Resolução lista 11 - Funções e limites.

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Análise Real I
Resolução lista 11 - Funções e limites.
1. Defina o que é o produto cartesiano entre dois conjuntos A e B.
Resposta: Sejam A e B dois conjuntos, denominamos produto cartesiano de A por
B um novo conjunto denotado por A × B. Cujos elementos são pares ordenados
(a, b), onde a ∈ A e b ∈ B, isto é, A×B ={(a,b); a ∈ A e b ∈ B}.
2. Defina o que é uma relação entre dois conjuntos.
Resposta: Dados dois cunjuntos A e B denominamos uma relação r de A em B
qualquer subconjunto de A×B, isto é, r é uma relação de A em B ⇔ r ⊂ A×B.
3. Defina o que é uma função entre dois conjuntos A e B.
Resposta: Sejam A e B dois conjuntos não vazios, denominamos uma função f de A
em B como sendo uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento
de B.
f : A→ B
x→ f(x)
4. Defina limite lateral à direita de uma função f em um ponto c ∈ R.
Resposta: Seja c um número real tal que, para algum d > c, o intervalo aberto (c, d)
esteja contido em A. A função f :A→ R tem limite à direita no ponto c se existir um
real r tal que, para qualquer sucessão (xn) contida em A, com xn > c, e convergindo
para c, tenhamos que a sucessão (f(xn)) converge para r, isto é, limf(xn) = r.
5. Defina limite lateral à esquerda de uma função f em um ponto c ∈ R.
Resposta: Seja c um número real tal que, para algum c’ < c, o intervalo aberto
(c′, c) esteja contido em A. A função f :A→ R tem limite à esquerda no ponto c se
existir um real s tal que, para qualquer sucessão (xn) contida em A, com xn < c, e
convergindo para c, tenhamos limf(xn) = r.
6. Defina limite de uma função f no ponto c ∈ R.
Resposta: Seja, agora, c um número real tal que existam intervalos abertos (c′, c),
(c, d) contidos em A. A função f :A → R tem limite em um tal ponto c se existem
limites à direita e à esquerda, f (c+) e f (c-), e são iguais. Esse valor comum é
chamado o limite de f no ponto c, e designado por lim
x→c
f(x).
7. Seja f :A → R uma função real e c um ponto tal que (c, d) ⊂ A para algum d > c.
Prove que uma condição necessária e suficiente para que L seja limite de f à direita
no ponto c é que, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 (dependendo de ε) tal que
se c < x < δ + c então |f(x)− L| < ε.
Demonstração: Condição suficiente. Dada (xn) tal que xn ∈ (c, d) e xn → c, quere-
mos provar que f(xn)→ L. Isto é, queremoas provar que dado ε > 0, existe n0 ∈ N
tal que |f(x) − L| < ε para todo n ≥ n0. Pela hipótese, sabemos que, dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε, se c < x < δ + c. Portanto como xn → c, basta
escolher n0 de modo que c < xn < δ + c para todo n ≥ n0. Condição necessária.
Suponhamos, por contradição, que exista ε0 tal que para todo δ > 0 se tenha
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|f(xn) − L| > ε0, para algum x tal que c < x < δ + c. Tomando para δ os termos
da sucessão ( 1
n
), obtemos uma sucessão (xn) tal que xn → c e |f(xn)− L| > ε0. Mas
isso contradiz o fato de L ser o limite lateral à direira de f no ponto c.
8. Seja f :A → R uma função real e c um ponto tal que (b, c) ⊂ A para algum b < c.
Prove que uma condição necessária e suficiente para que L seja limite de f à esquerda
no ponto c é que, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 (dependendo de ε) tal que
se c− δ < x < c então |f(x)− L| < ε.
Demonstração: Condição suficiente. Dada (xn) tal que xn ∈ (b, c) e xn → c, quere-
mos provar que f(xn)→ L. Isto é, queremoas provar que dado ε > 0, existe n0 ∈ N
tal que |f(x) − L| < ε para todo n ≥ n0. Pela hipótese, sabemos que, dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε, se c − δ < x < c. Portanto como xn → c, basta
escolher n0 de modo que c − δ < xn < c para todo n ≥ n0. Condição necessária.
Suponhamos, por contradição, que exista ε0 tal que para todo δ > 0 se tenha
|f(xn) − L| < ε0, para algum x tal que c − δ < x < c. Tomando para δ os termos
da sucessão ( 1
n
), obtemos uma sucessão (xn) tal que xn → c e |f(xn)− L| < ε0. Mas
isso contradiz o fato de L ser o limite lateral à esquerda de f no ponto c.
9. Seja f :A → R uma função real e c um ponto tal que (b, c) ⊂ A e (c, d) ⊂ A para
algum d > c e b < c. Prove que uma condição necessária e suficiente para que L seja
limite de f no ponto c é que, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 (dependendo
de ε) tal que se c− δ < x < c então |f(x)− L| < ε.
Demonstração: Condição suficiente. Dada xn ∈ (b, c) tal que xn → c, sabemos que,
f(xn)→ r, pela questão anterior, e dada uma sequência yn → c com yn ∈ (c, d), pela
questão 7 temos, f(xn) → r. Condição necessária. Suponhamos, por contadição,
que existe ε0 tal que para todo δ > 0 se tenha |f(xn) − r| > ε0 para algum x tal
que c − δ < x < c + δ. Tomando para δ os termos da sucessão ( 1
n
), obtemos uma
sucessão (xn) tal que xn → c e |f(xn)− r| > ε0. Mas isso contradiz o fato de r ser o
limite da função f no ponto c.
10. Seja f :A → R uma função real e c um ponto tal que (b, c) ⊂ A e (c, d) ⊂ A para
algum d > c e b < c. Prove que f tem limite em c se, e só se, existir r tal que,
lim f(xn) = r para toda sequência (xn) de pontos A com lim xn = c.
Demonstração: Suponhamos que lim
x→c
f(xn) = r e que lim xn = a com xn ∈ (b, c), (c, d).
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x − c| < δ, x ∈ A ⇒ |f(xn) − r| < ε
existe também n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ 0 < |xn − a| < δ, assim segue-se que
n > n0 ⇒ |f(xn)− r| < ε, então lim
n→∞
f(xn) = r.
Suponhamos que não se tenha lim
x→a
f(x) = r, então existe δ > 0 tal que para todo
n ∈ N podemos obter xn ∈ X com 0 < |xn − c| < 1n e |fxn − r| ≥ ε, dáı xn → a mas
lim
n→∞
f(xn) 6= r o que é uma contradição.
11. Sejam A ⊂ R um cojunto tal que [a,+∞) ⊂ A para algum a ∈ R e f :A → R uma
função real. Defina limite de f quando x tende a +∞.
Resposta: Uma função f :A→ R tem limite quando x→ +∞ se existe um número
real r tal que, para qualquer sucssão (xn) contida em A e tal que xn → +∞, temos
que f(xn)→ r. O número r é chamado o limite de f(x), quando x→ +∞ e usamos
a notação r = lim
x→+∞
f(x).
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12. Sejam A ⊂ R um cojunto tal que (−∞, a] ⊂ A para algum a ∈ R e f :A → R uma
função real. Defina limite de f quando x tende a −∞.
Resposta: Uma função f :A→ R tem limite quando x→ −∞ se existe um número
real r tal que, para qualquer sucssão (xn) contida em A e tal que xn → −∞, temos
que f(xn)→ r. O número r é chamado o limite de f(x), quando x→ −∞ e usamos
a notação r = lim
x→−∞
f(x).
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