Resolução lista 15 - Continuidade da função inversa

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Análise Real I
Resolução lista 15 - Continuidade da função inversa.
1. Seja f : I → R cont́ınua e crescente onde I é um intervalo. Prove que f−1 : f(I)→ R
é cont́ınua e crescente.
Primeiramente observamos que a função inversa f−1 : f(I)→ R é também cont́ınua.
Para provar o que se pede, basta demostrar as seguintes afirmações.
(1) Seja d um ponto do interior de f(I) ou a extremidade direita do intervalo f(I),
caso essa pertença a F (I). Então, para toda sequência crescente (yn), yn → d,
tem-se que f−1(yn)→ f−1(d).
(2) d pertence ao interior de f(I) ou é a extremidade esquerda, caso essa pertença a
F (I). Então, para toda sequência decrescente (yn), yn → d, tem-se que f−1(yn)→
f−1(d).
Demonstração de (1): Sejam xn e c o pontos (únicos) de I tais que fxn) = yn e
f(c) = d. A sequência (xn) é crescente e limitada superiormente por c. Logo pelo
teorema da sequência monótona, existe a tal que xn → a. Usando a continuidade
de f , pela questão 10 da lista 12, obtemos f(xn) → f(a). Isso, juntamente com
yn = f(xn)→ d, implica f(a) = d. E como f é crescente (portanto injetiva), temos
que a = c. Logo, xn → c, como queŕıamos.
Demonstração de (2): Sejam xn e c o pontos (únicos) de I tais que fxn) = yn e
f(c) = d. A sequência (xn) é decrescente e limitada inferiormente por c. Logo,
existe a tal que xn → a. Usando a continuidade de f , pela questão 10 da lista 12,
obtemos f(xn)→ f(a). Isso, juntamente com yn = f(xn)→ d, implica f(a) = d. E
como f é decrescente, temos que a = c. Logo, xn → c, como queŕıamos.
2. Seja f : I → R cont́ınua e decrescente onde I é um intervalo. Prove que f−1 :
f(I)→ R é cont́ınua e decrescente.
Demonstração: A função g = −f é crescente. Logo, pela questão enterior, g−1 :
g(I) → R é cont́ınua. Ora, g(I) = −f(I) e f−1(y) = g−1(y) para todo y ∈ f(I).
A continuidade de f−1, segue-se pela questão 11 da lista 13, pois a função f−1 é
a composta da função cont́ınua g−1 e da função cont́ınua h : R → R, definida por
h(x) = −x para todo x ∈ R.
3. Seja f : I → R cont́ınua e injetiva. Prove que f é crescente ou decrescente.
4. Defina função lipschitziana.
Solução:
Uma função f : X → R chama-se lipschitziana quando existe uma constante k > 0
tal que |f(x)− f(y)| ≤ k|x− y| sejam quais forem x, y ∈ X.
5. Prove que toda função lipschitziana é uma função cont́ınua.
Demonstração: Tomemos x0 ∈ I fixo, e seja ε > 0. Queremos encontrar δ >
0; |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.
Note que, por definição de função lipschitziana, temos |f(x)−f(x0)| ≤ k|x−x0| < ε
⇔ |x− x0| <
ε
k
, ou seja, basta tomar δ =
ε
k
.
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6. Defina função Hölder-cont́ınua.
Solução:
Seja I ⊆ Rn, um conjunto aberto e γ ∈ (0, 1], um número real. Uma função
f : I → R, é dita Hölder-cont́ınua com expoente γ, se existir uma constante real C,
tal que:
|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|γ, para todo x, y ∈ I
Observe que se γ = 1, o critério coincide com o de função Lipschitz definida acima.
7. Prove que toda função Hölder-cont́ınua é uma função cont́ınua.
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