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ÁLGEBRA LINEAR Prof. Baggio Parte 1 AULA 3 (44,45,46,47) Transformações Lineares É um tipo especial de função, onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Logo, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, por isso são chamadas de funções vetoriais. Estudaremos as funções vetoriais lineares, que são chamadas de transformações lineares. Transformações Lineares Função A B x y f f : A → B x →→ y = f(x) U V u T(u)T v T(v) u →→ T(u) Transformação f T R2 → R3 R3 → R2 R3 → R3 T : U → V T(u) Transformações Lineares U V u T(u)T v T(v) R2 T : U → V T(x) x y 0 R3 x y 0 z Transformações Lineares R2 R3 (1,1) T Exemplo: Dado T(x,y) = (2x, y, x+y). Calcule T(1,1) e represente graficamente (2,1,2) R2 x y 0 1 1 R3 x y 0 z 2 2 1 T(1,1) = (2.1,1,1+1) ∴ T 1,1 = (2, 1, 2) Transformações Lineares U V u T(u)T v T(v) R2 ⟶ R2 (x,y) (x,y) R2 ⟶ R3 (x,y) (x,y,z) R3 ⟶ R3 (x,y,z) (x,y,z) R3 ⟶ R2 (x,y,z) (x,y) Transformações Lineares Seja T uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escreve-se T : V → W. Sendo T uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor imagem w ∈ W, que será indicado por w = T ( v ). Exemplo: Considerando V = R2 e W = R3. Uma transformação T : R2 → R3, associa vetores v = 𝑥, 𝑦 ∈ R2 e w = (x,y,z) ∈ R3, se T(x,y) =(3x, -2y, x-y) o diagrama apresenta três vetores particulares v e imagens w. Transformações Lineares R2 R3 (2 , 1) (-1 , 3) (0 , 0) (6,-2, 1) (-3, -6, -4) (0, 0, 0) T(x,y) =(3x, -2y, x-y) 𝑇 Transformações Lineares Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T: V → W é chamada transformação linear de V em W se: 1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 ) 2ª Condição: T(𝜶𝒖) = 𝛂𝐓 𝒖 , ∀ 𝒖 ∈ V e ∀𝜶 ∈ R Obs. Uma transformação linear de V em V ( no caso de V=W) é chamada operador linear sobre V. 𝑢 𝑣 𝑢 + 𝑣 αu 𝑇U 𝑉 𝑇(𝑢) 𝑇(𝑣) 𝑇(𝑢 + 𝑣) 𝑇(α𝑢) Transformações Lineares Exemplo T = R2 → R3, T x, y = 3x, −2y, x − y é linear. I – Sejam u = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) vetores genéricos de R2. Então: T(u + v) = T(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) T(u + v) = (3(𝑥1 + 𝑥2), −2(𝑦1 + 𝑦2), (𝑥1+𝑥2) − ( 𝑦1 + 𝑦2) T(u + v) = (3𝑥1 + 3𝑥2, −2𝑦1 − 2𝑦2, 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2) T(u + v) = (3𝑥1, −2𝑦1, 𝑥1 − 𝑦1) + (3𝑥2, −2𝑦2, 𝑥2 − 𝑦2) T(u + v) =T(u) + T(v) Transformações Lineares II – ∀α ∈ R e para qualquer u = (𝑥1, 𝑦1) ∈ R 2, tem-se T(αu) = T(α𝑥1, α𝑦1) T(αu) = T(3α𝑥1,-2α𝑦1, α𝑥1−α𝑦1) T(αu) = α(3𝑥1,-2𝑦1, 𝑥1− 𝑦1) T(αu) = αT(𝑢) T(𝛂𝐮) = 𝛂𝐓 𝒖 Transformações Lineares Exemplo – Verificar se a transformação T = R2 → R2, T x, y = x + 1, y é linear. u=(x,y) = (0,0) T(0,0) = (0 + 1, 0) logo, T(0,0) = (1,0) Conclusão, não é linear. 1ª Propriedade: Se o vetor nulo estiver no domínio a sua imagem deverá ser obrigatoriamente o vetor nulo. Obs. Se o domínio for o vetor nulo, fizermos todos os cálculos e a imagem for o vetor nulo, não conseguimos afirmar que é linear. Temos que aplicar as duas condições. Transformações Lineares Exemplo – Seja T: R3 → R2uma transformação linear e B = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} uma base do R3, sendo 𝑣1 = (0, 1, 0) ,𝑣2 = (1, 0, 1) , 𝑣3 = (1, 1, 0). Determinar T(5,3,-2), sendo T(𝑣1)= (1, -2), T(𝑣2)= (3,1) e T(𝑣3)=(0,2). 