Polinômios - Fatoração e Produtos notáveis.

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SU
MÁ
RI
O
(EF09MA09): Compreender os
processos de fatoração de
expressões algébricas, com base
em suas relações com os produtos
notáveis, para desenvolver e
elaborar problemas que possam
ser representados por equações
polinomiais de 2º grau.
PRODUTOS NOTÁVEIS
EXERCÍCIOS COMENTADOS
FATORAÇÃO
EXERCÍCIOS COMENTADOS
EXERCÍCIOS SUGERIDOS
COMO ESTUDAR BEM PARA
ESSA PROVA?
6
10
13
16
18
20
Por dentro da BNCC!
Vamos treinar?
Os produtos notáveis são o
desenvolvimento de expressões
algébricas* frequentes nos cálculos. Ou
seja, o produto notável é um dispositivo
que facilita a operação dessas
expressões que sempre aparecem.
Produtos notáveis.
Vamos treinar?
Dica do professor!
Note que o quadrado da diferença de dois termos é muito
parecido com o quadrado da soma, certo? A única
diferença é o sinal de menos no 2º termo!
Principais casos:
Vamos treinar?
O que são?
1.Quadrado da soma de dois termos:
Veja o cálculo do mesmo exemplo sem o produto notável:
Quadrado do 
1º termo.
Quadrado do 
2º termo.
Mais 2 vezes o 1º e
o 2º termo.
Note que neste exemplo,
o 1º termo = a e o 2º
termo = b.
Viu como o produto
notável reduz os cálculos
e facilita nossa vida?
2. Quadrado da diferença de dois termos:
Dica do professor!
Cuidado com o quadrado dos termos, pois tanto o número
quanto a letra devem ser elevados ao quadrado.
Quadrado do 
1º termo.
Quadrado do 
2º termo.
Menos 2 vezes o 1º e
o 2º termo.
4. Cubo da soma de dois termos:
Cubo do 
1º termo.
Mais 3 vezes o 1º
termo vezes o 2º
termo ao quadrado.
Mais 3 vezes o 1º
termo ao quadrado
vezes o 2º termo.
Mais o cubo do 
2º termo.
 
Agora, imagine este mesmo cálculo sem o produto notável? 
 
Seriam mais de 5 linhas de cálculo! Com o produto notável, o
fazemos com apenas 1 linha. Incrível né? 
*Expressões algébricas são expressões que contém apenas letras, ou letras e números. As letras são chamadas de variáveis, pois elas não têm valor fixo como
os números. Perceba as seguintes expressoes: x ; y+6 ; z².
Vamos treinar?
3. Produto da soma pela diferença:
Quadrado do 
1º termo.
Quadrado do 
2º termo.
Dica do professor!
Este produto notável tem sempre o sinal negativo entre
seus termos.
Vamos treinar?
Tire a raiz quadrada do 
1º termo.
 
Produtos notáveis.
5. Cubo da diferença de dois termos:
Cubo do 
1º termo.
Mais 3 vezes o 1º
termo vezes o 2º
termo ao quadrado.
Menos 3 vezes o 1º
termo ao quadrado
vezes o 2º termo.
Menos o cubo do 
2º termo.
 
Aprofundando!
 
Note que a questão também pode pedir a expressão inicial que gerou
o produto notável. Em linhas gerais, o exercício pode te pedir para
"desfazer" o produto notável e encontrar a experessão inicial. Isso é
particularmente importante em questões que pedem a simplificação
de expressões.
 
Veja os mesmos exemplos anteriores nesta linha de pensamento.
Tire a raiz quadrada do 
2º termo.
 
Verifique se a multiplicação do 1º e o 2º termo
encontrados coincide com este termo.
Quadrado da soma
de dois termos
Tire a raiz quadrada do 
1º termo.
Tire a raiz quadrada do 
2º termo.
Verifique se a multiplicação do 1º e o 2º termo
encontrados coincide com este termo.
Note que o termo 8xy
deveria ser 12xy. Dessa
forma, o polinômio não
pode ser simplificado.
O sinal de mais (+) entre os
termos não torna possível a
simplicação da expressão!
Preste mais atenção!
 Não há como 
simplificar!
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Quadrado da diferença
de dois termos
Tire a raiz quadrado do 
1º termo.
Tire a raiz quadrada do 
2º termo.
 
Produto da soma
pela diferença
Exemplo 4
Exemplo 5
Vamos treinar?
Vamos relembrar!
 
O fator comum 8 encontrado no exemplo anterior é o
mdc entre 16 e 8. Mas, o que é mdc mesmo?
16,8 2
8,4 2
4,2 2
2,1 2
1,1
O mdc é o máximo divisor
comum que divide
simultaneamente os
termos e que pode ser
encontrado por meio da
fatoração.
Divide os termos
simultaneamente
Não divide os termos
simultaneamente
mdc (16, 8) = 2.2.2 = 2³ = 8
Fatoração de polinômios.
A fatoração de polinômios é a
simplificação (redução) do polinômio
em partes menores. Tenha em mente
que, após a fatoração, há uma
expressão mais simples do termo
comparado a sua representação inicial.
O que é? Dica do professor!A fatoração por agrupamento só pode ser feita se os
fatores dentro dos parênteses forem iguais.
Principais casos:
Vamos treinar?
1.Fator comum em evidência:
Fatores não comuns
Fator comum Note que desenvolvendo
o produto dos fatores,
chega-se, novamente, ao
resultado inicial.
O fator comum pode ser
uma letra, um número ou
ambos.
2. Agrupamento:
Agrupamento em dois passos:
Fator comum Fator comum
Coloque os fatores comuns em evidência.
Faça o agrupamento dos fatores.
Vamos treinar?
3. Trinômio do 2º grau:
Algumas questões vão tentar te confundir afastando
os fatores comuns. Por isso, reordene os termos.
Preste mais atenção!
Raízes de ax² + bx + c =0
Vamos treinar?
Aprofundando!
 
Este caso de fatoração é o inverso do produto notável e já o
vimos na seção passada, lembra-se?
 
Fatoração de polinômios.
4. Diferença de dois quadrados:
Tire a raiz quadrado do 
1º termo.
Tire a raiz quadrada do 
2º termo.
 
Produto da soma pela
diferença
Forma fatorada. Produto notável.
Soma da raíz dos
fatores
Diferença da raíz dos
fatores
Produto notável. Forma fatorada.
Simplificando expressões por meio
da fatoração:
Fatoração por fator
comum da variável x.
Fatoração por Trinômio
do 2º grau
Fatoração por fator comum.
Exemplo 1
Exemplo 2
Produtos
Notáveis
Quadrado da soma de dois termos
Mapa mental
Vamos revisar?
Quadrado da diferença de dois termos
Produto da soma pela diferença
Cubo da soma de dois termos
Cubo da diferença de dois termos
Fatoração
Fator comum em evidência
Agrupamento
Diferença de dois quadrados