma a ser um pouco maior do 
que 3. Isto acarreta em um pouco de distorção. Para contornar este problema, coloca-se 
um resistor com coeficiente positivo de temperatura (PTC ou uma pequena lâmpada 
incandescente de valor compatível) em série com R1, passando-se a ter um R1 
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34
equivalente, como mostra a figura 2.22(a) ou um resistor com coeficiente negativo de 
temperatura (NTC) em série com R2. 
Tabela 2.3 - Lugar das raízes para -1  K  7 
 
K s K K1
3
2
2 6 5
2
     K s K K2
3
2
2 6 5
2
     K 
 Re(s1) Im(s1) Re(s2) Im(s2) 
-1,0 -0,2679 0,0000 -3,7321 0,0000 
-0,5 -0,3139 0,0000 -3,1861 0,0000 
0,0 -0,3820 0,0000 -2,6180 0,0000 
0,5 -0,5000 0,0000 -2,0000 0,0000 
1,0 -1,0000 0,0000 -1,0000 0,0000 
1,5 -0,7500 0,6614 -0,7500 -0,6614 
2,0 -0,5000 0,8660 -0,5000 -0,8660 
2,5 -0,2500 0,9682 -0,2500 -0,9682 
3,0 0,0000 1,0000 0,0000 -1,0000 
3,5 0,2500 0,9682 0,2500 -0, 9682 
4,0 0,5000 0,8660 0,5000 -0,8660 
4,5 0,7500 0,6614 0,7500 -0,6614 
5,0 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 
5,5 2,0000 0,0000 0,5000 0,0000 
6,0 2,6180 0,0000 0,3820 0,0000 
6,5 3,1861 0,0000 0,3139 0,0000 
7,0 3,7321 0,0000 0,2679 0,0000 
 
Figura 2.21 - Lugar das raízes do polinômio D s s K s( ) ( )   2 3 1 
para 0,5  K  5,5. 
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35
Associações de diodos com resistores ou diodos zener são também utilizados 
principalmente para controlar o valor equivalente do resistor R2 equivalente. Tal tipo de 
circuito está ilustrado na figura 2.22(b). 
No caso do PTC, por exemplo, quando a amplitude do sinal de saída se torna 
excessiva, uma corrente maior circula por R2 e R1e (R1 equivalente), vindo a esquentar o 
PTC, o que faz aumentar a sua resistência e, por conseqüência, o valor da resistência 
total de R1e. Isto causará uma diminuição no valor de K, voltando os pólos a ficar bem 
próximos do eixo imaginário. Desta forma, o ganho K é controlado automaticamente. No 
caso dos diodos, estes conduzem quando a tensão sobre os mesmos ultrapassa a tensão 
de ruptura inversa Vz de um dos diodos somada ao valor da tensão de ruptura direta do 
outro, o que diminui a resistência R2 equivalente e, portanto, o ganho. 
 
(a) (b) 
Figura 2.22 - Oscilador tipo ponte de Wien com (a) ganho controlado 
por uma lâmpada (PTC) e (b) ganho controlado por diodos zener. 
Pode-se, através deste exemplo, verificar a importância da localização dos pólos de 
um sistema, ou seja, do lugar das raízes do polinômio do denominador de sua função de 
transferência.Pode-se ver também a importância de ambos os tipos de realimentação em 
um só sistema. 
_
+
R C
C
VZ
R1
R2
R
_
+
R C
C
L1
R1
R2
R
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36
3 - TRANSFORMADA DE FOURIER 
3.1 - Introdução 
Os sinais podem ser divididos em categorias diferentes, conforme mostra a tabela 
3.1 e, dependendo do tipo de sinal, pode-se utilizar a série ou a transformada de Fourier 
para fins de análise espectral. 
Tabela 3.1 - Tipos de Sinais 
Contínuos e discretos 
Determinísticos Tratados analiticamente 
Periódicos (ex: senóide, trem de pulsos, ...) 
Não periódicos (ex: degrau unitário, impulso, ...) 
Periódicos Série de Fourier (trigonométrica ou exponencial) 
Não periódicos Transformada de Fourier 
Aleatórios Tratados probabilisticamente 
3.2 - Série de Fourier 
Utilizada na análise de sinais periódicos, a Série de Fourier é subdividida, com base 
na teoria dos números complexos, em trigonométrica ou exponencial. A primeira fornece 
um espectro unilateral (só freqüências positivas) enquanto a segunda fornece um 
espectro bilateral (freqüências positivas e negativas). 
3.2.1 - Série de Fourier trigonométrica (espectro unilateral) 
Um sinal periódico x(t) pode ser definido por uma soma de funções senoidais e co-
senoidais, como mostrado abaixo. 
    x t a an n t bn n t f Tn( ) cos sen  

