aula 3 álgebra

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ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Baggio
Parte 1
AULA 3
(44,45,46,47)
Transformações Lineares
É um tipo especial de função, onde o domínio e o 
contradomínio são espaços vetoriais reais.
Logo, tanto a variável independente como a variável 
dependente são vetores, por isso são chamadas de 
funções vetoriais.
Estudaremos as funções vetoriais lineares, que são 
chamadas de transformações lineares.
Transformações Lineares
Função
A B
x y
f f : A → B
x
→→
y = f(x)
U V
u T(u)T
v T(v)
u
→→
T(u)
Transformação
f
T
R2 → R3 R3 → R2
R3 → R3
T : U → V T(u)
Transformações Lineares
U V
u T(u)T
v T(v)
R2
T : U → V T(x)
x
y
0
R3
x
y
0
z
Transformações Lineares
R2 R3
(1,1)
T
Exemplo: Dado T(x,y) = (2x, y, x+y). Calcule T(1,1) e 
represente graficamente
(2,1,2)
R2
x
y
0
1
1
R3
x
y
0
z
2
2
1
T(1,1) = (2.1,1,1+1) ∴ T 1,1 = (2, 1, 2)
Transformações Lineares
U V
u T(u)T
v T(v)
R2 ⟶ R2
(x,y) (x,y)
R2 ⟶ R3
(x,y) (x,y,z)
R3 ⟶ R3
(x,y,z) (x,y,z)
R3 ⟶ R2
(x,y,z) (x,y)
Transformações Lineares
Seja T uma transformação do espaço vetorial V no 
espaço vetorial W, escreve-se T : V → W. Sendo T 
uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor 
imagem w ∈ W, que será indicado por w = T ( v ).
Exemplo:
Considerando V = R2 e W = R3.
Uma transformação T : R2 → R3, associa vetores
v = 𝑥, 𝑦 ∈ R2 e w = (x,y,z) ∈ R3, se 
T(x,y) =(3x, -2y, x-y) o diagrama apresenta três 
vetores particulares v e imagens w.
Transformações Lineares
R2 R3
(2 , 1)
(-1 , 3)
(0 , 0)
(6,-2, 1)
(-3, -6, -4)
(0, 0, 0)
T(x,y) =(3x, -2y, x-y) 
𝑇
Transformações Lineares
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação 
T: V → W é chamada transformação linear de V em W se:
1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 )
2ª Condição: T(𝜶𝒖) = 𝛂𝐓 𝒖 , ∀ 𝒖 ∈ V e ∀𝜶 ∈ R 
Obs. Uma transformação linear de V em V ( no caso de V=W) 
é chamada operador linear sobre V.
𝑢
𝑣
𝑢 + 𝑣
αu
𝑇U 𝑉
𝑇(𝑢)
𝑇(𝑣)
𝑇(𝑢 + 𝑣)
𝑇(α𝑢)
Transformações Lineares
Exemplo 
T = R2 → R3, T x, y = 3x, −2y, x − y é linear.
I – Sejam u = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) vetores genéricos de 
R2.
Então: 
T(u + v) = T(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
T(u + v) = (3(𝑥1 + 𝑥2), −2(𝑦1 + 𝑦2), (𝑥1+𝑥2) − ( 𝑦1 + 𝑦2)
T(u + v) = (3𝑥1 + 3𝑥2, −2𝑦1 − 2𝑦2, 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 − 𝑦2)
T(u + v) = (3𝑥1, −2𝑦1, 𝑥1 − 𝑦1) + (3𝑥2, −2𝑦2, 𝑥2 − 𝑦2)
T(u + v) =T(u) + T(v)
Transformações Lineares
II – ∀α ∈ R e para qualquer u = (𝑥1, 𝑦1) ∈ R
2, tem-se 
T(αu) = T(α𝑥1, α𝑦1)
T(αu) = T(3α𝑥1,-2α𝑦1, α𝑥1−α𝑦1)
T(αu) = α(3𝑥1,-2𝑦1, 𝑥1− 𝑦1)
T(αu) = αT(𝑢)
T(𝛂𝐮) = 𝛂𝐓 𝒖
Transformações Lineares
Exemplo – Verificar se a transformação
T = R2 → R2, T x, y = x + 1, y é linear.
u=(x,y) = (0,0) 
T(0,0) = (0 + 1, 0) logo, T(0,0) = (1,0)
Conclusão, não é linear.
1ª Propriedade: Se o vetor nulo estiver no domínio a sua 
imagem deverá ser obrigatoriamente o vetor nulo.
Obs. 
Se o domínio for o vetor nulo, fizermos todos os cálculos e 
a imagem for o vetor nulo, não conseguimos afirmar que é 
linear. Temos que aplicar as duas condições.
Transformações Lineares
Exemplo – Seja T: R3 → R2uma transformação linear e B = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} 
uma base do R3, sendo 𝑣1 = (0, 1, 0) ,𝑣2 = (1, 0, 1) , 𝑣3 = (1, 1, 0). 
Determinar T(5,3,-2), sendo T(𝑣1)= (1, -2), T(𝑣2)= (3,1) e T(𝑣3)=(0,2).
2ª Propriedade: Se T: V →W for uma transformação linear, 
então: T(𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑣𝑛) = 𝑎1𝑇(𝑣1) + 𝑎2𝑇(𝑣2) +
⋯+ 𝑎𝑛𝑇(𝑣𝑛), ∀ 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛 ∈ V e ∀ 𝑎1, 𝑎2 …𝑎𝑛 ∈ R. 
