aula 7

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GERÊNCIA DE MANUTENÇÃO
APLICAÇÕES PRÁTICAS E 
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO 
WEIBULL NA ENGENHARIA DA 
CONFIABILIDADE
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Olá!
Nesta aula, vamos conceituar uma distribuição usada na análise de dados de vida, que é a distribuição Weibull.
Vamos demonstrar ainda exemplos de aplicações na Engenharia da Confiabilidade.
Bons estudos!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• Entender o conceito da distribuição Weibull;
• Identificar os principais parâmetros e as equações para aplicações práticas na Engenharia de 
Confiabilidade, através desta distribuição.
A foi proposta originalmente por em 1954, em estudos relacionadosdistribuição de Weibull Waloddi Weibull
ao tempo de falha devido à fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de
produtos industriais.
Saiba mais
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/613-distribuicao-weibull
Waloddi Weibull
foi um engenheiro e matemático sueco reconhecido pelo seu trabalho na área da fadiga de materiais e na
Estatística.
A utilidade desta distribuição possibilita:
• Representar as falhas típicas de partida (mortalidade infantil), falhas aleatórias e falhas devido ao 
desgaste;
• Obter parâmetros significativos da configuração das falhas;
• Representatividade em formas gráficas simples.
Destacamos a seguir as principais expressões matemáticas:
1 - Probabilidade de falhas de um item, em um dado intervalo de tempo "t" de operação.
F(t) ==> Função distribuição cumulativa.
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2 - Probabilidade pela qual o equipamento não irá falhar para um dado período de tempo "t" de operação
(confiabilidade)
3 - Tempo médio entre falhas (MTTF).
4 - Desvio padrão.
"Γ"=> Símbolo da função Gama
Significado dos parâmetros da Distribuição de Weibull:
Essa distribuição é utilizada na análise de confiabilidade e de dados de vida devido a sua versatilidade.
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Dependendo dos valores dos parâmetros, a distribuição Weibull pode ser usada para modelar uma variedade de
comportamentos que envolva vida.
Um aspecto importante da distribuição Weibull é como os valores do parâmetro de forma (β) e de escala (η)
afetam a características da distribuição, como a forma da curva da função da probabilidade, da confiabilidade e
da taxa de falhas.
1 Observações relativas ao fator de forma "β"
A escolha apropriada de "t0", "β" e "η" na Distribuição de Weibull podem ser usadas para representar uma larga
faixa de distribuições, incluindo tanto distribuições randômicas (exponencial negativa) quanto distribuições
aproximadamente normais.
Embora a experiência tenha mostrado que a Distribuição de Weibull possa ser usada para representar a grande
maioria de modelos de falha, é essencial notar que é uma função semiempírica, e pode não ser capaz de
representar algumas distribuições particulares encontradas na prática.
Se "β = 1" (taxa de falha constante), pode ser uma indicação que modos de falhas múltiplos estão presentes ou
que os dados coletados dos tempos para falhar são suspeitos.
Esse é frequentemente o caso dos sistemas os quais diferentes componentes têm diferentes idades, e o tempo
individual de operação dos componentes não estão disponíveis.
Uma taxa de falhas constante pode também indicar que as falhas são provocadas por agentes externos, tais
como: uso inadequado do equipamento ou técnicas inadequadas de manutenção.
O modo de falhas por desgaste é caracterizado por "β> 1", mas podem ocorrer situações nas quais as falhas por
desgaste ocorram depois de um tempo finito livre de falhas, e um valor de "β = 1" é obtido.
Isso pode ocorrer quando uma amostragem contém uma proporção de itens imperfeitos, acarretando falhas
antes de um tempo finito livre de falhas.
Os parâmetros da Distribuição de Weibull dos modos de falhas por desgaste podem ser deduzidos se forem
eliminados os itens imperfeitos e analisados os seus dados separadamente.
O parâmetro de forma β da distribuição Weibull é conhecido também como a inclinação da distribuição Weibull.
Isto porque o valor de β é igual à inclinação da linha em um gráfico de probabilidade.
Os diferentes valores do parâmetro de forma podem indicar efeitos no comportamento da distribuição. De fato,
alguns valores do parâmetro de forma farão com que as equações da distribuição reduzam-se a outras
distribuições.
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Por exemplo: quando β=1, a função da probabilidade. Weibull de três parâmetros se reduzirá a distribuição
exponencial de dois-parâmetros. O parâmetro β é um número puro, isto é, adimensional.