 

0 2 20 0
1
0 0     
a
T
x t
T
0
1
0
  ( ) dt 
   an T x t n t n T x t n t
T T
  2 20
0
0
0
( )cos ( )  dt b sin dt 
Para sinais pares, i.e., quando x(t)=x(-t), a série pode ser reduzida para 
 x t a an n t
n
( ) cos 


0 0
1
 
e quando o sinal é ímpar, com x(t) = x(-t), a série pode ser reduzida para 
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37
 x t bn sin n t
n
( ) 


 0
1
 
Obs: Pode ocorrer que o sinal seja uma função ímpar somada a um nível médio. 
3.2.2 - Série de Fourier exponencial (espectro bilateral) 
No caso da série exponencial, que apresenta como grande vantagem o cálculo de 
apenas uma integral, as considerações gerais são as seguintes: 
x t cn
jn t
n
( ) 

 e 0 
 cn T x t jn t dt
T
T
 

1 0
2
2
 e 
/
/
 
   cn 1
2
 an j bn j b 
2 2 
      
      
c n an n cn c n
cn c n cn c n an bn
1
2
2
2 2
cn
 
Como visto anteriormente, a função exponencial pode ser decomposta em 
“cos + j sen”. Para funções pares, a integral pode ser feita exclusivamente em função do 
co-seno enquanto que, para funções ímpares, pode ser feita em função do seno. 
Antes de demonstrar o cálculo de algumas séries, vale definir a função “sinc” 
ilustrada na figura 3.1, que é dada por 
sinc x( ) = sen( x)
 x
 
1 para x = 0 
0 para valores inteiros 



 
 
Figura 3.1 - Função sinc(t) 
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38
Seguem alguns exemplos: 
1) Obter a série trigonométrica da onda quadrada ilustrada na figura 3.2. 
 
Figura 3.2 - Onda quadrada de simetria ímpar e suas 7 primeiras 
componentes. 
Considerações iniciais : a) a função é ímpar e o nível médio é nulo, i.e., a0 = 0, 
portanto basta calcular bn o que resulta em: 
   b
T
A nf t A nf tn  






2
2 20 0
1
2
0
1
sen sen  dt dt onde A = 1 e f0 = 1/2 
   
b n t A n t
n t
n
dt
n t
n
dtn  

 









  





 
2
2
2 1
2
2 1
21
2
0
1
1
2
0
1
sen sen
sen sen   

  dt dt n n 
    b n n nn     1 2 2 1 2 1    cos cos(n ) cos(n ) 
 b
n
nn  2 1 cos( ) 
b
n
para n
para n
n =
, 3, 5, ...
, 4, 6, ...
 