Expressemos v=(5,3,-2) como combinação linear dos vetores da base 
(5,3,-2) = 𝑎1(0,1,0)+ 𝑎2 1,0,1 + 𝑎3(1,1,0) ou 
ቐ
𝑎2 + 𝑎3 = 5
𝑎1 + 𝑎3 = 3
𝑎2 = −2
Sistema cuja solução é: 𝑎1=-4, 𝑎2=-2 e 𝑎3=7 
(5,3,-2) = −4𝑣1 − 2𝑣2 + 7𝑣3, então: 
(5,3,-2) = −4𝑇(𝑣1) − 2𝑇(𝑣2) + 7𝑇(𝑣3)
(5,3,-2) = −4(1,−2) − 2(3,1) + 7(0,2)
(5,3,-2) = (-10,20) 
Transformações Lineares
Exemplo 1 – Verificar se a transformação abaixo, é linear.
T = R2 → R2, T x, y = 3y, −2x
Verificar se é linear: u=(0,0) 
T(0,0) = (3.0, -2.0) logo, T(0,0) = (0,0)
1ª Cond. – T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 )
Sejam u = (𝑥1, 𝑦1) 𝑒 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) vetores genéricos de R
2.
Então: T(u) = (𝟑𝒚𝟏, −𝟐𝒙𝟏)
T(v) = (𝟑𝒚𝟐, −𝟐𝒙𝟐)
(u + v) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
T(u + v) = (3(𝑦1 + 𝑦2), -2(𝑥1 + 𝑥2))
T(u + v) = (3𝑦1 + 3𝑦2), (-2𝑥1 − 2𝑥2)
Transformações Lineares
Então: T(u) = (𝟑𝒚𝟏, −𝟐𝒙𝟏) T(v) = (𝟑𝒚𝟐, −𝟐𝒙𝟐)
T(u + v) = (3𝒚𝟏 + 𝟑𝒚𝟐), (-2𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐)
1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 )
(3𝑦1 + 3𝑦2), (-2𝑥1 − 2𝑥2) = (3𝑦1, −2𝑥1) + (3𝑦2, −2𝑥2)
(3𝑦1 + 3𝑦2, -2𝑥1 − 2𝑥2) = (3𝑦1 + 3𝑦2, −2𝑥1−2𝑥2)
2ª Condição: T(𝛂𝐮) = 𝛂𝐓 𝒖
α𝑢 = (α𝑥1, α𝑦1) 
T(𝜶𝒖) = (3 𝜶 𝒚𝟏, -2 𝛂 𝒙𝟏)
(3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1) = α(3𝑦1, −2𝑥1) 
(3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1) = (3 𝛼 𝑦1, -2 𝛼 𝑥1)
Logo, a transformada dada é linear.
Transformações Lineares
Exemplo 2) T = 𝑅 → 𝑅
x → 3x ou T(x) = 3x é linear.
I – Sejam u = 𝑥1 e v = 𝑥2 vetores quaisquer de R 
(os vetores, nesse, são números reais). Então:
T(u + v) = T(𝑥1 + 𝑥2)
T(u + v) = 3(𝑥1 + 𝑥2)
T(u + v) = 3𝑥1 + 3𝑥2
T(u + v) = T(u) + T(v)
Transformações Lineares
II – ∀α ∈ R, ∀u = 𝑥1 ∈ 𝑅, tem-se
T(αu) = T(α𝑥1)
T(αu) = 3 α𝑥1
T(αu) = α 3𝑥1
T(αu) = αT(u)
Transformações Lineares
Exemplo 3) T =R2 → R2
T(x.y) = (𝑥2. 𝑦2) é linear?
u =(𝑥1. 𝑦1) e v = (𝑥2. 𝑦2)
1ª Condição: T(𝒖 + 𝒗) = T(𝒖 ) + T(𝒗 )
T(u) = (𝑥1
2, 𝑦1
2) T(v) = (𝑥2
2, 𝑦2
2)
(u+v) =(𝑥1+𝑥2. 𝑦1 + 𝑦2)
T(u+v) = ((𝑥1 + 𝑥2)
2, (𝑦1 + 𝑦2)
2)
((𝑥1 + 𝑥2)
2, (𝑦1 + 𝑦2)
2) = (𝑥1
2, 𝑦1
2) +(𝑥2
2, 𝑦2
2)
((𝑥1 + 𝑥2)
2, (𝑦1 + 𝑦2)
2)=(𝑥1
2+ 𝑥2
2, 𝑦1
2+ 𝑦2
2)
(𝑥1 + 𝑥2)
2 = 𝑥1
2+ 𝑥2
2, atribuimos valores para 𝑥1 𝑒 𝑥2. 
𝑥1 = 2 e 𝑥2 = 1, logo (2 + 1)
2 = (2)2+ (1)2 ∴
9 = 5 
Não é linear, pois para x, não atendeu a 1ª condição
Não precisa nem testar o y.
Transformações Lineares
2ª Condição: T(𝛂𝐮) = 𝛂. 𝐓(𝒖)
u =(𝑥1 + 𝑦1) T(u) = (𝑥1
2, 𝑦1
2)
𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1)
T(𝛼𝑢) = ((𝛼𝑥1)
2, (𝛼𝑦1)
2)
((𝛼𝑥1)
2, (𝛼𝑦1)
2)= 𝛼(𝑥1
2, 𝑦1
2)
(𝛼2𝑥1
2, 𝛼2𝑦1
2) = (𝛼𝑥1
2, 𝛼𝑦1
2)
Comparando:
𝛼2𝑥1
2= 𝛼𝑥1
2 (dividir por 𝑥1
2)
𝛼2 = 𝛼, logo a 2ª condição 
também não foi satisfeita.
(𝑎. 𝑏)𝑛= 𝑎𝑛. 𝑏𝑛