Resolução lista 13 - Propriedades das funções contínuas e Teorema de Weierstrass

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Análise Real I
Resolução lista 13 - Propriedades das funções cont́ınuas e Teorema de Weierstrass.
1. Defina composição de funções.
Solução:
Sejam f :A→ R e ϕ : B → R duas funções reais tais que a imagem f(A) está contida
em B. A função h:A → R definida por
h(x) = ϕ(f(x))
para todo x ∈ A é chamada de função composta de f e ϕ, e se designa por ϕ ◦ f .
2. Sejam f :A → R e g :B → R e f(A) ⊂ B. Suponha que lim
x→c
f(x) = m. Suponha que
g seja cont́ınua em m. Prove que a composta tem limite no ponto c e vale:
lim
x→c
g(f(x)) = g(m).
Demonstração: Seja xn uma sequência contida em A \ {c} convergindo pra c. Pela
hipótese sobre f , segue-se que f(xn) → m. Como g é cont́ınua, usando a questão
10 da lista 12 obtemos g(f(xn)) → g(m). Ora, isso é verdade para toda sequência
(xn) ⊂ A \ {c} convergindo para c. Logo pela questão 10 da lista 11, o resultado se
segue.
3. Sejam f :A→ R e g :B → R e f(A) ⊂ B. Suponha que lim
x→c
f(x) = a e lim
x→a
g(x) = L e
existe r tal que f(x) 6= a para todo x com 0 < |x−c| < r. Prove que lim
x→c
g(f(x)) = L.
4. Dê um exemplo que mostre que a hipótese f(x) 6= a para todo x com 0 < |x−c| < r
não pode ser removida da questão 3.
5. Prove que a soma de funções cont́ınuas é uma função cont́ınua.
Demonstração: Tomemos f, g : I → R com I ⊂ R e c ∈ R. Por hipótese f e g são
funções cont́ınuas. Tomemos uma sequência arbitrária (xn) em I tal que xn → c,
pela questão 10 da lista 12 temos que f(xn) e g(xn) satisfazem
lim f(xn) = lim f(c) e lim g(xn) = lim g(c).
Logo, pela propriedade de soma de limites para sequência temos
lim(f + g)(xn) = lim f(xn) + lim g(xn) = limf(c) + lim g(c) = lim(f + g)(c).
Como queŕıamos demonstrar.
6. Prove que o produto de funções cont́ınuas é uma função cont́ınua.
Demonstração: Tomemos f, g : I → R com I ⊂ R e c ∈ R. Por hipótese f e g são
funções cont́ınuas. Tomemos uma sequência arbitrária (xn) em I tal que xn → c,
pela questão 10 da lista 12 temos que f(xn) e g(xn) satisfazem
lim f(xn) = lim f(c) e lim g(xn) = lim g(c).
1
Logo, pela propriedade de produto de limites para sequência temos
lim(f · g)(xn) = lim f(xn) · lim g(xn) = limf(c) · lim g(c) = lim(f · g)(c).
Como queŕıamos demonstrar.
7. Prove que a diferença de funções cont́ınuas é uma função cont́ınua.
Demonstração: Tomemos f, g : I → R com I ⊂ R e c ∈ R. Por hipótese f e g são
funções cont́ınuas. Tomemos uma sequência (xn) em I tal que xn → c, pela questão
10 da lista 12 temos que f(xn) e g(xn) satisfazem
lim f(xn) = lim f(c) e lim g(xn) = lim g(c).
Como a diferença é um caso particular da soma, usando a propriedade de soma de
limites para sequência temos
lim(f − g)(xn) = lim f(xn)− lim g(xn) = limf(c)− lim g(c) = lim(f − g)(c).
Como queŕıamos demonstrar.
8. Seja f : I → R tal que f(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Prove que 1
f
é cont́ınua.
Demonstração: Tomemos uma sequência (xn) em I tal que xn → c, onde c 6= 0 pela
questão 10 da lista 12 temos que f(xn) satisfaz
lim f(xn) = lim f(c).
Pelas propriedades de limites para sequência e pela questão 8 da lista 12 temos
lim
1
f(xn)
= lim
1
f(c)
.
Como queŕıamos demonstrar.