4 1
0 2
 






 
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 
1,27 0,00 0,42 0,00 0,25 0,00 0,18 
3.3 - Fenômeno de Gibbs 
Sempre que ocorre uma variação um tanto abrupta na forma de onda do sinal 
original, aparece uma certa oscilação no sinal obtido através da série. Este é o fenômeno 
de Gibbs. No caso da onda quadrada, por exemplo, à medida que se aumenta o número 
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39
de componentes, melhora o aspecto da região localizada entre os pontos de transição, 
como mostra a figura 3.3 (“c” a “f”), porém, mesmo que este número tenda a infinito, o 
fenômeno de Gibbs não desaparece nas regiões próximas aos pontos de transição. 
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
Figura 3.3- Fenômeno de. (a) Componentes senoidais para n = 1, 
3, 5 e 7, (b) espectro, (c) harmônica principal, (d) soma das 
harmônicas 1 e 3,. (e) soma das harmônicas 1, 3 e 5 e (f) soma 
das harmônicas 1, 3, 5 e 7. 
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40
2) Obter o espectro bilateral do trem de pulsos retangulares ilustrado na figura 3.4. 
 
Figura 3.4 - Trem de pulsos (T=1 e  =0,25) 
Considerações iniciais : a) a função é par e, portanto, pode-se calcular cn em função 
de um co-seno, o que resulta em: 
cn = A f sinc(n fo o ) equação geral 
cn = 0,5 sinc(n 0,25) equação para A = 2, T = 1 e  = 0,25 
função esta ilustrada na figura 3.5 
 
Figura 3.5 - Componentes espectrais (cn) do trem de pulsos para 
|n|15. 
3) Neste exemplo, é demonstrada a aplicação da série de Fourier a um circuito RL, o 
qual causará variações de amplitude e fase nas componentes, filtrando assim o sinal de 
entrada. Para isto, considere-se um circuito RL tipo série, onde R=1 e L=0.5H, sobre o 
qual é aplicada um sinal v(t) tipo triangular, que é definido por uma série infinita. 
Determinar-se-á i(t) e ambas as formas de onda, considerando-se apenas as 7 primeiras 
componentes (“n” variando de 1 a 7). Seja, então, 
v t t t t t t( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( )     

8 1
3
3
1
5
5
1
7
7
1
9
92 2 2 2 2  
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v t t t t t( ) , cos( ) cos( ) cos( ) cos( )   
0 811
1
3
3 1
5
5 1
7
72 2 2 
A partir da impedância vista pelo gerador, em relação a cada uma das componentes 
de v(t), pode-se determinar cada uma das componentes de i(t), somando-as a seguir. 
Z j j ( ) ,   1 0 5 onde = 1 
i t
Z j j 
o
1
0811
1
0811
1 05
0725 266( ) ,
( )
,
,
, ,      
i t
Z j j 
o
2
0090
3
0090
1 15
0050 563( ) ,
( )
,
,
, ,      
i t
Z j j 
o
3
0032
5
0032
1 25
0012 682( ) ,
( )
,
,
, ,      
i t
Z j j 
o
4
0016
7
0032
1 35
0004 741( ) ,
( )
,
,
, ,      
i t t o t o t o t o( ) , cos( , ) , cos( , ) , cos( , ) , cos( , )       0725 266 005 3 563 0 012 3 68 2 0 004 7 741 
Estas funções estão ilustradas na figura 3.6, donde se pode verificar que: 
(a) (b) 
Figura 3.6 - Formas de ondas. (a) Componentes senoidais de v(t) 
e i(t). e (b) formas finais de vi(t) e i(t). 
a) a corrente i(t) está atrasada em relação à tensão v(t), confirmando que o indutor se 
opõe a variações de corrente e 
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b) a corrente i(t) tem uma forma de onda mais suave, o que implica que, se a tensão de 
saída for obtidasobre o resistor, obter-se á um sinal com a mesma forma de onda. Neste 
caso o sinal de entrada terá passado por um filtro passa-baixas, enquanto que, se for 
obtida sobre o indutor, terá passado por um filtro passa-altas. 
3.4 - Teorema de Parseval 
Um sinal periódico tem uma determinada potência enquanto que um sinal não 
periódico tem uma certa energia. No caso de um sinal contínuo v(t)=V ser aplicado a uma 
resistência elétrica R, pode-se dizer que a potência dissipada sobre a resistência é dada 
por: 
P V 
V
R
V
R
   V I
2
 