2ª Propriedade: Se T: V →W for uma transformação linear, então: T(𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛) = 𝑎1𝑇(𝑣1) + 𝑎2𝑇(𝑣2) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛), ∀ 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛 ∈ V e ∀ 𝑎1, 𝑎2 …𝑎𝑛 ∈ R. Expressemos v=(5,3,-2) como combinação linear dos vetores da base (5,3,-2) = 𝑎1(0,1,0)+ 𝑎2 1,0,1 + 𝑎3(1,1,0) ou ቐ 𝑎2 + 𝑎3 = 5 𝑎1 + 𝑎3 = 3 𝑎2 = −2 Sistema cuja solução é: 𝑎1=-4, 𝑎2=-2 e 𝑎3=7 (5,3,-2) = −4𝑣1 − 2𝑣2 + 7𝑣3, então: (5,3,-2) = −4𝑇(𝑣1) − 2𝑇(𝑣2) + 7𝑇(𝑣3) (5,3,-2) = −4(1,−2) − 2(3,1) + 7(0,2) (5,3,-2) = (-10,20) Transformações Lineares Exemplo 1 – Verificar se a transformação abaixo, é linear. T = R2 → R2, T x, y = 3y, −2x Verificar se é linear: u=(0,0) T(0,0) = (3.0, -2.0) logo, T(0,0) = (0,0) 1ª Cond. – T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 ) Sejam u = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) vetores genéricos de R 2. Então: T(u) = (𝟑𝒚𝟏, −𝟐𝒙𝟏) T(v) = (𝟑𝒚𝟐, −𝟐𝒙𝟐) (u + v) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) T(u + v) = (3(𝑦1 + 𝑦2), -2(𝑥1 + 𝑥2)) T(u + v) = (3𝑦1 + 3𝑦2), (-2𝑥1 − 2𝑥2) Transformações Lineares Então: T(u) = (𝟑𝒚𝟏, −𝟐𝒙𝟏) T(v) = (𝟑𝒚𝟐, −𝟐𝒙𝟐) T(u + v) = (3𝒚𝟏 + 𝟑𝒚𝟐), (-2𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐) 1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 ) (3𝑦1 + 3𝑦2), (-2𝑥1 − 2𝑥2) = (3𝑦1, −2𝑥1) + (3𝑦2, −2𝑥2) (3𝑦1 + 3𝑦2, -2𝑥1 − 2𝑥2) = (3𝑦1 + 3𝑦2, −2𝑥1−2𝑥2) 2ª Condição: T(𝛂𝐮) = 𝛂𝐓 𝒖 α𝑢 = (α𝑥1, α𝑦1) T(𝜶𝒖) = (3 𝜶 𝒚𝟏, -2 𝛂 𝒙𝟏) (3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1) = α(3𝑦1, −2𝑥1) (3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1) = (3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1) Logo, a transformada dada é linear. Transformações Lineares Exemplo 2) T = 𝑅 → 𝑅 x → 3x ou T(x) = 3x é linear. I – Sejam u = 𝑥1 e v = 𝑥2 vetores quaisquer de R (os vetores, nesse, são números reais). Então: T(u + v) = T(𝑥1 + 𝑥2) T(u + v) = 3(𝑥1 + 𝑥2) T(u + v) = 3𝑥1 + 3𝑥2 T(u + v) = T(u) + T(v) Transformações Lineares II – ∀α ∈ R, ∀u = 𝑥1 ∈ 𝑅, tem-se T(αu) = T(α𝑥1) T(αu) = 3 α𝑥1 T(αu) = α 3𝑥1 T(αu) = αT(u) Transformações Lineares Exemplo 3) T =R2 → R2 T(x.y) = (𝑥2. 𝑦2) é linear? u =(𝑥1. 𝑦1) e v = (𝑥2. 𝑦2) 1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 ) T(u) = (𝑥1 2, 𝑦1 2) T(v) = (𝑥2 2, 𝑦2 2) (u+v) =(𝑥1+𝑥2. 𝑦1 + 𝑦2) T(u+v) = ((𝑥1 + 𝑥2) 2, (𝑦1 + 𝑦2) 2) ((𝑥1 + 𝑥2) 2, (𝑦1 + 𝑦2) 2) = (𝑥1 2, 𝑦1 2) +(𝑥2 2, 𝑦2 2) ((𝑥1 + 𝑥2) 2, (𝑦1 + 𝑦2) 2)=(𝑥1 2+ 𝑥2 2, 𝑦1 2+ 𝑦2 2) (𝑥1 + 𝑥2) 2 = 𝑥1 2+ 𝑥2 2, atribuimos valores para 𝑥1 𝑒 𝑥2. 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 1, logo (2 + 1) 2 = (2)2+ (1)2 ∴ 9 = 5 Não é linear, pois para x, não atendeu a 1ª condição Não precisa nem testar o y. Transformações Lineares 2ª Condição: T(𝛂𝐮) = 𝛂. 𝐓(𝒖) u =(𝑥1 + 𝑦1) T(u) = (𝑥1 2, 𝑦1 2) 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1) T(𝛼𝑢) = ((𝛼𝑥1) 2, (𝛼𝑦1) 2) ((𝛼𝑥1) 2, (𝛼𝑦1) 2)= 𝛼(𝑥1 2, 𝑦1 2) (𝛼2𝑥1 2, 𝛼2𝑦1 2) = (𝛼𝑥1 2, 𝛼𝑦1 2) Comparando: 𝛼2𝑥1 2= 𝛼𝑥1 2 (dividir por 𝑥1 2) 𝛼2 = 𝛼, logo a 2ª condição também não foi satisfeita. (𝑎. 𝑏)𝑛= 𝑎𝑛. 𝑏𝑛
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