9. Sejam f, g : I → R tais que g(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Prove que (f
g
)(x) é cont́ınua.
Demonstração: Como g(x) 6= 0 para todo x ∈ I então para todo n ∈ N vale g(xn) 6=
0, e portanto temos (
f
g
)(xn) =
f(xn)
g(xn)
está definida e converge para
f(c)
g(c)
= (
f
g
)(c),
onde c ∈ R. Logo, pela questão 10 da lista anterior f
g
é uma função cont́ınua.
10. Seja f : I → R cont́ınua. Prove que |f | tambem é cont́ınua.
Demonstração: Por hipótese f é cont́ınua. Tomando uma sequência qualquer (xn) ∈
I tal que xn → c, onde c ∈ R, temos que f(xn) satisfaz lim f(xn) = lim f(c). Como
lim |f |(xn) = | lim f(xn)| = | lim f(c)|, conclúımos que |f | é uma função cont́ınua.
Como queŕıamos demonstrar.
11. Sejam f : I → R e g : J → R cont́ınuas tais que f(I) ⊂ J . Então g ◦ f é cont́ınua.
Demonstração: Provemos a continuidade em um ponto c. Como f é cont́ınua em
c, temos que lim
x→c
f(x) = f(c). E, como a função g é cont́ınua em f(c), temos que
lim
y→f(c)
g(y) = g(f(c)). Pela questão 2 temos que
lim
x→c
g(f(x)) = g(f(c))
2
o que mostra que g ◦ f é cont́ınua.
12. Defina função limitada superiormente e defina supf .
Solução: Uma função f : A→ R definida em um subconjunto A dos rais é limitada
superiormente se existir um número real M tal que
f(x) ≤M , para todo x ∈ A.
Definimos, então, o supremo da função f (em śımbolos sup f) como sendo o supremo
do conjunto f(A).
13. Defina função limitada inferiormente e defina inff .
Solução: Uma função f : A→ R definida em um subconjunto A dos rais é limitada
inferiormente se existir um número real N tal que
f(x) ≥ N , para todo x ∈ A.
Definimos, então, o ı́nfimo da função f (em śımbolos inf f) como sendo o ı́nfimo do
conjunto f(A).
14. Defina função limitada.
Solução: Uma função f : A→ R definida em um conjunto A ⊂ R é limitada se for
limitada superiormente e limitada inferiormente.
15. (Teorema de Weierstrass) Seja f : [a, b] → R uma função cont́ınua em [a, b]. Prove
que f assume máximo e mı́nimo em [a, b].
Demonstração: Para demonstrar necessitaremos do seguinte lema.
Lema. Seja f : [a, b] → R uma função cont́ınua em um intervalo fechado [a, b].
Então, f é limitada.
Demonstração do lema: Vamos mostrar que f é limitada superiormente. De modo
análogo, demonstraŕıamos que f é limitada inferiormente. Suponhamos, por con-
tradição, que f não fosse limitada superiormente. Logo, dado n ∈ N, existe
xn ∈ [a, b] tal que f(xn) > n. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstress (xn) contém
uma subsequência (xnj) convergente, seja r o seu limite, o qual pertence ao intervalo
[a, b]. Pela continuidade de f , segue-se que f(xnj) → f(r). Portanto a partir de
certo n temos
f(xnj) < f(r) + 1
Isto, porém, contradiz o fato de f(xnj) > nj. O que prova o lema.
Demonstração do Teorema: Seja M o sup de f em [a, b] o qual existe em virtude do
lema. Dado n ∈ N, existe xn ∈ [a, b] tal que M − f(xn) <
1
n
. Pois, se não existisse,
então M−f(x) ≥ 1
n
para todo x ∈ [a, b] e dáı M− 1
n
≥ f(x), o que contradiz o fato
de M ser o sup de f . Constrúımos deste modo uma sequência (xn). Pelo Teorema de
Bolzano-Weierstress, segue-se que (xn) contém uma subsequência convergente (xnj),
e seja r seu limite. Pela continuidade de f , segue-se que f(xnj) → f(r). Como
M − f(xnj) <
1
nj
, pelas propriedade de limites de sequências ttemos M = f(r),
como queŕıamos demonstrar.
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