Por sua vez, a potência instantânea de um sinal é dada por: 
p t v t v t
v t
R
v t
R
( ) ( ) ( )
( ) ( )   i(t) 
2
 
Para um sinal puramente senoidal do tipo v t A sin fot( ) ( ) 2  , “A” é a tensão de 
pico e A 2 é a tensão eficaz. A potência eficaz é igual àquela que seria produzida por 
um sinal contínuo de igual valor. Por exemplo, um sinal senoidal de 110 Vef, que tem uma 
tensão Vpico = 110 x 1,4142 Vp, produzirá uma potência eficaz 
Pef R 1102 / 
a qual equivale à potência produzida por um sinal contínuo de 110 V. A potência de pico 
será dada por: 
Ppico R R  ( . , ) / /110 14142 2 2 1102 2 . Pef 
Considerando-se, agora,. um sinal periódico, representado por uma série 
exponencial, que é a soma de diversas componentes senoidais, e que R=1 (valor 
normalizado), pode-se dizer que a potência média do sinal é dada por: 
P
T
x t t
T
cn
T
j f t
n
   

  1 1 2 0 x dt x(t) e dt
0 0
T
( ) ( )  
P c
T
x t cn
j f t
n
n
n
 




 

 

  e dt c
0
T
n
1 2 0( )  
P
T
x t
n
  

1 dt c 2
0
T
n
2( ) 
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43
3.5 - Transformada de Fourier 
Da mesma forma que a Série de Fourier é utilizada na análise de sinais periódicos, a 
Transformada de Fourier é utilizada na análise de sinais não periódicos. Para que se 
possa utilizá-la, o sinal x(t) deve ter um número finito de descontinuidades entre 
-  e +  e satisfazer a condição 
x t dt( )  


 . 
Tais condições são denominadas condições de Dirichlet. A partir delas, chega-se ao 
par integrais de Fourier, conhecido como par de transformadas, que são dadas por: 
X f x t j ft( ) ( ) 


 e dt2 transformada 
x t X f j ft( ) ( )


 e df2 transformada inversa 
A transformada de Fourier passa o sinal do domínio do tempo para o domínio da 
freqüência enquanto que a transformada inversa, ou anti-transformada, passa o sinal do 
domínio da freqüência para o domínio do tempo. 
Os símbolos utilizados para as integrais são: 
X(f) = F [x(t)] e x(t) = F -1 [X(f)]. 
Exemplos: Obter as respectivas transformadas de Fourier das funções retângulo, triângulo 
e impulso especificadas a seguir. 
1) A função retângulo é definida por 
x t A t( )  

 
 

  
 

A para t 
0 para 
-
2 2
2
 
Portanto, 
X f x t j ft A e j ft A( ) ( ) 


   


 e dt dt sin( f )
f
2 2
2
2     

 
X f A sinc f( ) ( )   
Esta função está ilustrada na figura 3.7 para A = 1 e dois valores distintos de . 
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(a) 
 
(b) 
Figura 3.7 - Transformada de Fourier da função retângulo para (a) 
A = 1,  = 1 e (b) A = 1,  = 0,5. 
2) A função triângulo, por sua vez, é definida por 
x t A t A 
t
para 
( )    


 




   1 para t0 t 
X f A t e j ft A t e j ft( )  




 


 A dt A dt   
2 20
0
 
Estas integrais devem ser resolvidas por partes e isso as torna mais difíceis. Este 
tipo de problema pode ser solucionado fazendo-se uso das propriedades, que serão 
vistas no ítem 3.7. O resultado final será dado por 
X f A f( ) ( )   sinc2 
Esta função está ilustrada na figura 3.8 para A = 1 e dois valores distintos de . 
Comparando-a com a transformada da função retângulo, conclui-se que ela, além de ser 
positiva, amortece rapidamente na altas freqüências. Isto se deve ao fato da função 
triângulo não ter variações tão abruptas quanto a função retângulo. 
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45
(a) 
(b) 
Figura 3.8 - Transformada de Fourier da função triângulo para 
(a) A = 1,  = 1 e (b) A = 1,  = 0,5. 
3) A função impulso ou delta de Dirac, já vista no capítulo 2, pode ser definida por 
x t
A
t
A A
t
A
( ) lim lim 