2 Com relação ao fator de forma "β", temos que:
A figura abaixo demonstra o efeito dos diferentes valores do parâmetro de forma, β. Pode-se ver que a forma da
função da probabilidade pode tomar uma variedade de formas baseado no valor de β.
Figura 1 - Curvas com diferentes valores do parâmetro de forma β
Fonte: Portal Energia (https://www.portal-energia.com/downloads/aulas/Weibull_Topicos.pdf)
Observando o gráfico ilustrado na figura anterior, pode-se compreender facilmente por que o parâmetro de
forma da Weibull é conhecido também como a inclinação.
O gráfico a seguir mostra como a inclinação do gráfico de probabilidade Weibull muda com o β. Note que todos
os modelos representados pelas três linhas têm o mesmo valor de η.
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Figura 2 - O efeito de β na distribuição
O efeito de β na distribuição Weibull pode ser observado no gráfico. Nas distribuições Weibull com o β<1, a taxa
de falha decresce com tempo, conhecida também como falha infantil ou prematura.
Quando temos β próximo ou igual a 1, podemos considerar que temos uma taxa de falha razoavelmente
constante, indicando a vida útil ou de falhas aleatórias.
Nas distribuições com o β>1, temos uma taxa de falhas que aumenta com o tempo, conhecidas como falhas de
desgaste.
Relembrando a curva da banheira, estes betas abrangem as três fases:
• O β<1, fase prematura;
• O β=1 constante;
• O β>1 em processo de envelhecimento.
Vamos relembrar e exemplificar na figura ao lado.
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3 Parâmetro de Escala η
- Se η é aumentado, enquanto β e γ são mantidos constantes, a distribuição, ou seja, a "curva" começa a se
estender, esticar para direita e sua altura diminui, ao manter sua forma e posição.
- Se η é diminuído, enquanto β e γ são mantidos constantes, a distribuição começa se estreitar para dentro, para
a esquerda (isto é, para sua origem ou para 0 ou γ), e aumenta sua altura.
- η tem a mesma unidade que T, tal como horas, milhas, ciclos, atuações etc.
A figura abaixo demonstra o comportamento de η descrito anteriormente:
Figura 3 - Ilustração do comportamento do parâmetro η
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4 Cálculos de confiabilidade utilizando a distribuição 
Weibull
Para cálculos usados em confiabilidade, podemos destacar a função de confiabilidade, a taxa de falhas, a mediana
e o número médio de falhas. As respectivas equações para estes cálculos são apresentadas a seguir.
A função de confiabilidade da distribuição Weibull é dada por:
A função taxa de falha da distribuição Weibull por:
O tempo média de vida, ou MTTF, é dado por:
Onde Γ(*) é a função Gamma, que é definida por:
Por fim, a equação para vida mediana, ou vida B50, da distribuição Weibull é dado por:
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O que vem na próxima aula
• Aplicações práticas e características da distribuição Weibull na Engenharia da Confiabilidade.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Conheceu a importância da distribuição Weibull;
• Identificou os parâmetros e as equações para aplicações práticas na Engenharia de Confiabilidade 
através desta distribuição.
Referências
COLOSIMO, E. A.; GIOLO, S. R. Análise de sobrevivência aplicada. São Paulo: Edgard Blucher, 2006.
GAITHER, N.; FRAZIER G. Administração da produção e operações. 8. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2002.
LAFRAIA, J. R. B. Manual de confiabilidade, mantenabilidade e disponibilidade. Rio de Janeiro: Qualitymark,
2001.
Saiba mais
Análise de Weibull e Engenharia de Confiabilidade. Disponível em:
https://pcmusina.wordpress.com/2011/07/25/analise-de-weibull-e-engenharia-da-confiabilidade/
Confiabilidade e disponibilidade de máquinas: um exemplo prático. Disponível em:
https://www.citisystems.com.br/confiabilidade-disponibilidade-maquinas/
A importância da Engenharia da Confiabilidade e os conceitos básicos de distribuição de
Weibull. Disponível em:
http://www.revistasapere.inf.br/site2/
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	Olá!
	
	1 Observações relativas ao fator de forma "β"
	2 Com relação ao fator de forma "β", temos que:
	3 Parâmetro de Escala η
	4 Cálculos de confiabilidade utilizando a distribuição Weibull
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO
	Referências