[Resolvido] Exercício - Tubo sonoro e velocidade do som

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Renato da Silva Viana
Questão
A velocidade do som no ar é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta, e seu valor
à temperatura de 20 ◦C é 343m/s. Um tubo de 0,60m está fechado numa das extremidades
e aberto na outra. (a) Determine a frequência fundamental e a do harmônico seguinte se a
temperatura do ar é 27 ◦C. (b) Nesta mesma temperatura, estime a variação percentual das
frequências fundamental e do harmônico seguinte para 1 ◦C de variação da temperatura.
Resolução
Resolução 1. a)
Se a velocidade v do som no ar é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta T e k
é uma constante de proporcionalidade, então:
v ∝
√
T ⇒ v = k
√
T
Para T = T0 tem-se v = v0, ou seja:
v0 = k
√
T0 ⇒ k =
v0√
T0
Então, substituindo:
v = k
√
T
v =
v0√
T0
√
T
A frequência do harmônico N de um tubo sonoro fechado de comprimento L é calculada por
meio da equação:
f =
Nv
4L
Utilizando a velocidade v do ar à temperatura T :
f =
N
4L
v0√
T0
√
T
Tendo em vista que para T0 = 20 ◦C, o mesmo que T0 = 293K, a velocidade do som é v0 =
343m/s, a frequência fundamental N = 1 de vibração do som no tubo sonoro de comprimento
0,60m à uma temperatura de T0 = 27 ◦C, equivalente a T = 300K, é:
f =
1
4(0,6)
343√
293
√
300Hz ≈ 144, 61Hz
1
Renato da Silva Viana
Resolução 1. b)
A variação de temperatura na escala Celsius é numericamente igual à variação na escala Kelvin,
isto é, 1 ◦C de variação de temperatura é igual a 1K de variação. Dada a equivalência, a
variação percentual da frequência fundamental N = 1 do som correspondente ao aumento de
1K na temperatura, a partir de T = 300K, é:
fT+1 − fT
fT
=
(
N
4L
v0√
T0
√
T + 1K
)
−
(
N
4L
v0√
T0
√
T
)
(
N
4L
v0√
T0
√
T
)
=
√
T + 1K√
T
− 1
=
√
1 +
1K
T
− 1
=
√
1 +
1
300
− 1
≈ 0,001665 = 0,1665%
A variação percentual da frequência fundamental N = 1 do som correspondente à diminuição
de 1K na temperatura, a partir de T = 300K, é:
fT − fT−1
fT
=
(
N
4L
v0√
T0
√
T
)
−
(
N
4L
v0√
T0
√
T − 1K
)
(
N
4L
v0√
T0
√
T
)
= 1−
√
T − 1K√
T
= 1−
√
1− 1K
T
= 1−
√
1− 1
300
≈ 0,001668 = 0,1668%
Pelo desenvolvimento, nota-se que a variação percentual da frequência para a variação de 1 ◦C
na temperatura independe da ordem do harmônico, mas somente da temperatura inicial T .
Portanto, para o segundo harmônico, a variação percentual da frequência para o aumento de
1 ◦C é de aproximadamente 0,1665%, enquanto que a variação para a diminuição de 1 ◦C é de
aproximadamente 0,1668%.
Bons estudos!
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