    (t) = A A 0 01 1 
X f j f( ) ( ) ( ) 





   0 2 0 0 1 e dt dt 
Comparando os três exemplos, pode-se tirar mais uma conclusão importante, que é: 
no que diz respeito à variação do espectro em função da largura dos pulsos, quão mais 
estreito é o pulso mais “espalhado” se torna o espectro. Isto é reforçado no caso da 
função impulso, cujo espectro é unitário para todas as freqüências. 
A partir do par original de integrais, dois limites podem ser levantados. São eles 
lim ( ) ( ) ( ) ( )
t
x t x X f j f X f   




 0 0 2 0 e df df 
lim ( ) ( ) ( ) ( )
f
X f X x t j t x t   




 0 0 2 0 e dt dt 
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46
que estabelecem que a área da função X(f) é igual ao valor da função x(t) na origem e 
que a área da função x(t) é igual ao valor da função X(f) na origem, não havendo, assim, 
necessidade de se calcular tais integrais caso se tenha x(0) e X(0). 
3.6 - Teorema de Energia de Rayleigh 
No caso do sinal ser aperiódico, a variável equivalente à potência é a energia e a 
equação equivalente passa a ser: 
E x t dt X f df





 ( ) ( )2 2 
onde x t( ) 2 é a energia do sinal dada em joules e X f( )2é a densidade espectral de 
energia expressa em joules por hertz. 
3.7 - Propriedades da transformada de Fourier e pares de transformadas 
Como no caso da TL, quando as integrais não são de fácil resolução, faz-se uso das 
propriedades e de pares de transformadas já conhecidos (ex: ret  sinc), que estão 
listadas na tabela 3.2 e 2.3 respectivamente. 
3.8 - Convolução 
Considere-se um sistema linear e invariante no tempo como o ilustrado na figura 3.9, que 
tem uma resposta ao impulso dada por h(t) e ao qual esteja sendo aplicado um sinal x(t). 
O sinal de saída y(t) será dado pela convolução de x(t) com h(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 - Sistema linear e invariante no tempo. 
A integral de convolução é definida por 
y t t x t( ) ( ) ( ) ( )   


 x h(t) h d   ou 
y t t h t( ) ( ) ( ) ( )   


 h x(t) x d   
onde a variável  é apenas uma variável auxiliar (equivalente a t’, por exemplo). Para 
melhor interpretação, tomando-se a primeira integral vista acima, e olhando-se a 
seqüência de gráficos da figura 3.10 atentamente, pode-se dizer que a convolução se
h(t) 
 
H(f) 
 
H(s) 
x(t) 
X(f) 
y(t) = x(t)  h(t) 
Y(f) = X(f) . H(f) 
X(s) Y(s) = X(s) . H(s) 
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baseia em quatro operações que devem ser efetuadas com os sinais x(t) e h(t), as quais 
são: 
1) inverter  mantendo x() fixa, tomar h() e rebatê-la sobre o eixo das ordenadas 
(espelho), transformando-a em h(-) { h(-) é a imagem de h()}, 
2) deslocar  deslocar h(-) de -  a +  { h(t-)}, 
3) multiplicar  obtera função que representa o produto entre x() e h(t-) para cada 
novo valor de “t” e 
4) integrar calcular a área da função determinada no item (3), integrando-a de - 
 a + . 
Tabela 3.2 - Propriedades da Transformada de Fourier 
Nome Função no Tempo Transformada 
Linearidade a x t b y t. ( ) . ( ) a X f b Y f. ( ) . ( ) 
Deslocamento no tempo x t t( ) 0 X f e j ft( ).  2 0 
Mudança de escala x a t( . ) 1
a
X f
a



 
Dualidade X t( )  x f 
Deslocamento na freqüên-
cia 
x t e j f t( ).  2 0 X f f( ) 0 
Modulação x t f t( ).cos( )2 0  12 0 0X f f X f f( ) ( )   
Diferenciação (no tempo) dx t
dt
( )
 
j f X f2 . ( ) 
Integração 
x d
t
( ). 

 12 12 0j f X f X f ( ) ( ) ( ) 
Multiplicação por tn (dife-
renciação na freqüência) 
t x tn. ( )   j f d X f
df
n
n
n2
( )
 
Simetria  
 
Re ( )
Im ( )
al x t
ag x t
 
X f X f
X f X f
( ) ( )
( ) ( )
 
  

 
Convolução 
x y t d( ). ( )  


 X f Y f( ). ( ) 
Multiplicação x t y t( ). ( ) 
X Y f d( ). ( )  


 
Teorema de Parseval 
x t y t( ). ( )


 dt X f Y f( ). ( )


 df 
 
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Tabela 3.3 - Pares de transformadas 
Par x(t) X(f) Comentários 
1 
A t



  A   sinc f 
Cálculo direto 
2  A 2W sinc 2Wt A f
W
 
2



 
Dualidade com o par 1 
3 
A
t   A   sinc f2 Convolução com o par 1 
4 e u tat ( ) a  0 1
2a j f  
Cálculo direto 
5 t e u tat ( ) a  0 
 
1
2 2a j f 
 
Diferenciação do par4 em 
relação a “a” 
6 e ta  t u( ) a  0  
2
22 2
a
a f 
 
Cálculo direto 
7 ( )t 1 Cálculo direto com t=0 
8 1 ( )f Dualidade com o par 7 
9 ( )t t 0 e j ft 2 0 Deslocamento e par 7 
10 ej f t2 0 ( )f f 0 Dualidade com o par 9 
11  cos 2 0f t     12 0 0 f f f f   Identidade de Euler e par 10 
12  sen 2 0f t     12 0 0j f f f f    Identidade de Euler e par 10 
13 u t( ) 1
2
1
2j f
f  ( ) 
Integração e par 7 
14 sgn( )t 1
j f 
Pares 8 e 13 e super-
posição 
15 1
t 
j fsgn( ) Dualidade com o par 14 
16 ( ) ( )x t x
t
d 





1   
j fsgn( ) X(f) Convolução e par 15 
17 ( )t nTs
n


 f f nfs s
n
( )

 Teorema da amostragem 
onde fs  1Ts
 
Como a integral de convolução é de difícil resolução, é comum determinar-se Y(s) 
ou Y(f) e, a partir daí, determinar-se a transformada inversa y(t). No caso da transformada 
de Fourier, tem-se a vantagem de se aplicar a transformada rápida, que é um algoritmo 
especial para se determinar X(f), H(f) e Y(f) em tempo mínimo, quando comparado a 
outros.
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Figura 3.10 - Convolução de duas funções. 
Segue a demonstração da transformada de Fourier da convolução. 
Y f( )  F  x t t( ) ( ) h 
Y f x t j ft( ) ( ) ( ) 







 h d e dt   2 
Y f x h t j ft( ) ( ) ( ) 









     e dt d2 
 Y f x j f( ) ( ) 


    H(f) e d2 
Y f x H f fj f( ) ( ) ( ) ( ) 


H(f) e d X  2 
Da mesma forma, 
x()
h() 
h(-) 
h(t-)
h(t-)
y(t) 
 
 
 
 
 
t 
1 
1 
1 
t=1-1 
t=2
-2 
y(1)=0,75 
y(2)=1 
y(0)=0 
t=2
t=2 
1 
t=1 
0,75 
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Y s( )  L x t Y s s( ) ( ) ( ) h(t) H  
Assim, tanto a TL quanto a TF da convolução são dadas pelo produto das 
transformadas individuais das variáveis x(t) e h(t). 
No caso de haver uma convolução das tranformadas, a transformada inversa é dada 
pelo produto das respectivas transformadas inversas individuais, i.e., 
y t( )  L -1 X s s x t( ) ( ) ( ) H h(t)  
y t( )  F-1 X f f x t( ) ( ) ( ) H h(t)  
3.9 - Aplicação das propriedades 
Para se demonstrar a utilidade das propriedades, seguem alguns exemplos. 
1) Determinar X(f) utilizando as propriedades da linearidade e da modulação (convolução 
dos espectros). 
x t t t( ) ( )  

 5 10 cos(10 t) 
x t t t( ) ( )  

 5 10 5 cos(2 t) 
      X f f f f sinc f sinc f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          1 50 10 5 5 1 25 10 5 10 5 sinc 12   
2) Considerando-se que seja aplicado um impulso à entrada do sistema linear e invariante 
no tempo da figura 3.9, determinar a respectiva resposta ao impulso. 
Sabendo-se que para x(t) = (t), X(f) = 1 e que Y(f) = X(f) H(f), pode-se dizer que. Y(f) = 
H(f), o que implica que y(t) = h(t). Desta forma, o sinal h(t), obtido na saída do sistema, é o 
que se denomina “resposta ao impulso”. 
3) Determinar Y(f) para 
y t( ) ( ) 2 2 sinc t cos(2 3t) 
Produto no tempo  convolução em freqüência 
x t A( ) ( ) 2 2 sinc t sinc(t )   =2 e A=1 
Através do teorema da dualidade, chega-se a 
X f A f A f A f( )  

 



 



   2 
Usando a tabela de transformadas no caso de h(t), vem 
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h(t) cos(2 3t)  
   H(f)    1
2
3
1
2
3 f f 
Como a convolução de uma função com um impulso centrado em determinado ponto 
apenas desloca a mesma para o ponto onde o impulso estiver posicionado, i.e., 
x t t t x t t( ) ( ) ( )     0 0 ou 
X f f f X f f( ) ( ) ( )     0 0 
obtém-se, finalmente, 
Y(f)  

 



 12 32 12 32f f 
como já visto através da propriedade da modulação no exemplo 1 (ver sinais AM-DSB no 
ítem 3.10). 
4) x t A t( )  

  onde A = 1 e  = 0,5 
Há certo grau de dificuldade na determinação da transformada de Fourier (TF) da 
função triângulo. Derivando-a em relação ao tempo, chega-se a duas funções retângulo. 
Obtendo-se a TF desta nova função e aplicando-se a propriedade da integral (integral da 
derivada de uma função é a própria função), chega-se à TF do triângulo, como 
demonstrado abaixo. 
y t dx t
dt
A t A t( ) ( )  




 





    
 
2 2 
Aplicando a TF do retângulo e a propriedade do deslocamento no tempo, obtém-se 
   Y f A Af j f f j f( )             sinc e sinc e 
 Y f A sinc f e j f j f( )  



 e      
Pela identidade de Euler, sen( )     
1
2j
ej e j 
Para completar o seno, multiplica-se e divide-se por 2j. 
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 Y f sinc f e j f j fA( )  



 e 2j
2j
     
   Y f j A sinc f f( ) sen 2    
Chega-se, assim, à TF da derivada da função triângulo. Utilizando-se, agora, a 
propriedade da integral, vem: 
X f Y f
j f
( ) ( ) 



 (f)
2


1
2
 onde Y(f).(f) / 2 = Y(0) / 2 = 0 
   X f Y fj f j Aj f f f( ) ( ) sen 2 22     sinc 
   X f Af f f( ) sen     sinc 
   X f A f f
f
( )
sen    
 
 sinc 
 X f A f( )    sinc 2 
como visto anteriormente. 
5) Transformada das funções co-seno e seno 
Sabendo-se que (a) a TF da função (